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第三节 三角函数的图象与性质
[考纲传真] 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
周期为2π
周期为2π
周期为π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
递增区间：
，
k∈Z，
递减区间：
递增区间：
[2kπ－π，2kπ]，
k∈Z，
递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]，
递增区间
，
k∈Z
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，
k∈Z
k∈Z
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
对称中心
，k∈Z
对称中心
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
对称轴
x＝kπ(k∈Z)
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则
①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋，k∈Z；
②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． ( )
(2)y＝sin |x|是偶函数． ( )
(3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． ( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．函数f(x)＝cos的最小正周期为( )
A. B. C．2π D．2
D [T＝＝2，故选D.]
3．函数y＝tan 2x的定义域是( )
A. B.
C. D.
D [由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域为.]
4．函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )
A.
B.和
C.
D.
C [令z＝x＋，函数y＝sin z的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是，故选C.]
5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．
2 {x|x＝6kπ，k∈Z} [f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]
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三角函数的定义域、值域
【例1】 (1)函数y＝的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
(3)(2019·长沙模拟)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(1)B (2)B (3)B [(1)由2sin x－≥0得sin x≥，
∴＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故选B.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，
所以3sin∈，
所以函数f(x)在区间上的值域是，故选B.
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(3)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x
＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
故选B.]
[规律方法] (1)三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求.
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.
③把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
④利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
(1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
(2)函数y＝的定义域为________．
(3)函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域为________．
(1)A (2) (3) [(1)因为0≤x≤9，所以－≤－≤，所以sin∈.
所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.
(2)要使函数有意义，必须有
即故函数的定义域为
.
(3)设t＝sin x＋cos x，
则sin xcos x＝(－≤t≤)，
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y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，
当t＝时，y取最大值为＋，
当t＝－1时，y取最小值为－1.
所以函数值域为.]
三角函数的单调性
【例2】 (1)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．
(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin的一个单调递减区间为，则ω＝________.
(3)(2018·全国卷Ⅱ改编)若函数f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是________．
(1)，k∈Z (2)2 (3) [(1)f(x)＝sin＝－sin，函数f(x)的单调减区间就是函数y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的减区间为，k∈Z.
(2)由≤x≤得ω＋≤ωx＋≤ω＋.
又函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，
则k∈Z
即，解得ω＝2.
(3)f(x)＝cos x－sin x＝cos，
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当x∈[0，a]时，≤x＋≤a＋，
由题意知a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值为.]
[拓展探究] 本例(2)中，若函数f(x)＝sin在上是减函数，试求ω的取值范围．
[解] 由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，
由题意，知⊆，k∈Z，
∴
∴4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z，
当k＝0时，≤ω≤.
[规律方法] 三角函数单调性问题的解题策略
(1)已知三角函数的解析式求单调区间
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调性求参数,已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性求参数，可先求t＝ωx＋φ的范围(a，b)，再根据(a，b)是函数y＝Asin t的单调区间的子集关系列不等式组求解.
(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．
(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
(1)(k∈Z) (2) [(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得－
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eq \f(π,12)＜x＜＋(k∈Z)．
故函数的单调递增区间为.
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝，此时，＝π＞，符合题意，故ω＝.]
三角函数的周期性、奇偶性、对称性
►考法1 三角函数的周期性
【例3】 (2019·大连模拟)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
C [①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.
②由图象知，函数的周期T＝π.
③T＝π.
④T＝.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C.]
►考法2 三角函数的奇偶性
【例4】 函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ
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的值为________．
[由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π，
∴φ＝.]
►考法3 三角函数的对称性
【例5】 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
(1)B (2)A [(1)根据函数的最小正周期为π知，排除C，
又当x＝时，2x＋＝π，2x－＝，2x－＝，故选B.
(2)由题意得3cos
＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值为.]
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[规律方法] 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解.
(3)对称性的判断：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.
(1)(2019·石家庄模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(1)B (2)B [(1)由题意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝0时，|φ|取得最小值，故选B.
(2)由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N*，所以ωmin＝2，故选B.]
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π D.
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C [函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.
故选C.]
2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
C [f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
D [A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．
B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．
D项，因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为
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(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．
故选D.]
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
1 [f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0,1]，
∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.]
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