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第五节 指数与指数函数
[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式
n次方根
概念
如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n＞1，n∈N*
表示
当n是奇数时，a的n次方根x＝
当n是偶数时，正数的n次方根x＝±；负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0，记作＝0
根式
概念
式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数
性质
()n＝a
当n为奇数时，＝a
当n为偶数时，＝|a|＝
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
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3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
(0,1) 过定点
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝－4. ( )
(2)(－1) ＝(－1) ＝. ( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数． ( )
(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．7 C．－10 D．9
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B [原式＝(26) －1＝8－1＝7.]
3．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)等于( )
A. B. C. D．4
B [由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.]
4．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
A B C D
C [令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]
5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
(1,2) [由题意知0＜2－a＜1，
解得1＜a＜2.]
指数幂的化简与求值
1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是( )
A.＝n7m B.＝
C.＝(x＋y) D.＝
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D [＝(9)＝9＝3＝，故选D.]
2．若a＞0，b＞0，则化简＝________.
ab－1 [原式＝
＝＝ab－1.]
3．化简－10(－2)－1＋3π0＋＝________.
－16 [原式＝＋500－＋3＋
＝＋10－10(＋2)＋3＋
＝－16.]
4．若x＋x＝3，则＝________.
[由x＋x＝3得x＋x－1＋2＝9.
所以x＋x－1＝7.
同理由x＋x－1＝7可得x2＋x－2＝47.
x＋x＝(x＋x)(x＋x－1－1)＝3×6＝18.
所以
[规律方法] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.
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(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题.
易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.
指数函数的图象及应用
【例1】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．
(1)D (2)(2,4) (3){0}∪[1，＋∞) [(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.
(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．
(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．]
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[规律方法] 指数函数图象应用的4个技巧
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
(1)函数y＝(a＞1)的图象大致是( )
A B C D
(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
A B C D
(3)已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)B (3) [(1)y＝又a＞1，故选B.
(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象可由y＝2|x|的图象向右平移1个单位得到，故选B.
(3)①当0＜a＜1时，如图①，所以0＜3a＜2，即0＜a＜；
②当a＞1时，如图②，而y＝3a＞1不符合要求．
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图① 图②
所以0＜a＜.]
指数函数的性质及应用
►考法1 比较指数式的大小
【例2】 已知a＝3，b＝9，c＝121，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
A [因为a＝3＝9＞9＝b，c＝121＝11＞9＝a，所以c＞a＞b.故选A.]
►考法2 解简单的指数方程或不等式
【例3】 (1)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
(1)C (2) [(1)当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C.
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(2)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为.]
►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题
【例4】 (1)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
(2)已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________．
(1)－ (2) [(1)当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.
(2)y＝(2x)2－3·2x＋5.令t＝2x，
由0≤x≤2得1≤t≤4，又y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，
∴当t＝1时，y有最大值，最大值为.]
►考法4 复合函数的单调性、值域或最值
【例5】 函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间是________，值域是________．
(－∞，1] [令u＝－x2＋2x＋1，则u＝－(x－1)2＋2.
又y＝在R上是减函数，则函数f(x)＝的单调递减区间为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
由此函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
因为u≤2，则f(x)≥＝，即函数f(x)的值域为.]
[规律方法] 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略
常考题型
求解策略
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比较幂值的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
(1)(2019·信阳模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＜a＜b B．a＜b＜c
C．b＜a＜c D．c＜b＜a
(2)(2019·长春模拟)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
(3)已知函数y＝2在区间(－∞，3)上单调递增，则a的取值范围为________．
(4)函数y＝2的值域为________．
(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c＝＝，则
＞＞，即a＞b＞c，故选D.
(2)y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1，
令t＝2x，则t＞0，
∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，故选B.
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(3)由题意知，函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则≥3，即a≥6.
(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，则0＜y≤2.
即函数y＝2－x2＋2x的值域为(0,2]．]
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