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第六节 正弦定理和余弦定理
[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；
b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；
c2＝a2＋b2－2ab·cos_C
公式
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
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(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(2)sin＝cos ；(4)cos＝sin .
3．在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b，
cosA＞cos B⇔A＜B⇔a＜b.
4．三角形射影定理
a＝bcos C＋ccos B
b＝acos C＋ccos A
c＝acos B＋bcos A
5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B． ( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形． ( )
(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.( )
(4)在△ABC中，＝. ( )
[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
(2)错误．由cos A＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．
(3)错误．由b＜a知，B＜A.
(4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
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2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
C [由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B. C．2 D．3
D [由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，
解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.]
4．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( )
A．3 B．6 C．2 D．3
B [由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.]
5．(教材改编)在非钝角△ABC中，2bsin A＝a，则角B为( )
A. B. C. D.
C [由2bsin A＝a得2sin Bsin A＝sin A.
∴sin B＝，又B是锐角或直角．
∴B＝.]
利用正、余弦定理解三角形
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【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B. C. D．2
(2)(2019·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于( )
A. B. C. D.
(1)A (2)C [(1)因为cos ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故选A.
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A.
又a2＝2b2(1－sin A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，
又A是三角形内角，则A＝，故选C.]
[规律方法] 应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式或其他相应变形公式求解.
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝或其他相应变形公式求解.
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
(1)(2019·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
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(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
(1)A (2) 3 [(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°.
(2)因为a＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.]
与三角形面积有关的问题
【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
[由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.]
(2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
①求cos B；
②若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
[解] ①由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，
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故sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝.
故cos B＝.
②)由cos B＝得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.
所以b＝2.
[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：
(1)对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
(1)(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B. C. D.
C [因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故选C.]
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acos B.
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①证明：A＝2B；
②若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解] ①证明：由b＋c＝2acos B得sin B＋sin C＝2sin Acos B.
即2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B；
所以sin(A－B)＝sin B.
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＋(A－B)＝π或A－B＝B，
所以A＝π(舍去)或A＝2B，
所以A＝2B.
②由S＝得absin C＝，
则sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B.
由sin B≠0得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝，
当C－B＝时，A＝，
综上知A＝或A＝.
正余弦定理的简单应用
►考法1 判断三角形的形状
【例3】 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos A＝bcos B，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
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D．等腰三角形或直角三角形
(2)(2019·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
(1)D (2)C [(1)因为acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
(2)由b2＋c2＝a2＋bc得cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
由sin B·sin C＝sin2A得bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc得(b－c)2＝0，即b＝c，从而△ABC是等边三角形，故选C.]
►考法2 求解几何计算问题
【例4】 (2019·哈尔滨模拟)如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
[解] (1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝ ，
∴sin∠ADC＝＝＝，则sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADC·sinB＝×－×＝.
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(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcos B＝82＋52－2×8×5×＝49，即AC＝7.
►考法3 正、余弦定理与三角函数的交汇问题
【例5】 (2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin A＝acos
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
[解] (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a＜c，故cos A＝.
因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
[规律方法] 平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
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易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
[解] (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，
所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.
1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B. C. D.
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B [因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sin C≠0，
则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sin C＝sin A＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝，故选B.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
[由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
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[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.]
4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
75° [如图，由正弦定理，得＝，∴sin B＝.
又c>b，∴B＝45°，
∴A＝180°－60°－45°＝75°.]
5．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
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由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
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