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第二节 随机抽样
[考纲传真] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样的方法．
1．简单随机抽样
(1)抽取方式：逐个不放回抽取；
(2)每个个体被抽到的概率相等；
(3)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体编号；
(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
1．三种抽样方法的共性：等概率抽样，不放回抽样，逐个抽取，总体确定．
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2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍．
3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( )
(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样． ( )
(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平． ( )
(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
A [从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．]
3．(教材改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是( )
A．随机抽样 B．分层抽样
C．系统抽样 D．以上都不是
C [因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．]
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4．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A．33,34,33 B．25,56,19
C．20,40,30 D．30,50,20
B [因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25,56,19.]
5．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
[总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝.]
简单随机抽样
1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
B [因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．]
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07 C．02 D．01
D [从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.]
[规律方法] 抽签法与随机数法的适用情况
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(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：,一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
系统抽样及其应用
【例】 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为009，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9 C．10 D．15
C [从960人中用系统抽样方法抽取32人，则将整体分成32组，每组30人，因为第一组抽到的号码为009，则第二组抽到的号码为039，第n组抽到的号码为an＝9＋30·(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝016,017，…，025，共有25－16＋1＝10(人)．]
[拓展探究] 若本例中条件变为“若第5组抽到的号码为129”，求第1组抽到的号码．
[解] 设第1组抽到的号码为x，则第5组抽到的号码为x＋(5－1)×30，由x＋(5－1)×30＝129，解得x＝9，因此第1组抽到的号码为009.
[规律方法] 系统抽样的特点
(1)适用于元素个数较多且均衡的总体.
(2)各个个体被抽到的机会均等.
(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样.
(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为.
(1)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按001,002，…
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，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( )
A．11 B．12 C．13 D．14
(2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．
(1)B (2)2 10 [(1)由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一人，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为＝12.
(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商为10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法步骤如下：
第一步，先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈．
第二步，将剩下的500名观众编号为001,002,003，…，500，并均匀分成50段，每段分＝10(个)个体．]
分层抽样及其应用
1．(2019·贵阳月考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于( )
A．54 B．90 C．45 D．126
B [依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.]
2．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
18 [∵＝＝，
∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．]
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3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．
图1 图2
200,20 [该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.]
[规律方法] 分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
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