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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos_α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos_α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变
符号看象限
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)．
(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
(4)sin α＝tan αcos α.
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[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. ( )
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立． ( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
B [∵sin α＝，α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－.]
3．sin 750°＝________.
[sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.]
4．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.
－ [因为sin＝cos α＝，α∈，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.]
5．(教材改编)已知tan α＝2，则的值为________．
[＝＝＝.]
同角三角函数关系的应用
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1．若α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A. B.
C．－ D．－
C [由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，
∴cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.]
2．(2019·合肥模拟)已知tan α＝－，则sin α(sin α－cos α)＝( )
A. B. C. D.
A [sin α(sin α－cos α)＝sin2α－sin αcos α＝＝，将tan α＝－代入，
得原式＝＝，故选A.]
3．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )
A．－ B. C．－ D.
B [∵＜α＜，
∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，
∴cos α－sin α＞0.
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又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝，故选B.]
4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
B [因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因为θ∈，所以sin θ＜cos θ，
即sin θ－cos θ＜0，
所以sin θ－cos θ＝－，故选B.]
[规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
诱导公式的应用
【例1】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________.
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(2)已知cos＝a，则cos＋sin＝________.
(3)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
(1) (2)0 (3){2，－2} [(1)原式＝－sin 1 200°cos 1290°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
＝－sin 120°cos 210°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＝×＝.
(2)cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a
∴cos＋sin＝－a＋a＝0.
(3)当k为偶数时，A＝＋＝2；k为奇数时，A＝－＝－2，因此A的值构成的集合为{2，－2} .]
[规律方法] 1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正，化大为小，化到锐角为止．
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
3．三角函数式化简的方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
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(1)已知α∈，且cos α＝－，则＝( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知sin＝，则cos＝________.
(1)C (2) [(1)＝＝＝，
又α∈，cos α＝－，则sin α＝，
从而＝＝，故选C.
(2)因为＋＝.
所以cos＝cos
＝sin＝.]
同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用
【例2】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
(2)已知cos＝2sin，则的值为________．
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(1)－ (2) [(1)由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.
sin＝sin＝cos＝，
cos＝cos＝sin＝.
∴tan＝－tan＝－.
(2)∵cos＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α，
则sin α＝2cos α，
代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝.
＝
＝＝cos2α－＝.]
[规律方法] 化简三角函数式的基本思路和要求
(1)基本思路,①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结构要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
(1)(2019·唐山模拟)已知sin＝，那么tan α的值为( )
A．－ B．－ C．± D．±
(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f
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＝________.
(1)C (2) [sin＝sin＝cos α＝，
则sin α＝±，所以tan α＝＝±，故选C.
(2)因为f(α)＝
＝＝＝，
所以f＝
＝＝＝.]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
A [∵sin α－cos α＝，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
故选A.]
2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－ C. D.
D [∵cos 2θ＝＝
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又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B. C．1 D.
A [因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A.]
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