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第三节 基本不等式
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；
(3)ab≤(a，b∈R)；
(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
重要不等式链
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若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2. ( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4. ( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件． ( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
C [xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
D [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
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(3)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为________．
(1)C (2)A (3) [(1)当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.
(2)由x＞0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥，故选A.
(3)∵正实数x，y满足2x＋y＝2，
则＋＝(2x＋y)
＝≥
＝，当且仅当x＝y＝时取等号．
∴＋的最小值为.]
基本不等式的实际应用
【例3】 某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
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(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
[解] (1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以
2018年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
[规律方法] 利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
[解] (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)
＝
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(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．
当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．
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