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第五节 椭圆
[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
与椭圆定义有关的结论
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以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． ( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
D [依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
3．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
C [由方程表示椭圆知解得－30，故m＝3.]
5．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
＋＝1 [设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得故椭圆的标准方程为＋＝1.]
椭圆的定义与标准方程
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
C [由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.]
2．(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D [设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.]
3．(2019·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
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3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________．
＋＝1 [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由解得m＝，n＝. ∴椭圆方程为＋＝1.]
[规律方法] 1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
2．求椭圆标准方程的常用方法
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
椭圆的几何性质
►考法1 求离心率的值或取值范围
【例1】 (1)(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
(2)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
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C. D.
(1)B (2)D [(1)∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.
故选B.
(2)设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥.又∵00，即－3
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