天添资源网 http://www.ttzyw.com/
第三节 等比数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( )
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab. ( )
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于( )
A．27 B．36 C. D．54
C [公比q＝＝＝，则a6＝a4q2＝18×2＝.]
3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．
27,81 [设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]
4．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝________.
4 [由题意知
消去a1得＋q＝，
解得q＝或q＝2.
又0＜q＜1，故q＝，此时a1＝4.]
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]
等比数列基本量的运算
1．(2019·太原模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( )
A．1 B．5 C. D.
D [由S3＝3a3得a1＋a2＝2a3，
∴1＋q＝2q2，解得q＝－或q＝1(舍)．
∴S5＝＝×＝，故选D.]
2．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
32 [设{an}的首项为a1，公比为q，则
解得
所以a8＝×27＝25＝32.]
3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
[解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
[规律方法] 解决等比数列有关问题的两种常用思想
方程的思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.
分类讨论
的思想
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝(1－qn)(q＜1)或Sn＝(qn－1)(q＞1).
等比数列的判定与证明
【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
[规律方法] 等比数列的判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列.
说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解] (1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝.
(2)由(1)得Sn＝1－.
由S5＝得1－5＝，即＝.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
解得λ＝－1.
等比数列性质的应用
►考法1 等比数列项的性质
【例2】 (1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________.
(1)50 (2)31 [(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20
＝ln(a1a2…a20)
＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)
＝10ln e5＝50ln e＝50.
(2)由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31.]
►考法2 等比数列前n项和的性质
【例3】 (1)等比数列{an}中，前n项和为48，前2n项和为60，则其前3n项和为________．
(2)数列{an}是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an＝________.
(1)63 (2)12× [(1)法一：设数列{an}的前n项和为Sn.
因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由前n项和公式得
②÷①，得1＋qn＝，所以qn＝.③
将③代入①，得＝64.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
所以S3n＝＝64×＝63.
法二：设数列{an}的前n项和为Sn，
因为{an}为等比数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
法三：设数列{an}的前n项和为Sn，
因为S2n＝Sn＋qnSn，所以qn＝＝，
所以S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋2×48＝63.
(2)设此数列{an}的公比为q，
由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，所以S奇＝3S偶，所以q＝＝.
又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aq3＝64，
所以a1q＝4.又q＝，所以a1＝12，
所以an＝a1qn－1＝12×.]
[规律方法] 应用等比数列性质解题时的两个关键点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
(1)已知等比数列{an}的公比q＞0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝( )
A. B. C. D．2
(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(1)B (2)B [(1)a5·a7＝a＝4a，
∴a6＝2a4，则＝q2＝2.
∴q＝，从而a1＝＝，故选B.
(2)S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝4＋8＋16＋32＝60.]
等差、等比数列的综合问题
【例4】 (1)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是( )
A. B.
C. D.
A [设等比数列{an}的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，由＝＝＝＝＝＝，故选A.]
(2)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
①求{an}的通项公式；
②求ea1＋ea2＋…＋ean.
[解] ①设{an}的公差为d.
因为a2＋a3＝5ln 2，
所以2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
②因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)．
[规律方法] 等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，就不难解决这类问题.
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意
有
解得d＝1或d＝0(舍去)，
∴an＝1＋(n－1)＝n.
(2)由(1)得an＝n，
∴bn＝2n，∴＝2，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴Tn＝＝2n＋1－2.
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1 C. D.
C [法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝，故选C.]
2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D.
A [由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．]
3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
－8 [设等比数列{an}的公比为q，
∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，
∴a1(1＋q)＝－1， ①
a1(1－q2)＝－3. ②
②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.
∴a1＝1，
∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.]
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
[解] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3. ①
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
微信/支付宝扫码支付