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第章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，∃x0∈B，x0∉A
AB或BA
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相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A⇒A＝B
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合都至少有两个子集． ( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C. ( )
(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ( )
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ( )
[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．
(3)正确．
(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．
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[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
D [由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2知，a∉A.]
3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
A [A∪B＝{1,2,3,4}．]
4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
C [∁AB＝{0,2,6,10}．]
5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]
集合的含义与表示
1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B [因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.
当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.
由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]
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2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A. B. C．0 D．0或
D [若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝，
所以a的取值为0或.]
3．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019为( )
A．1 B．0 C．－1 D．±1
C [由已知得a≠0，则＝0，
所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]
4．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
1 [由A∩B＝{3}知a＋2＝3或a2＋4＝3.
解得a＝1.]
[规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
集合间的基本关系
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【例1】 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则( )
A．B⊆A B．A＝B
C．AB D．BA
(2)(2019·大庆模拟)集合A＝，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则集合B的子集个数为( )
A．5 B．8 C．3 D．2
(3)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为________．
(1)C (2)B (3) [(1)A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则AB，故选C.
(2)由≤0得－1≤x＜3，则A＝{－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．
(3)A＝{－3,2}，若a＝0，则B＝∅，满足B⊆A，
若a≠0，则B＝，由B⊆A知，＝－3或＝2，故a＝－或a＝，因此a的取值集合为.]
[规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系.
(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系.
2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
易错警示：B⊆A(A≠∅)，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
(1)(2018·长沙模拟)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a
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的取值范围是________．
(1)C (2)[2，＋∞) [(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.
(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]
集合的基本运算
►考法1 集合的运算
【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )
A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}
C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}
(1)C (2)B (3)B [(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．
(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]
►考法2 利用集合的运算求参数
【例3】 (1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．－1＜a≤2 B．a＞2
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C．a≥－1 D．a＞－1
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥2 D．a＞2
(1)D (2)D (3)C [(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：
易知a＞－1，故选D.
(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.
(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]
[规律方法] 解决集合运算问题需注意以下三点：
(1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.
(3)要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.
(1)(2019·东北三省四市联考)设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3)＜0}，则A∪B＝( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－1,3) D．(1,3)
(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁RA)∩B＝( )
A．{1} B．{2} C．{1,2} D．∅
(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
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A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,3} B．{1,3,9}
C．{3,9,27} D．{1,3,9,27}
(1)C (2)D (3)C (4)A [(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.
(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁RA＝{x|1＜x＜2}．
又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁RA)∩B＝∅，故选D.
(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{1,3}．]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
A [由题意知A∩B＝{0,2}．]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
A [由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]
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3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x0}，则( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝∅
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
A [因为B＝{x|3－2x＞0}＝，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．
故选A.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
D [分析集合A中元素的特点，然后找出集合B中满足集合A中条件的元素个数即可．
集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]
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