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（五）平面解析几何中的高考热点问题
[命题解读] 1. 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上．
2．高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，在第(1)问中常以求曲线的标准方程，在第(2)问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主. 这些试题的命制有一个共同特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.
圆锥曲线的标准方程与性质
圆锥曲线的方程与性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常见题型，多以选择题或填空题的形式考查，各种难度均有可能．
【例1】 (2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [由y＝x可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.
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故选B.]
[规律方法] 解决此类问题的关键是熟练掌握各曲线的定义、性质及相关参数间的联系. 掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.
(1)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B. C. D.
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
(1)A (2)A [(1)设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为＝.
根据点到直线的距离公式得＝，解得b2＝3a2.
所以C的离心率e＝＝＝＝2.
故选A.
(2)因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，
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所以|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)
＝4
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．
故选A.]
圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等定值问题．
【例2】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
[解] (1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋＞＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
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如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.
当且仅当m＞－1时，Δ＞0，
于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，
所以l过定点(2，－1)．
[规律方法] 1.证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上.
2.解决定值问题应以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算，结果即可得到.
3.无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定方向和目标.
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已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
[解] (1)由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，椭圆过点(0,1)，则b＝1.
由椭圆的离心率e＝＝＝，解得a＝2，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段AC的中点为M(x0，y0)．
由整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0.
由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0，解得－b>0)过点(－，1)，离心率为，直线l：kx－y＋2＝0与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在实数k，使得|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)依题意，得解得a2＝4，b2＝2，c2＝2，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在符合条件的实数k.依题意，联立方程
消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0.
则Δ＝64k2－16(1＋2k2)>0，即k>或k0)．
(1)证明：k
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