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第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a与b的夹角是90°时，a与b垂直，记作a⊥b，当a与b的夹角为0°时，a∥b，且a与b同向，当a与b的夹角为180°时，a∥b，且a与b反向．
2．平面向量的数量积
定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影；
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
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4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤·
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，向量与的夹角为∠B. ( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角． ( )
(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( )
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A．－4 B．4 C. D．－
A [a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A.]
3．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为( )
A. B. C. D.
D [cos θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，则θ＝，故选D.]
4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.
2 [由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，
解得m＝2.]
5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.]
平面向量数量积的运算
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B [因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B.]
2．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 ( )
A．－ B．－3 C. D．3
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C [因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝，故选C.]
3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B. C. D.
B [
如图所示，＝＋.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，
所以＝＋.
又＝－，
则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
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故·＝－－×1×1×＝.
故选B.]
[规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
平面向量数量积的应用
►考法1 求向量的模
【例1】 (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)(2019·广州模拟)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b|等于( )
A．4 B．2 C. D．1
(1)A (2)D [(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
(2)由|a－2b|＝2，
得(a－2b)2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4，
即|a|2－4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4，
即|b|2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故选D.]
►考法2 求向量的夹角
【例2】 (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a
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与b的夹角θ为( )
A. B. C. D.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
(1)C (2)∪ [(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0，
∴5a2＋6a·b－8b2＝0.
又|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝，
∴cos θ＝＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故选C.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．
综上，k的取值范围为∪.]
►考法3 平面向量的垂直问题
【例3】 (1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
(1)－5 (2) [(1)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.
(2)由⊥得·＝0，即(λ＋)·(－)＝0，
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∴(λ－1)·－λ2＋2＝0，
即－3(λ－1)－9λ＋4＝0.
解得λ＝.]
[规律方法] 平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：，要注意θ∈[0，π].
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
(2)(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
(1)2 (2) [(1)法一：|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
(2)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
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|e1－e2|＝
＝＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.]
平面向量与三角函数的综合
【例4】 (2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
[解] (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2 x＋cos2 x＝1矛盾，
故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
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于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等.
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
[解] (1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因为0＜x＜，所以－＜x－＜，
所以x－＝，即x＝.
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1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
A [因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]
3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
7 [∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.]
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