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第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
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1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( )
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( )
(3)相等向量的坐标相同． ( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 ( )
A．5 B. C. D．13
B [因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]
3．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
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D [＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋＝a＋b，故选D.]
4．(教材改编)已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，t)，若与共线，则t＝________.
－4 [＝(4,4)，＝(－8，t－4)，由∥得4(t－4)＝－32，解得t＝－4.]
5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
(1,5) [设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得]
平面向量基本定理及其应用
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
B [当e1与e2不共线时，可表示a.
当e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)时，(－1)×(－2)≠5×2，
因此e1与e2不共线，故选B.]
2．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝( )
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A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
A [由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选A.]
3．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
C [根据向量的减法和加法的三角形法则知a－b＝e1－3e2，故选C.]
[规律方法] 平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
易错警示：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
平面向量的坐标运算
【例1】 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A. B.
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C. D.
(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
(3)平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)，(c＞0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________．
(1)D (2)－3 (3)－1 [(1)由已知3c＝－a＋2b
＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．
所以c＝.
(2)由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则
解得故m－n＝－3.
(3)因为||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因为c＞0，所以c＝.因为＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝，所以λ＋μ＝－1.]
[规律方法] 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
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[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点．∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
平面向量共线的坐标表示
【例2】 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一：∵A，B，C三点共线，∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴，
解得m＝.
法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
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＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
[规律方法] 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(1)(2019·沈阳模拟)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－3,1)且(2a＋b)∥b，则实数m的值为( )
A. B．－ C. D．－
(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
(1)B (2)k≠1 [(1)2a＋b＝(－1,2m＋1)，由题意知
－3(2m＋1)＝－1，解得m＝－，故选B.
(2)若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，
解得k≠1.]
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1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
A [法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A.]
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
－6 [∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.]
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
[由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.]
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