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第七节 正弦定理、余弦定理应用举例
[考纲传真] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
测量中的有关几个术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ＜360°
方向角
相对于某正方向的水平角，如北偏东α，即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向，南偏西α，即由正南方向顺时针旋转α到达目标方向，其他方向角类似
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. ( )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为. ( )
(3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是.( )
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(4)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
D [如图，在△ABC中，
AB＝10，∠A＝60°，
∠B＝75°，∠C＝45°，
∴＝，
∴BC＝5.]
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
B [如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°，
∴点A在点B的北偏西15°.]
4．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( )
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A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
D [设塔高为x m，则由已知可得
BC＝x m，BD＝x m，
由余弦定理可得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD，
即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]
5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A．50 m B．25 m
C．25 m D．50 m
D [因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50 m．]
测量距离问题
1．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin
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67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
60 [如图所示，过A作AD⊥CB
且交CB的延长线于D.
在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.
在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，
∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m，
由正弦定理＝，得
＝，即＝，
解得BC＝≈60(m)．]
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
10 [如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝＝
＝10(m)．]
3．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S
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在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h.
32 [在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°，
由正弦定理得＝，则
AB＝＝16，故此船的船速是＝32 n mile/h.]
4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.
[∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝(km)．
在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，
得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°
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＝＋－2×××＝.
∴AB＝(km)．
∴A，B两点间的距离为 km.]
[规律方法] 求距离问题的两个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
测量高度问题
【例1】 (2019·黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
100 [由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×
＝100(m)．]
[规律方法] 求解高度问题的3个注意点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)
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、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
如图，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．
5 [如图，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，
∠OBC＝45°，AB＝35米．
设OC＝x米，则OA＝x米，OB＝x米．
在△ABO中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB，
即352＝＋x2－x2·cos 150°，
整理得x＝5，
所以此电视塔的高度是5米．]
测量角度问题
【例2】 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B
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靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
[解] 如图所示，设所需时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)，
∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理得＝，∴sin∠CAB＝＝＝.
∴∠CAB＝30°.
所以舰艇航向为北偏东75°.
[规律方法] 解决测量角度问题的注意事项
(1)应明确方位角或方向角的含义.
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.
(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
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[解] 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.
由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝
－sin∠ACB sin 30°＝.
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