天添资源网 http://www.ttzyw.com/
第二节 两条直线的位置关系
[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
1．直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
5．与对称问题相关的两个结论
(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)；
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. ( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. ( )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为. ( )
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
C [由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.]
3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3
C [直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
，故m＝2或－3.故选C.]
4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
2 [由题意知a·1－2(3－a)＝0，解得a＝2.]
5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
[先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝
两条直线的平行与垂直
1．(2019·梅州月考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当a＝1时，显然l1∥l2，
若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]
2．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．
1或0 [l1的斜率k1＝＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.]
[规律方法] 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
易错警示：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
两条直线的交点与距离问题
【例1】 (1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________.
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
(1)x＋2y－7＝0 (2)x＋3y－5＝0或x＝－1 [(1)由得∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，
直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]
[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程的方法,求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.处理距离问题的两大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.
(1)当0
微信/支付宝扫码支付