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课时规范练
A组 基础对点练
1．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B.π
C．8π D．4π
解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.
答案：A
2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.
答案： B
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，
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V＝V柱＋V锥＝×(1＋1)×1×2＋××(1＋1)×1×2＝，故选C.
答案：C
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A．24π B．29π
C．48π D．58π
解析：如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.
答案：B
5．(2018·西安质量检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
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C. D．3
解析：根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示，则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝×2×1×1＋××2×1×1＝.故选A.
答案：A
6．(2018·山西四校联考)若三棱锥PABC的最长的棱PA＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________．
解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R＝PA＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V＝×π×13＝π.
答案：π
7．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥EABCD的体积为________．
解析：如图所示，BE过球心O，∴DE＝＝2，
∴VE－ABCD＝×3××2＝2.
答案：2
8．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋(R)2，即R2＝.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝.
答案：
9．(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在
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AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．
解析：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.
由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
(2)由EF∥AC得＝＝.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，
故OD′⊥OH.
由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.
又由＝得EF＝.
五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.
所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝××2＝.
10.如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SA＝SB＝2，AB＝2，BC＝3.
(1)证明：SC∥平面BDE；
(2)若BC⊥SB，求三棱锥CBDE的体积．
解析：(1)证明：连接AC，设AC∩BD＝O，
∵四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点．
在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，
又OE⊂平面BDE，SC⊄平面BDE，∴SC∥平面BDE.
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(2)∵BC⊥AB，BC⊥SB，AB∩SB＝B，
∴BC⊥平面SAB，又BC∥AD，∴AD⊥平面SAB.
∵SC∥平面BDE，
∴点C与点S到平面BDE的距离相等，
∴VCBDE＝VSBDE＝VDSBE，
在△ABS中，SA＝SB＝2，AB＝2，
∴S△ABS＝×2×1＝.
又∵E为AS的中点，∴S△BES＝S△ABS＝.
又点D到平面BES的距离为AD，
∴VDBES＝S△BES·AD＝××3＝，
∴VCBDE＝，即三棱锥CBDE的体积为.
B组 能力提升练
1．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( )
A．36π B.π
C．32π D．28π
解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2
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.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为×2＝，∴外接球的半径R＝ ＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝，故选B.
答案：B
2．(2018·广州模拟)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A．8π B．12π
C．20π D．24π
解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝，所以R＝，球O的表面积为4πR2＝20π，选C.
答案：C
3．在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.
C．6π D.
解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝，该球的体积最大，Vmax＝πR3＝×＝.
答案：B
4．四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8＋8，则球O的体积等于( )
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A. B.
C．16π D.
解析：依题意，设球O的半径为R，四棱锥SABCD的底面边长为a、高为h，则有h≤R，即h的最大值是R，又AC＝2R，则四棱锥SABCD的体积VSABCD＝×2R2h≤.因此，当四棱锥SABCD的体积最大，即h＝R时，其表面积等于(R)2＋4××R× ＝8＋8，解得R＝2，因此球O的体积等于＝，选A.
答案：A
5．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为________cm3.
解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥DABC中，底面ABC是等腰三角形，设底边AB的中点为E，则底边AB及底边上的高CE均为4，侧棱AD⊥平面ABC，且AD＝4，所以三棱锥DABC的体积V＝S△ABC·AD＝××4×4×4＝(cm3)．
答案：
6．已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析：过O作底面ABCD的垂线段OE(图略)，则E为正方形ABCD的中心．由题意可知×()2×OE＝，所以OE＝，故球的半径R＝OA＝＝，则球的表面积S＝4πR2＝24π.
答案：24π
7．如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
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(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
解析：(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.
因为PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.
又由已知，可得PA＝PB，所以G是AB的中点．
(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．
由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.
在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，
所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.
8．如图所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
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(1)求证：AB⊥DE；
(2)求三棱锥EABD的侧面积和体积．
解析：(1)证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2.
∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.又DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.
(2)由(1)知AB⊥BD.
∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.
在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，
∴S△EDB＝DB·DE＝2.
∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.
∵BE＝BC＝AD＝4，
∴S△EAB＝AB·BE＝4.
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，
∴ED⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，
∴ED⊥AD，∴S△EAD＝AD·DE＝4.
综上，三棱锥EABD的侧面积S＝S△EDB＋S△EAB＋S△EAD＝8＋2.
∵DE⊥平面ABD，
且S△ABD＝S△EBD＝2，DE＝2，
∴VEABD＝S△ABD·DE＝×2×2＝.
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