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课时规范练
A组 基础对点练
1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为.选A.
答案：A
2．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.
答案：D
3．(2018·邢台摸底)双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( )
A．x±2y＝0 B．y±2x＝0
C．x±4y＝0 D．y±4x＝0
解析：依题意，题中的双曲线即－x2＝1，因此其渐近线方程是－x2＝0，即x±2y＝0，选A.
答案：A
4．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
解析：由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2，
又|PF1|＝|PF2|，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
又|F1F2|＝2c＝10，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
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△PF1F2为直角三角形．
△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
答案：C
5．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
解析：由渐近线互相垂直可知·＝－1，
即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，
所以e＝.
答案：C
6．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
解析：A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，又令－x2＝0，得y＝±2x，令y2－＝0，得y＝±x，故选C.
答案：C
7．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意得e＝＝，又右焦点为F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为－＝1.
答案：C
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
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A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
答案：A
9．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线C的离心率是( )
A. B.
C．2 D.
解析：由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，可得＝2，∴e＝＝＝.故选A.
答案：A
10．(2017·合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：C1的渐近线为y＝±2x，即＝2.
又∵2c＝4，c＝2.
由c2＝a2＋b2得，
∴20＝b2＋b2，b＝4.
答案：B
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：依题意，解得，
∴双曲线C的方程为－＝1.
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答案：A
12．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：因为双曲线过点(4，)且渐近线方程为y＝±x，故点(4，)在直线y＝x的下方．设该双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以，解得故双曲线方程为－y2＝1.
法二：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故可设双曲线为－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
13．(2017·武汉武昌区调研)双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．
解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8.
答案：8
14．已知双曲线C；－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________．
解析：易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，
∴∴a2＝1，b2＝4，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
15．(2018·西安质检)已知抛物线y2＝8x与双曲线－y2＝1(a>0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，设M(m，n)，则由抛物线的定义可得|MF|＝m＋2＝5，解得m＝3，故n2＝24，可得n＝±2.将M(3，±2)代入双曲线－y2＝1，可得－24＝1，解得a＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
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答案：y＝±x
B组 能力提升练
1．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2
C．4 D．8
解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
答案：C
2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则由题意得>2，
∴e＝＝>＝.
答案：C
3．若实数k满足00，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：不妨设B(x，－x)，|OB|＝＝c，可取B(－a，b)，由题意可知点A为BF的中点，所以A(，)，又点A在直线y＝x上，则·＝，c＝2a，e＝2.
答案：C
9．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：由题意得ab＝c2，∴a2(c2－a2)＝c4，
整理得3e4－16e2＋16＝0.
解之得e2＝4或e2＝，
又00，b>0)的左焦点F1，作圆x2＋y2＝a2的切线交双曲线的右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是( )
A．b－a＝|MO|－|MT|
B．b－a>|MO|－|MT|
C．b－a0，b>0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若＝，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：由得x＝－，
由
解得x＝，不妨设xA＝－，xB＝，由＝可得－＋c＝＋，整理得b＝3a.所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
答案：3x±y＝0
12．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2，所以其面积为×2×2＝4.
答案：4
13．设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是______．
解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．
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答案：(2，8)
14．(2018·沈阳质量监测)已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是________．
解析：设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，所以可取|PA|＝，|PB|＝，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos ＝－，所以·＝||·||·cos∠APB＝·(－)＝×(－)＝－.
答案：－
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