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课时规范练
A组 基础对点练
1．用反证法证明命题 “设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A
2．(2018·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论错误的原因是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误
解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)b>c，且a＋b＋c＝0得b＝－a－c，a>0，c0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“0.故选C.
答案：C
9．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y＝cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝cos x(x∈R)是周期函数是“结论”．故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.
答案：B
10．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝( )
A. B.
C. D.
解析 ：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝.
答案：C
11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
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该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A．2 017×22 015 B．2 017×22 014
C．2 016×22 015 D．2 016×22 014
解析：由题意知数表的每一行都是等差数列，
且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，……，第2 015行数的公差为22 014，
第1行的第一个数为2×2－1，
第2行的第一个数为3×20，
第3行的第一个数为4×21，
……
第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，
第2 016行只有一个数M，
则M＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.故选B.
答案：B
12．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为__________．
解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．
答案：甲、丁、乙、丙
13．观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…
据此规律，第n个等式可为_______________________________________________．
解析：观察所给等式的左右可以归纳出第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
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答案：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
B组 能力提升练
1．观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，用你所发现的规律得出22 018的末位数字是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：通过观察可知，末位数字的周期为4,2 018÷4＝504……2，故22 018的末位数字为4.故选B.
答案：B
2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
3．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
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B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
解析：由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.
答案：B
4．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为__________．
……
解析：由已知归纳可得，第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数等于上一行该数“肩膀”上两个数字的和．故A(15,2)＝A(14,1)＋A(14,2)＝A(14,1)＋A(13,1)＋A(13,2)＝A(14,1)＋A(13,1)＋A(12,1)＋A(12,2)＝…＝A(14,1)＋A(13,1)＋A(12,1)＋…＋A(2,1)＋A(2,2)＝＋＋＋…＋＋＝.
答案：
5．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律可知第n个等式为________．
解析：观察题中各等式可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2.
答案：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝[]2
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6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)>________.
解析：观察f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3可知，等式及不等式右边的数构成首项为，公差为的等差数列，故f(128)>＋6×＝.
答案：
7．“求方程()x＋()x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝()x＋()x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(x＋2)3＋(x＋2)的解集为________．
解析：令f(x)＝x3＋x，则f(x)是奇函数，且为增函数，由方程x6＋x2＝(x＋2)3＋x＋2得f(x2)＝f(x＋2)，故x2＝x＋2，解得x＝－1,2，所以方程的解集为{－1,2}．
答案：{－1,2}
8．观察下列等式：
1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；
1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；
……
可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________.
解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
答案：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
9．已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)已知＝，求证：≤＋＋…＋
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