由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
课时规范练
A组 基础对点练
1．(2018·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A．y＝x3 B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－x D．y＝x＋
解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D.
答案：D
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf ′(x)的图象可能是( )
解析：∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f ′(x)0，当－22时的最小值为f(e)；当x≤2时，f(x)＝(x－a)2＋e是对称轴方程为x＝a的二次函数，欲使f(2)是函数的最小值，则⇒⇒2≤a≤6，故选D.
答案：D
9．(2018·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)，所以Δ＝4m2－4×3(m＋6)＞0，解得m＞6或m＜－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)
10．(2018·湖南郴州模拟)已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为__________．
解析：先求出x>0时，f(x)＝－1的最小值．当x>0时，f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.
答案：1－e
11．设函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)当a＞0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤0.
解析：(1)由题意知f′(x)＝ex－a≥0对x∈R均成立，且ex＞0，故a的取值范围为a≤0.
(2)证明：当a＞0时，由f′(x)＝ex－a可得，
函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(ln a)＝eln a－aln a－1＝a－aln a－1，则g′(a)＝－ln a，
故当a∈(0,1)时，g′(a)＞0，当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＜0，从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，故g(a)≤g(1)，即g(a)≤0.
12．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，
所以f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
所以h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
＋
h(x)
28
－4
3
由表可知当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为28；
当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间 [k,2]上的最大值小于28.
因此k的取值范围是(－∞，－3]．
B组 能力提升练
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A．∃x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
解析：若y＝f(x)有极小值点，则其导数y＝f′(x)必有2个零点，设为x1，x2(x10，可得x－1，令f′(x)＋1得，exf(x)>3＋ex，构造函数F(x)＝exf(x)－ex－3，对F(x)求导得F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)>1，ex>0，可知F′(x)>0，即F(x)在R上单调递增，又F(0)＝e0f(0)－e0－3＝f(0)－4＝0，所以F(x)>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.
答案：A
4．(2018·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(0,1) D．(0，＋∞)
解析：∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，
由题意可知f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令f′(x)＝0，则2a＝，
令g(x)＝，则g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x→0＋时，g(x)→－∞，
当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，
∴只需0＜2a＜1,0＜a＜.
答案：B
5．设函数f(x)＝ex(sin x－cos x)(0≤x≤2 016π)，则函数f(x)的各极小值之和为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解析：∵f′(x)＝2exsin x，
∴x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π)(k∈Z)时，f′(x)0，f(x)单调递增，故当x＝2kπ＋2π(k∈Z)时，f(x)取极小值，其极小值为f(2kπ＋2π)＝－e2kπ＋2π(k∈Z)，又0≤x≤2 016π，
∴f(x)的各极小值之和S＝－e2π－e4π－…－e2 016π＝－，故选A.
答案：A
6．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析：由y＝xex可得y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，从而可得y＝xex在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝xex取得极小值－e－1，因为y′|x＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－.
答案：y＝－
7．已知函数f(x)＝，若不等式f(x)≤kx对任意的x>0恒成立，则实数k的取值范围为__________．
解析：不等式f(x)≤kx对任意的x>0恒成立，即k≥恒成立．令g(x)＝，则g′(x)＝＝，令g′(x)＝0，得x＝e－，且当x∈时，g′(x)> 0，当x∈时，g′(x)
微信/支付宝扫码支付