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课时规范练
A组 基础对点练
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：因为函数y＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
答案：D
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：A选项，记f(x)＝x2sin x，定义域为R，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sin x＝－f(x)，故f(x)为奇函数；B选项，记f(x)＝x2cos x，定义域为R，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，故f(x)为偶函数；C选项，函数y＝|ln x|的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；D选项，记f(x)＝2－x，定义域为R，f(－x)＝2－(－x)＝2x＝，故f(x)为非奇非偶函数，选B.
答案：B
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．
答案：D
4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cos x
解析：A项中的函数是非奇非偶函数；B项中的函数是偶函数但不存在零点；C项中的函数是奇函数；D项中的函数既是偶函数又存在零点．
答案：D
5．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
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A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sin x是奇函数．
答案：C
6．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝4x＋4－x
答案：D
7．设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
解析：因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故选D.
答案：D
8．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝ln|x|
解析：A项，y＝是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；易知B正确；C项，y＝lg x是非奇非偶函数，故C错误；D项，y＝ln|x|是递减的．
答案：B
9．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．
答案：C
10．已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥0时，恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝ex－1，则(2 018)＋f(－2 017)＝( )
A．1－e B．e－1
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C．－1－e D．e＋1
解析：∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴y＝f(x)的图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)，又当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，∴f(2 018)＋f(－2 017)＝f(0)－f(1)＝0－(e－1)＝1－e，故选A.
答案：A
11．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．周期函数
解析：函数f(x)＝x－[x]在R上的图象如下图：
选D.
答案：D
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2x，则f(1)＋f(4)等于( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是定义在R上的偶函数，故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2－1＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋f(4)＝－，选B.
答案：B
13．函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.
答案：－1
14．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：f(x)＝＝1＋，令g(x)＝，则g(x)为奇函数，有g(x)max＋g(x)min＝0，故M＋m＝2.
答案：2
15．已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈(0,1]时，f(x)＝lg(x＋1)，则f＋lg
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18＝__________.
解析：由函数f(x)是周期为2的奇函数得f＝f＝f＝－f＝－lg＝lg，
故f＋lg 18＝lg＋lg 18＝lg 10＝1.
答案：1
16．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是__________．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
B组 能力提升练
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x3＋3x2 B．y＝
C．y＝xsin x D．y＝log2
解析：依题意，对于选项A，注意到当x＝－1时，y＝2；当x＝1时，y＝4，因此函数y＝x3＋3x2不是奇函数．对于选项B，注意到当x＝0时，y＝1≠0，因此函数y＝不是奇函数．对于选项C，注意到当x＝－时，y＝；当x＝时，y＝，因此函数y＝xsin x不是奇函数．对于选项D，由＞0得－3＜x＜3，即函数y＝log2的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log2＋log2＝log21＝0，即log2＝－log2，因此函数y＝log2是奇函数．综上所述，选D.
答案：D
2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f (x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．2 B．－2
C．－98 D．98
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：B
3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立，则函数( )
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A．f(x－a)一定为奇函数
B．f(x－a)一定为偶函数
C．f(x＋a)一定为奇函数
D．f(x＋a)一定为偶函数
解析：由条件可知f(a)＝1，即x＝a是f(x)图象的一条对称轴．又y＝f(x＋a)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移a个单位得到的，所以y＝f(x＋a)的图象关于x＝0对称，
即y＝f(x＋a)为偶函数．故选D.
答案：D
4．奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(8)＝f(0)＝0，∴f(8)＋f(9)＝1.
答案：D
5．已知函数f(x)＝asin x＋b＋4，若f(lg 3)＝3，则f＝( )
A. B．－
C．5 D．8
解析：由f(lg 3)＝asin(lg 3)＋b＋4＝3得asin(lg 3)＋b＝－1，而f＝f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－b＋4＝－[asin(lg 3)＋b]＋4＝1＋4＝5.故选C.
答案：C
6．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)－1为奇函数 B．f(x)－1为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
解析：∵对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，∴令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1为奇函数．故选C.
答案：C
7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x
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的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：法一：偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
有f(2x－1)＜f⇔f(|2x－1|)＜f，
进而转化为不等式|2x－1|＜，
解这个不等式即得x的取值范围是.故选A.
法二：设2x－1＝t，若f(t)在[0，＋∞)上单调递增，
则f(x)在(－∞，0)上单调递减，如图，
∴f(t)＜f，有
－＜t＜，即－＜2x－1＜，
∴＜x＜，故选A.
答案：A
8．已知定义在R上的奇函数满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)，
∴f(x＋8)＝f(x)，
∴f(x)的周期为8，
∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，
f(11)＝f (3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1)，
又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
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∴f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.
答案：D
9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜0，或x＞1}
B．{x|x＜－1，或0＜x＜1}
C．{x|x＜－1，或x＞1}
D．{x|－1＜x＜0，或0＜x＜1}
解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]＜0，∴xf(x)＜0，又f(1)＝0，
∴f(－1)＝0，
从而有函数f(x)的图象如图所示：
则有不等式x[f(x)－f(－x)]＜0的解集为{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}，选D.
答案：D
10．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)等于( )
A．336 B．337
C．1 678 D．2 018
解析：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6，
当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，
当－1≤x＜3时，f(x)＝x.
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
由周期可得
f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，
而f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝336×1＋1＝337.故选B.
答案：B
11．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，
即函数f(x)是偶函数，
令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
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即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，
即f(1)＝0，
则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，
即f(x＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2，又f(0)＝2，
则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.故选B.
答案：B
12．(2017·潍坊模拟)设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)＝( )
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
解析：∵∀x∈R，满足f＝f，
∴∀x∈R，满足f＝f，
即f(x)＝f(x＋2)，
若x∈[0,1]，则x＋2∈[2,3]，
f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，
若x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，
∵函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，
∴f(－x)＝－x＋2＝f(x)，
即f(x)＝－x＋2，x∈[－1,0]；
若x∈[－2，－1]，则x＋2∈[0,1]，
则f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，
x∈[－2，－1]．
综上，f(x)＝故选D.
答案：D
13．(2018·保定调研)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若f(a)＝－2，则实数a＝________.
解析：x≥0时，f(x)＝x(x＋1)＝2－的最小值为0，所以f(a)＝－2时，a＜0，因为f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x(－x＋1)＝x2－x＝－f(x)，所以x＜0时，f(x)＝－x2＋x，则f(a)＝－a2＋a＝－2，所以a＝－1.
答案：－1
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14．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
15．函数f(x)＝ex＋3x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________.
解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋3x①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－3x，因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以－h(x)＋g(x)＝e－x－3x②.
由(①＋②)÷2得g(x)＝，
所以g(0)＝＝1.
答案：1
16．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
解析：由题意可得f＝f＝－＋a，f＝f＝＝，则－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案：－
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