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课时规范练
A组 基础对点练
1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．
答案：D
2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：A
3．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
答案：D
4.(2018·银川一中月考)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
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A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析：由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝50，故A，B两点的距离为50 m.
答案：A
5．某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )
A．20(1＋)m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
解析：如图，
设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝20 m．所以CD＝20(1＋)m.故选B.
答案：B
6.(2018·西安模拟)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于__________．
解析：依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为x m/s，
因为AB＝1 040，BC＝500，
所以＝，解得：AC＝1 260，
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在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝
＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝＝.
答案：
7．(2018·德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．
解析：根据题意知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得＝，
∴BS＝＝12，故货轮到灯塔S的距离为12海里．
答案：12
8.如图，已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C处．轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距海岛A有__________千米．
解析：由已知可求得AB＝，AC＝，BC＝，所以sin∠ACB＝，cos∠ACB＝.在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACD·cos∠DAC＋sin∠DAC cos∠ACD＝，由正弦定理可求得AD＝＝.
答案：
9.已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
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解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝
＝＝，
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，＝，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
B组 能力提升练
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
答案：A
2．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角γ＝60°，则山高h＝( )
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A. a米 B.米
C.a米 D．a米
解析：在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，
所以＝，所以PB＝a，
所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a(米)．
答案：A
3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)( )
A．8.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
解析：因为AB＝1 000×＝ km，
所以BC＝·sin 30°＝(km)．
所以航线离山顶的高度h＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4 km.所以山高为18－11.4＝6.6(km)．
答案：B
4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)
①测量A，C，b
②测量a，b，C
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③测量A，B，a
则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：对于①，利用内角和定理先求出B＝π－A－C，
再利用正弦定理＝解出c，
对于②，直接利用余弦定理cos C＝即可解出c，
对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，
再利用正弦定理＝解出c.
答案：A
5.(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为__________．
解析：在△ACM中，
∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝600.
在Rt△ACD中，因为tan∠DAC＝＝，
所以DC＝ACtan∠DAC＝600×＝600(m)．
答案：600m
6．(2018·遂宁模拟)海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为__________小时．
解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，
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由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，
整理，得36x2－9x－10＝0，
解得x＝或x＝－(舍)．
所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时．
答案：
7．如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式．
(2)求S的最大值及相应的θ角．解析：(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．
由扇形半径为1 m，
得PD＝sin θ，OD＝cos θ.
在Rt△OEQ中，
OE＝QE＝PD，
MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，
S＝MN·PD＝·sin θ
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＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.
(2)S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)
＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，
因为θ∈，
所以2θ＋∈，sin∈.
当θ＝时，Smax＝(m2)．
8．(2018·宜宾模拟)一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．
解析：(1)由题意，在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
AB＝2－2，BC＝4，
根据余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，
所以AC＝2.
(2)根据正弦定理得，
sin∠BAC＝＝，
所以∠CAB＝45°.
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