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课时规范练
A组 基础对点练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，所以△PBC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．
答案：A
2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
解析：对于C项，由α∥β，a⊂α可得α∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.
答案：C
3．(2018·兰州诊断考试)设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n
B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
解析：A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β，故选D.
答案：D
4．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
解析：A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α
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，故D正确。
答案：B
5.如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1 D．A1C1
解析：连接B1D1(图略)，则A1C1⊥B1D1，根据正方体特征可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D，B1O⊂平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1.
答案：D
6.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
解析：由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，所以平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故③正确．
答案：③
7.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确的结论有________．
解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AE⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③AF⊥PB，若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．
答案：①②④
8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
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∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
9.如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证：
(1)AP∥平面BEF；
(2) BE⊥平面PAC.
证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．
由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
因此四边形ABCE为菱形，
所以O为AC的中点．又F为PC的中点，
因此在△PAC中，可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.
所以四边形BCDE为平行四边形，
因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，
所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
10．(2018·唐山统考)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)若PD＝AD＝2，PB⊥ AC，求点P到平面AEC的距离．
解析：(1)证明：如图，连接BD，交AC于点F，连接EF，
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∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中点，
又E为PD中点，∴EF∥PB，
又PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，
∴PB∥平面AEC.
(2)∵PD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD，
∵BD⊂平面PBD，∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形．
又E为PD的中点，∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离，设D到平面AEC的距离为h，
由题意可知AE＝EC＝，AC＝2，S△AEC＝×2×＝，由VDAEC＝VEADC得S△AEC·h＝S△ADC·ED，解得h＝，∴点P到平面AEC的距离为.
B组 能力提升练
1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体GSEF中必有( )
A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF
C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF
解析：对于A，设正方形的棱长为2a，则DG＝a，SD＝a，∵SG2≠DG2＋SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；对于B，∵在折叠的过程中，始终有SG3⊥G3F，EG2⊥G2F，∴SG⊥GF，EG⊥GF，SG∩EG＝G，∴GF⊥平面SEG，∵SE⊂平面SEG，∴SE⊥GF，故B正确；对于C，△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GE垂直，∴EF
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不垂直于平面SEG，故C错误；对于D，由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，得∠ESF
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