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课时规范练
A组 基础对点练
1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：由4＝(m>0)⇒m＝3，故选B.
答案：B
2．方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．k>4 B．k＝4
C．k|AB|＝6，又因为P，A，B三点不共线，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的一部分．
答案：B
6．若x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
解析：将椭圆的方程化为标准形式得＋＝1，因为x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以>2，解得00)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
答案：3
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，满足|AF2|＝c.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别和x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点．若||·||＝4，求椭圆C的方程．
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解析：(1)∵点A的横坐标为c，
代入椭圆，得＋＝1.
解得|y|＝＝|AF2|，即＝c，
∴a2－c2＝ac.
∴e2＋e－1＝0，解得e＝.
(2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，
则直线MP的方程为y＝x＋b.
令y＝0，得点R的横坐标为.
直线NP的方程为y＝x－b.
令y＝0，得点Q的横坐标为.
∴||·||＝＝＝a2＝4，∴c2＝3，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
10．(2018·沈阳模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中e＝，焦距为2，过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间．又线段AB的中点的横坐标为，且＝λ.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)求实数λ的值．
解析：(1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可知A，B，M三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．
则AB所在直线l的斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y＝k(x－4)．
由
消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.①
由①的判别式Δ＝322k4－4(4k2＋3)·(64k2－12)＝144(1－4k2)>0，
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解得k2b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，
即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，
l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
6．(2018·保定模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程．
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．
解析：(1)因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
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故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①
把①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.
由D(0,1)，P，
N(x,0)三点共线知＝，
得N.
所以MN的斜率为m＝
＝＝，
则2m－k＝－k＝(定值)．
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