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课时规范练
A组 基础对点练
1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
解析：椭圆C的普通方程为x2＋＝1.
将直线l的参数方程
代入x2＋＝1，得
(1＋t) 2＋＝1，即7t2＋16t＝0，
解得t1＝0，t2＝－.
所以AB＝|t1－t2|＝.
2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解析：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P，又C(0，)，
则|PC|＝
＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，
此时，点P的直角坐标为(3,0)．
3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解析：(1)C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
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可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为(1＋cos，sin)，即(，)．
4．(2018·厦门模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解析：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)设P(ρ1，θ1)，则由
得ρ1＝1，θ1＝，设Q(ρ2，θ2)，
则由
得ρ2＝3，θ2＝，所以PQ＝2.
B组 能力提升练
1．(2018·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρsin＝10，曲线C：(α为参数)，其中α∈[0,2π)．
(1)试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
(2)若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
解析：(1)因为ρsin＝10，
所以ρsin θ－ρcos θ＝10，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋10＝0.
曲线C：(α为参数)，消去参数可得曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)由(1)可知，x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2.
圆心到直线l的距离为d＝＝4，所以点P到直线l距离的最大值为4＋2.
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2．(2018·商丘模拟)直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为(1＋sin2θ)ρ2＝2.
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点P为(1,0)，求＋的值．
解析：(1)消去参数t得直线l的普通方程为x－y－＝0.
曲线C的极坐标方程ρ2＋ρ2sin2 θ＝2化为直角坐标方程为x2＋2y2＝2，即＋y2＝1.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C：x2＋2y2＝2，得7t2＋4t－4＝0.
设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－.
所以＋＝＋＝＝＝，即＋的值为.
3．(2018·太原模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；
(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．
解析：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1，左焦点F(－2，0)代入直线AB的参数方程，得m＝－2，直线AB的参数方程是(t为参数)代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，所以t1·t2＝－2，所以|FA|·|FB|＝2.
(2)椭圆＋＝1的参数方程为根据椭圆和矩形的对称性可设椭圆C的内接矩形的顶点为(2cos θ，2sin θ)，(－2cos θ，2sin θ)，(2cos θ，－2sin θ)，(－2cos θ，－2sin θ)，所以椭圆C的内接矩形的周长为8cos θ＋8sin θ＝16sin，
当θ＋＝时，即θ＝时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.
4．已知圆锥曲线C：(α是参数)和定点A(0，)，F1，F2分别是曲线C的左、右焦点．
(1)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
(2)若P是曲线C上的动点，求||·||的取值范围．
解析：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，
所以F2(1,0)，
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所以直线AF2的斜率k＝－，
所以直线AF2的直角坐标方程为y＝－x＋.
所以直线AF2的极坐标方程为
ρsin θ＝－ρcos θ＋.
(2)P是曲线C：＋＝1上的动点，
所以1≤||≤3.
因为||＋||＝4，
所以||＝4－||，
所以||·||
＝(4－||)×||
＝－||2＋4||
＝－(－2)2＋4.
所以当||＝2时，||·||取得最大值4，
当||＝1或3时，||·||取得最小值3.
所以||·||的取值范围是[3,4]．
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