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课时规范练
A组 基础对点练
1．(2018·嘉兴调研)已知an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为( )
A．99 B．100
C．101 D．102
解析：由通项公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝>0，故选C.
答案：C
2．(2018·昆明七校调研)在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝( )
A．62 B．－62
C．32 D．－32
解析：依题意得a2＋2a4＝36，q＝2，则2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，因此S5＝＝62，选A.
答案：A
3．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q＝10，则ap－aq＝( )
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意分析知d>0，因为a3，a4＋，a11成等比数列，所以2＝a3a11，即2＝(1＋2d)·(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0，所以d＝，所以an＝.所以ap－aq＝(p－q)＝15.
答案：B
4．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
A．0 B．－9
C．9 D．1
解析：由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1.
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∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.
∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.
答案：C
5．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D.
解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋×2＝n(n＋1)．故选A.
答案：A
6．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
解析：因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.
答案：64
7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.
解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
8．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.
答案：3n－1
9．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.
解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故
an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
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从而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，
所以a3＝2a2，故q＝2，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1.
所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝ .
由e2＝ ＝2解得q＝.
所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]
＝n＋
＝n＋(3n－1)．
10．(2018·西安质检)已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求＋＋…＋.
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有，
解得，或 (舍去)．
故an＝n，bn＝2n－1.
(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，
∴＝＝2(－)，
∴＋＋…＋
＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝2(1－)
＝.
B组 能力提升练
1．设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7
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)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．0 B．7
C．14 D．21
解析：∵f(x)＝(x－3)3＋x－1
＝(x－3)3＋(x－3)＋2，
而y＝x3＋x是单调递增的奇函数，
∴f(x)＝(x－3)3＋(x－3)＋2是关于点(3,2)成中心对称的增函数．
又∵{an}是等差数列，
f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14＝7×2，
∴f(a4)＝2，
即(a4－3)3＋(a4－3)＋2＝2，
∴a4＝3，
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21.
答案：D
2．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：∵等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，
∴＝＝3.故选B.
答案：B
3．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
解析：由题意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．
答案：C
4．5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )
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A．－ B．－2
C．－ D．－
解析：由题意可设这5个数分别为a，－2a,4a，－8a,16a，故奇数项和与偶数项和的比值为＝－，故选C.
答案：C
5．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于__________．
解析：依题意有a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，则a＋b＝p，ab＝q，由p＞0，q>0可知a＞0，b＞0.由题意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a，
将a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此时a＋b＝5，将b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此时a＋b＝5，则p＝5，故p＋q＝9.
答案：9
6．已知an＝3n(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是__________．
解析：Tn＝＝－＋，所以Tn＋＝，则原不等式可以转化为k≥＝恒成立，令f(n)＝，当n＝1时，f(n)＝－，当n＝2时，f(n)＝0，当n＝3时，f(n)＝，当n＝4时，f(n)＝，即f(n)是先增后减，当n＝3时，取得最大值，所以k≥.
答案：k≥
7．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；
(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．
解析：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．
依题意，得{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．
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所以{an}的前n项和
Sn＝＝256，
{bn}的前n项和Tn＝400n＋a.
所以经过n年，该市被更换的公交车总数为
S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a.
(2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10 000，
所以256＋400×7＋a≥10 000，
即21a≥3 082，所以a≥146.
又a∈N*，所以a的最小值为147.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数f(x)＝x2＋x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，不等式Tn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋x的图象上，∴Sn＝n2＋n.
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，
两式相减得an＝n.
当n＝1时，a1＝S1＝＋＝1，符合上式，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)得＝＝，
∴Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＋
＝
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＝－.
∵Tn＋1－Tn＝>0，
∴数列{Tn}单调递增，
∴{Tn}中的最小项为T1＝.
要使不等式Tn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要>loga(1－a)，即loga(1－a)0，a>0，∴0
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