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课时规范练
A组 基础对点练
1.在单调递增的等差数列{an}中,若a3=1,a2a4=,则a1=( )
A.-1 B.0
C. D.
解析:由题知,a2+a4=2a3=2,
又∵a2a4=,数列{an}单调递增,
∴a2=,a4=.
∴公差d==.
∴a1=a2-d=0.
答案:B
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8-S4=36,a6=2a4,则a1=( )
A.-2 B.0
C.2 D.4
解析:设等差数列{an}的公差为d,
∵S8-S4=36,a6=2a4,
∴
解得故选A.
答案:A
3.等差数列{an}中,a1=1, an=100(n≥3).若{an}的公差为某一自然数,则n的所有可能取值为( )
A.3,7,9,15,100 B.4,10,12,34,100
C.5,11,16,30,100 D.4,10,13,43,100
解析:由等差数列的通项公式得,公差d==.又因为d∈N,n≥3,所以n-1可能为3,9,11,33,99,n的所有可能取值为4,10,12,34,100,故选B.
答案:B
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7
C.9 D.11
解析:因为{an}是等差数列,
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∴a1+a5=2a3,即a1+a3+a5=3a3=3,∴a3=1,
∴S5==5a3=5,故选A.
答案:A
5.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12 B.13
C.14 D.15
解析:由S5=,得25=,解得a4=7,所以7=3+2d,即d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.
答案:B
6.已知等差数列{an}中,an≠0,若n≥2且an-1+an+1-a=0,S2n-1=38,则n等于__________.
解析:∵{an}是等差数列,∴2an=an-1+an+1,又∵an-1+an+1-a=0,∴2an-a=0,即an(2-an)=0.∵an≠0,∴an=2.∴S2n-1=(2n-1)an=2(2n-1)=38,解得n=10.
答案:10
7.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为________.
解析:设数列首项为a1,则=1 010,故a1=5.
答案:5
8.(2018·河北三市联考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S5=5a4-10,求数列{an}的公差.
解析:由S5=5a4-10,得5a3=5a4-10,则公差d=2.
9.已知数列{an}满足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),数列{bn}满足关系式bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析:(1)证明:∵bn=,且 an=,
∴bn+1===,
∴bn+1-bn=-=2.
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又∵b1==1,∴数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=1+(n-1)×2=2n-1,又bn=,∴an==.∴数列{an}的通项公式为an=.
B组 能力提升练
1.已知数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b2=12,则a8=( )
A.0 B.-109
C.-181 D.121
解析:设等差数列{bn}的公差为d,则d=b3-b2=-14,因为an+1-an=bn,所以a8-a1=b1+b2+…+b7==[(b2-d)+(b2+5d)]=-112,又a1=3,则a8=-109.
答案:B
2.(2018·唐山统考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8=( )
A.18 B.12
C.9 D.6
解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意得S11===22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)=6,故选D.
答案:D
3.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,公比为q,数列{cn}中,cn=anbn,Sn是数列{cn}的前n项和.若Sm=11,S2m=7,S3m=-201(m为正偶数),则S4m的值为( )
A.-1 601 B.-1 801
C.-2 001 D.-2 201
解析:令A=Sm=11,B=S2m-Sm=-4,C=S3m-S2m=-208,
则qm·A=(a1b1+a2b2+…+ambm)qm=a1bm+1+…+amb2m.
故B-qm·A=(am+1-a1)bm+1+…+(a2m-am)b2m=md(bm+1+…+b2m),其中,d是数列{an}的公差,q是数列{bn}的公比.
同理C-qm·B=md(b2m+1+…+b3m)=md(bm+1+…+b2m)·qm,
故C-qm·B=qm(B-qm·A).代入已知条件,可得11(qm)2+8qm-208=0,解得qm=4或qm=-(因m为正偶数,舍去).
又S4m-S3m=(a1b1+a2b2+…+ambm)q3m+3md(bm+1+…+b2m)q2m=11×43+3(B-qm·A)×42=11×43-3×12×43=-1 600.
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故S4m=S3m-1 600=-1 801.
答案:B
4.(2018·长春质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0且=,则当Sn取最大值时,n的值为( )
A.9 B.10
C.11 D.12
解析:由题意,不妨设a6=9t,a5=11t,则公差d=-2t,其中t>0,因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,Sn取得最大值,故选B.
答案:B
5.在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11等于__________.
解析:S11==11a6,设公差为d,
由a9=a12+6得a6+3d=(a6+6d)+6,解得a6=12,所以S11=11×12=132.
答案:132
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
解析:由已知得,解得a1=-3,d=,那么nSn=n2a1+d=-.由于函数f(x)=-在x=处取得极小值,又n=6时,6S6=-48,n=7时,7S7=-49,故nSn的最小值为-49.
答案:-49
7.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,若bn=an-30,设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.
解析:∵2an+1=an+an+2,
∴an+1-an=an+2-an+1,
故数列{an}为等差数列.
设数列{an}的首项为a1,公差为d,由a3=10,S6=72得,解得a1=2,d=4.
故an=4n-2,则bn=an-30=2n-31,
令即
解得≤n≤,
∵n∈N*,∴n=15,
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即数列{bn}的前15项均为负值,∴T15最小.
∵数列{bn}的首项是-29,公差为2,
∴T15==-225,
∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为-225.
8.(2018·长春模拟)在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*),a1=-23.
(1)求an;
(2)设Sn为{an}的前n项和,求Sn的最小值.
解析:(1)当n=1时,a2+a1=-42,a1=-23,
∴a2=-19,
同理得,a3=-21,a4=-17.
故a1,a3,a5,…是以a1为首项,2为公差的等差数列,a2,a4,a6,…是以a2为首项,2为公差的等差数列.
从而an=
(2)当n为偶数时,
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=(2×1-44)+(2×3-44)+…+[2·(n-1)-44]
=2[1+3+…+(n-1)]-·44=-22n,
故当n=22时,Sn取得最小值为-242.
当n为奇数时,
Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)
=a1+(2×2-44)+…+[2×(n-1)-44]
=a1+2[2+4+…+(n-1)]+·(-44)
=-23+-22(n-1)
=-22n-.
故当n=21或n=23时,Sn取得最小值-243.
综上所述:当n为偶数时,Sn取得最小值为-242;当n为奇数时,Sn取最小值为-243.
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