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课时规范练
A组 基础对点练
1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
答案：A
2．(2018·西安模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4 B．3
C．4 D．8
解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3,2)，∴AK＝4，
∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C.
答案：C
3．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；
④y＝－2x＋3.
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.
答案：C
4．(2018·郴州模拟)过点P(－，0)作直线l与圆O：x2＋y2＝1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB＝θ，且θ∈，当△AOB的面积为时，直线l的斜率为( )
A. B．±
C. D．±
解析：∵△AOB的面积为，
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∴×1×1×sin θ＝，
∴sin θ＝.
∵θ∈，∴θ＝，
∴圆心到直线l的距离为.
设直线l的方程为y＝k(x＋)，
即kx－y＋k＝0，
∴＝，
∴k＝±.
答案：B
5．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x2＝y相交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(x1－1)(x2－1)＝________.
解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程x2＝y得x2－kx＋k＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝k，因此(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1.
答案：1
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为______________．
解析：抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2(1＋)，根据已知得a2(1＋)＝c2 ①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2 ②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.
答案：y＝±x
7．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，则λ＝________.
解析：∵使得|AB|＝λ的直线l恰有3条．
∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．
此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y＝±2，故|AB|＝4.
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
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∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，
综上可知|AB|＝4时，有三条直线满足题意．
∴λ＝4.
答案：4
8．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
解析：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kO M＝，从而＝，
进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有解得b＝3.
所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.
9.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足＋＝λ，求实数λ的取值范围．
解析：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得：解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
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(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，
所以＝1⇒2k＝(t≠0)，
把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得：
(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，
y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，
因为λ＝(x1＋x2，y1＋y2)，
所以C，
又因为点C在椭圆上，所以，
＋＝1
⇒λ2＝＝，
因为t2>0，所以2＋＋1>1，
所以00)的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2＝2py(p>0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由抛物线x2＝2py(p>0)可知其焦点为，所以b＝，又a＝2，因此双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.直线y＝kx－1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k＝，由可得x2＝2p＝x－2p，得x2－x＋2p＝0，则Δ＝2－8p＝0，解得p＝4.故选A.
答案：A
3．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
解析：当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0
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