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课时规范练
A组 基础对点练
1．若直线上有两个点在平面外，则( )
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．
答案：D
2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
答案：A
3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
答案：D
4．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．
答案：D
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5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α或b∥α
D．b与α相交或b⊂α或b∥α
解析：结合正方体模型可知b与α相交或b⊂α或b∥α都有可能．
答案：D
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
答案：B
7．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交，充分性成立；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行，则A，B，C，D四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
答案：A
8．(2018·绵阳诊断)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )
A．l⊂α，m⊂β，且l⊥m
B．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n
C．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m
D．l⊂α，l∥m，且m⊥β
解析：依题意知，A、B、C均不能得出α⊥β.对于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.
答案：D
9．下列命题中，错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
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B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：选项A显然正确．根据面面垂直的判定定理，选项B正确．对于选项C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过点P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，∴a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又∵a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故选项C正确．对于选项D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l不垂直于β，故在α内存在直线不垂直于平面β，选项D错误．
答案：D
10．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
解析：A：m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.
答案：C
11．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：将α，β分别换成直线a，b，则命题变为“a∥b，a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题；将α，γ分别换成直线a，b，则命题变为“α∥β，a⊥b⇒β⊥b”是假命题；将β，γ分别换成直线a，b，则命题变为“α∥a，α⊥b⇒a⊥b”是真命题，故真命题有2个．
答案：C
12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．
解析：若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β，所以①正确；若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α，所以②正确；设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.
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答案：①②
13.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)
①EF与GH平行
②EF与GH异面
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
④EF与GH的交点M一定在直线AC上
解析：连接EH，FG(图略)，
依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，
故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，
所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，
设交点为M，因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
答案：④
14．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．
答案：3
B组 能力提升练
1．(2018·天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
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B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．故选B.
答案：B
2．(2018·贵阳监测)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥β
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
解析：A：m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；D：只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．故选B.
答案：B
3．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故①正确；由于不能确定直线m，n相交，不符合线面垂直的判定定理，故②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故③正确；由垂直于同一平面的两条直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，可得l∥n，故④正确．
答案：C
4．(2018·宁波模拟)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面
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C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
解析：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．
对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．
对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.
答案：D
5．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．
答案：D
6．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故①错误；②因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故②正确；③过直线m作平面γ交平面β于直线c，因为m，n是两条异面直线，所以设n∩c＝O.因为m∥β，m⊂γ，γ∩β＝c，所以m∥c.因为m⊂α，c⊄α，所以c∥α.因为n⊂β，c⊂β，n∩c＝O，c∥α，n∥α，所以α∥β，故③正确；④由面面垂直的性质定理可知④正确．
答案：C
7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1
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上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F.则下列命题中真命题有( )
①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；
②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；
③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；
④对于任意的点E，四棱锥B1BED1F的体积均不变．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：当点E为棱CC1中点时，A1C1∥EF，可得A1C1∥平面BED1F；因为B1D与BD1不垂直，因此B1D⊥平面BED1F不成立；因为正方体的体对角线BD1与平面A1C1D垂直，因此平面A1C1D⊥平面BED1F；四棱锥B1BED1F的体积等于2VB1BED1＝2VD1BEB1＝2×·D1C1··BB1·BC为定值，故选D.
答案：D
8．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.
答案：C
9．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设正四面体ABCD的棱长为2.如图，取AD的中点F，连接EF，CF.
在△ABD中，由AE＝EB，AF＝FD，得EF∥BD，且EF＝BD＝1.
故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角．
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在△ABC中，CE＝AB＝；
在△ADC中，CF＝AD＝.
在△CEF中，cos∠CEF＝
＝＝.
所以直线CE与BD所成角的余弦值为.
答案：B
10．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是( )
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
解析：由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m与n是异面直线，故D不正确．
答案：D
11．在长方体ABCDA1B1C1D1中，过点A，C，B1的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的位置关系是________．
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，平面A1B1C1D1∩平面ACB1＝l，由面面平行的性质定理得AC∥l.
答案：平行
12．如图所示，四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．
解析：如图所示，延长DA至E，使AE＝DA，连接PE，BE.
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，
∴DE＝BC，DE∥BC.
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∴四边形CBED为平行四边形，
∴CD∥BE.
∴∠PBE就是异面直线CD与PB所成的角．
在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，得
PE＝
＝
＝AE.
在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，
∴BE＝AE.
∵△PAB是等边三角形，
∴PB＝AB＝AE，
∴PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，
∴∠PBE＝90°.
答案：90°
13．(2018·济南模拟)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为________．
解析：如图，设AC∩BD＝O，连接VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.
答案：
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