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9.1.2 三角形的内角和与外角和
一、教学目的
1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、外角的两条性质以及三角形的
外角和．
2．能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算．
二、重点、难点
1．重点：掌握三角形的内角和、外角和以及外角的性质．
2．难点：在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法．
三、教学过程
（一）活动引入
活动内容：（1）用撕纸的方法验证三角形内角和定理．
实验：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．
通过测量发现三角形的三个内角和是 180°从刚才拼角的过程你能想出证明的 方法吗?
试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？
实验 2：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图
（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得
图（4）所示的结果2
（1） （2） （3） （4）
试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其它折法吗？
（二）探索新知
1．用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？
方法一：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CE∥BA．
∵CE∥BA
∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
方法二：过 A 点作 AE∥BC
∵AE∥BC
∴∠EAB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∠EAC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
A
B C
E
A
B C
E
D3
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）
2．直角三角形两锐角之间的关系
由三角形的内角和等于 180°，容易得到下面的结论：
直角三角形的两个锐角互余．
3．三角形的外角及其性质
我们已经知道三角形的内角和等于 180°．现在我们探索三角形的外角及外角的性
质．
如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻
的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角．
∠DAC 是三角形的一个外角，内角 BAC 与它相邻，内角∠B、∠C 与它不相邻．
问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?（互补）
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系．请同学们拿出一张白纸，在
白纸上画出如教科书图 8．27 所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC 剪下拼在一起放到∠CBD 上，
使点 A、C、B 重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样．请你用文字语
言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系．
由此可知：三角形外角有两条性质：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
如图：D 是△ABC 边 BC 上一点，
图 8.2.64
则有∠ADC＝∠DAB+∠ABD ，∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD
问：∠ADB＝∠（ ）+∠（ ）
4．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法．
（1）你能用“三角形的内角和等于 180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角和呢?
（2）你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？
5．探索三角形的外角和
（1）与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内
角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．
（2）探索三角形的外角和是多少？
（3）探索三角形的外角和是 360°的证明方法．
（三）知识应用
例 1 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ˚， ∠BAC=70˚．求：
（1）∠ B 的度数；
（2）∠ C 的度数．
解：（1)∵∠ADC 是⊿ABD 的外角（已知）
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80˚
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
又∵ ∠B=∠BAD（已知)
180 402B∴∠ = °× = °（等量代换）5
（2)∵∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180˚ （三角形的内角和为 180˚ )
∴∠ C= 180˚ - ∠ B - ∠ BAC （等式的性质)
= 180˚ -40˚ -70˚
=70˚
（四）巩固练习
教科书第 79 页练习 1、2、3
（五）小结
三角形的内角和与外角和各是多少？
三角形的外角有哪些性质？
（六）作业
教科书第 82 页习题 9.1 第 3 题．
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