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二元一次方程组和它的解
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一
次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自
主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题.
学生活动经验基础：本节所涉及的实际问题包括：老牛、小马驮包裹问题、公园的门票
问题等，这些问题均为全体学生所熟悉的情境，容易被学生接受和理解，从而也容易建立相
应的数学模型来解题.
二、教学任务分析
《谁的包裹多》是义务教育课程标准华师大版实验教科书七年级（下）第七章《二元
一次方程组》的第一节，本节内容安排 1 个课时完成.具体内容是：让学生通过对实际问题
的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次
方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世
界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知
识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组
及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用.列方程（组）解应用题是联系实际的
重要方面，突显了方程作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的良好
载体，也是培养学生应用意识和实践能力的良好题材.
基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历
自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学
习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型，是贯穿方程与
方程组的一条主线. 为此，本节课的教学目标是：
（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）
的解；
（2）会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组；
（3）通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比
分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想.
本节课的教学重点是：2
（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；
（2）判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
本节课的教学难点是：
从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.
三、教学过程设计
本节课设计了四个教学环节：
第一环节：情境引入；第二环节：新课讲解，练习提高；第三环节：课堂小结；第四
环节：布置作业.
第一环节：情境引入
内容：
（一） 情境 1
实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着
包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，
才比我多驮 2 个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的 2
倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问
题呢？
请每个学习小组讨论（讨论 2 分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个未知数，从
而得出二元一次方程.
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个包裹，小
马驮 y 个包裹，老牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 ，若老牛从小马背上拿
来 1 个包裹，这时老牛的包裹是小马的 2 倍， 得方程： .
（二）情境 2
实物投影，并呈现问题：昨天，有 8 个人去红山公园玩，他们买门票共花了 34 元.每
张成人票 5 元，每张儿童票 3 元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们
能否用所学的方程知识解决呢？
仍请每个学习小组讨论（讨论 2 分钟，然后发言），老师注意引导学生分析其中有几个
未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？
这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有 x 个成年
人，有 y 个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，
2x y− =
( )1 2 1x y+ = −3
成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程 和 .
在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做
法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学
习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程
组比列一元一次方程更快捷、清楚.
目的：通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养
学生良好的数学应用意识.
设计效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知数的方程，
为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.
第二环节：新课讲解，练习提高
内容：
（一） 二元一次方程概念的概括
提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？从而归
纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程.教
师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：
①含有两个未知数；
②所含未知数的项的最高次数是一次.
再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：
1.下列方程有哪些是二元一次方程：
（1） ，（2） ，（3） ，
（4） ，（5） ，（6） .
2.如果方程 是二元一次方程，那么 m＝ ，n＝ .
（二）二元一次方程组概念的概括
师提请学生思考：上面的方程 中的 x 含义相同吗？y 呢？
（两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y 的含义分别相同.）由
于 x、y 的含义分别相同，因而必同时满足 和 ，我们把这两个方程
用大括号联立起来，写成 ，从而得出二元一次方程组的概念：像这样共含
8x y+ = 5 3 34x y+ =
093 =−+ yx 01223 2 =+− yx 743 =− ba
113 =−
yx ( ) 523 =− yxx 152
=− nm
132 21 =− +− nmm yx
2 1 2 1( )x y x y− = + = −，
2x y− = ( )1 2 1x y+ = −
( )
−=+
=−
.121
,2
yx
yx4
有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：
注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.
再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习：
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念
1. 适合方程 吗？ 呢？ 呢？你还能找到
其他 x,y 值适合 方程吗？
2. 适合方程 吗？ 呢？
3.你能找到一组值 x,y 同时适合方程 和 吗？各小组合作完成，
各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到 3 题的结论.
由学生回答上面 3 个问题，老师作出结论：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.
如 x=6, y=2 是方程 x+ y =8 的一个解，记作 ；同样， 也是方程
的一个解，同时 又是方程 的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例如， 就是二元一次方程组 的解.
然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）
1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程 的解？
=−
=+
;03
,332
yx
yx
=+
=+
.8
,835
yx
yx
=+
=−
;1253
,12
yx
yx
=−
=+
;53
,12
yx
yx
=+
=−
;153
,37
zy
yx
=
=
;2
,1
y
x
=+
=−
;1283
,52
yx
yx
=+
=−
.325
,132
bab
ba
6, 2x y= = 8x y+ = 5, 3x y= = 4, 4x y= =
8x y+ =
5, 3x y= = 5 3 34x y+ = 2, 8x y= =
8x y+ = 5 3 34x y+ =
=
=
2
,6
y
x
=
=
3
,5
y
x
8x y+ =
=
=
3
,5
y
x 5 3 34x y+ =
=
=
3
,5
y
x
=+
=+
3435
,8
yx
yx
13 =− yx5
（A） （B） （C） （D）
2.二元一次方程 的解有：
……
3.二元一次方程组 的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.以 为解的二元一次方程组是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.二元一次方程 的正整数解为 .
6.如果 是 的解，那么 m＝ ，n＝ .
7.写出一个以 为解的二元一次方程组为 . （答案不唯一）
目的：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.
设计效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加
明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一
些新问题.
第三环节：课堂小结
内容：
1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.
=
=
;3
,2
y
x
=
=
;1
,4
y
x
=
=
;3
,10
y
x
−=
−=
.2
,5
y
x
2832 =+ yx
=
=
._____
,5
y
x
−=
=
.2
_____,
y
x
=
−=
._______
,5.2
y
x
=
=
.3
7
_____,
y
x
=
=+
xy
yx
2
,102
=
=
;3
,4
y
x
=
=
;6
,3
y
x
=
=
;4
,2
y
x
=
=
.2
,4
y
x
=
=
2
,1
y
x
=−
=−
;13
,3
yx
yx
−=+
−=−
;53
,1
yx
yx
−=+
−=−
;553
,32
yx
yx
=+
−=−
.53
,1
yx
yx
6=+ yx
=
=
2
,1
y
x
=−
=+
nyx
myx
3
,2
−=
=
3
,2
y
x6
3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的
解是两个方程的公共解，是一组确定的值.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的
回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
设计效果：本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与整理本节课
的知识效果明显.
第四环节：布置作业
习题 5.1
四.教学设计反思
1.本节课充分体现了从问题情景中抽象数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数
学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的这一变化学习过
程.在教学中力求体现“问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式，使学
生在自主探索和合作交流的过程中建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学
知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创
造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较全面的体验和理解.
2.通过情境引入，让同学们体会到了生活中的数学无处不在，激发了学生强烈的求知欲
望，学生的反应非常积极踊跃，丰富了学生们的情感与态度.充分利用小组合作交流，让同
学们自己找出方程中的等量关系，启发同学们自己说出各个定义的理解.在同学们合作做题
的时候，老师进一步强调小组合作交流、合理分配时间会取得更好的效果.教学过程各环节
紧紧相扣，整个教学过程逻辑思维清晰，问题与问题之间衔接紧密，每一步都为下一步做了
很好的铺垫.
3.这个案例主要针对中等生而设计，教师可根据学生学习能力再进行设计上的侧重.比
如，学生学习能力较强，可在实际问题中抽象二元一次方程组的模型环节、课后的拓展环节
增加适当的深层次的内容，以满足学生的学习需要.
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