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圆的有关性质
一.选择题
1. （2018·湖北襄阳·3 分）如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的⊙O 上，若 OA⊥BC，∠
CDA=30°，则弦 BC 的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据垂径定理得到 CH=BH， = ，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义
求出 BH，计算即可．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH， = ，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB•sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧是解题的关键．
2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，点 A.B.C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度数是
（ ）
A．70° B．80° C．110° D．140°2
【分析】作 对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据
圆周角定理求∠AOC 的度数．
【解答】解：作 对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P= ∠AOC= ×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
3.（2018•江苏无锡•3 分）如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A.D.G 三点的圆 O 与边
AB.CD 分别交于点 E.点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF 与
DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）BC 与圆 O 相切，其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】连接 DG、AG，作 GH⊥AD 于 H，连接 OD，如图，先确定 AG=DG，则 GH 垂直平分 AD，
则可判断点 O 在 HG 上，再根据 HG⊥BC 可判定 BC 与圆 O 相切；接着利用 OG=OG 可判断圆心 O
不是 AC 与 BD 的交点；然后根据四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交点是圆
O 的圆心．
【解答】解：连接 DG、AG，作 GH⊥AD 于 H，连接 OD，如图，
∵G 是 BC 的中点，∴AG=DG，∴GH 垂直平分 AD，∴点 O 在 HG 上，
∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC 与圆 O 相切；
∵OG=OG，∴点 O 不是 HG 的中点，∴圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；
而四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形，
∴AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．3
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形
的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．
4.（2018•江苏苏州•3 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上
的点，若∠BOC=40°，则∠D 的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】根据互补得出∠AOC 的度数，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°﹣40°=140°，
∴∠D= ，
故选：B．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC 的度数．
5.（2018•山东聊城市•3 分）如图，⊙O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC．若∠
A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数，再利用圆
周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，4
∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°
故选：D．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC 度数是
解题关键．
6.（2018•山东烟台市•3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠
AIC=124°，点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【分析】由点 I 是△ABC 的内心知∠BAC=2∠IAC.∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠
BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答
案．
【解答】解：∵点 I 是△ABC 的内心，
∴∠BAC=2∠IAC.∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆
内接四边形的性质．
7.（2018•山东济宁市•3 分）如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度
数是5
（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A.B，C，D 在⊙O 上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，
故选：D．
8. （2018•遂宁•4 分）如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，
若 AB=2 ，CD=1，则 BE 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据垂径定理求出 AD，根据勾股定理列式求出 OD，根据三角形中位线定理计算即
可．
【解答】解：∵半径 OC 垂直于弦 AB，
∴AD=DB= AB= ，
在 Rt△AOD 中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即 OA2=（OA﹣1）2+（ ）2，
解得，OA=4
∴OD=OC﹣CD=3，6
∵AO=OE，AD=DB，
∴BE=2OD=6，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧是解题的关键．
9．（2018•临安•3 分如图，⊙O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于 B.C 点，
则 BC=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理先求 BC 一半的长，再求 BC 的长．
【解答】解：设 OA 与 BC 相交于 D 点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB 是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA 平分 BC，
利用勾股定理可得 BD= =3
所以 BC=6 ．
故选：A．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
10. （2018•贵州安顺•3 分） 已知 的直径 ， 是 的弦， ，垂足
为 ，且 ，则 的长为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】试题解析：连接 AC，AO，7
∵⊙O 的直径 CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm.
当 C 点位置如答 1 所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴ cm.
∴CM=OC+OM=5+3=8cm.
∴在 Rt△AMC 中， cm.
当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，
∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm.
∴在 Rt△AMC 中， cm．
综上所述，AC 的长为 cm 或 cm.
故选 C．
11. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，
PO 交⊙O 于点 B，∠P=30°，OB=3，则线段 BP 的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出 OP 的长．
【解答】解：连接 OA，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则 OP=6，
故 BP=6﹣3=3．
故选：A．8
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
12.（2018•广西贵港•3 分）如图，点 A，B，C 均在⊙O 上，若∠A=66°，则∠OCB 的度数是
（ ）
A．24° B．28° C．33° D．48°
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB 的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进
而可得答案．
【解答】解：∵∠A=66°，
∴∠COB=132°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC= （180°﹣132°）=24°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13. （2018•广西贵港•3 分）如图，抛物线 y= （x+2）（x﹣8）与 x 轴交于 A，B 两点，与
y 轴交于点 C，顶点为 M，以 AB 为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线 x=3；②⊙
D 的面积为 16π；③抛物线上存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；④直线 CM 与⊙D 相
切．其中正确结论的个数是（ ）9
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与 x 轴的交点 A.B 坐标，由抛物线的对称性即可
判定；
②求得⊙D 的直径 AB 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，
③过点 C 作 CE∥AB，交抛物线于 E，如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平
行四边形即可判定；
④求得直线 CM、直线 CD 的解析式通过它们的斜率进行判定．
【解答】解：∵在 y= （x+2）（x﹣8）中，当 y=0 时，x=﹣2 或 x=8，
∴点 A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为 x= =3，故①正确；
∵⊙D 的直径为 8﹣（﹣2）=10，即半径为 5，
∴⊙D 的面积为 25π，故②错误；
在 y= （x+2）（x﹣8）= x2﹣ x﹣4 中，当 x=0 时 y=﹣4，
∴点 C（0，﹣4），
当 y=﹣4 时， x2﹣ x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，
所以点 E（6，﹣4），
则 CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形 ACED 不是平行四边形，故③错误；
∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣3）2﹣ ，
∴点 M（3，﹣ ），
设直线 CM 解析式为 y=kx+b，
将点 C（0，﹣4）、M（3，﹣ ）代入，得： ，
解得： ，
所以直线 CM 解析式为 y=﹣ x﹣4；10
设直线 CD 解析式为 y=mx+n，
将点 C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得： ，
解得： ，
所以直线 CD 解析式为 y= x﹣4，
由﹣ × =﹣1 知 CM⊥CD 于点 C，
∴直线 CM 与⊙D 相切，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对
称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．
14.（2018•贵州铜仁•4 分）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．55° B．110° C．120° D．125°
【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【解答】解：根据圆周角定理，得
∠ACB= （360°﹣∠AOB）= ×250°=125°．
故选：D．
15．(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠
BCD=120°，则∠BOD 的大小是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，11
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是
解题的关键．
16. （2018 湖南湘西州 4.00 分）已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则
直线 l 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离 5 等于圆的半径 5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离 5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关
系．若 d＜r，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离．
17. （2018•遂宁•4 分）如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，
若 AB=2 ，CD=1，则 BE 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据垂径定理求出 AD，根据勾股定理列式求出 OD，根据三角形中位线定理计算即
可．
【解答】解：∵半径 OC 垂直于弦 AB，
∴AD=DB= AB= ，
在 Rt△AOD 中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即 OA2=（OA﹣1）2+（ ）2，
解得，OA=4
∴OD=OC﹣CD=3，
∵AO=OE，AD=DB，
∴BE=2OD=6，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦12
所对的两条弧是解题的关键．
二.填空题
1. （2018·湖北随州·3 分）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠A=40 度，∠C=20 度，则∠B= 60
度．
【分析】连接 OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解
答即可．
【解答】解：如图，连接 OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=20°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的
关键．
2.（2018•江苏无锡•2 分）如图，点 A.B.C 都在⊙O 上，OC⊥OB，点 A 在劣弧 上，且
OA=AB，则∠ABC= 15° ．
【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，
即△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，
∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠ABC=15°，13
故答案为：15°
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3.（2018•山东烟台市•3 分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，
A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，
B，C 三点的圆的圆心坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】连接 CB，作 CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 O 的坐标即可．
【解答】解：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示：
在 CB 的垂直平分线上找到一点 D，
CD═DB=DA= ，
所以 D 是过 A，B，C 三点的圆的圆心，
即 D 的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
4. （2018•杭州•4 分）如图，AB 是⊙的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DE⊥AB，
交 O 于点 D，E 两点，过点 D 作直径 DF，连结 AF，则∠DEA=________。
【答案】30°
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB∴∠DCO=90°
∵点 C 时半径 OA 的中点
∴OC= OA= OD
∴∠CDO=30°
∴∠AOD=60°14
∵弧 AD=弧 AD
∴∠DEA= ∠AOD=30°
故答案为：30°
【分析】根据垂直的定义可证得△COD 是直角三角形，再根据中点的定义及特殊角的三角函
数值，可求出∠AOD 的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求
出结果。
5. （2018•嘉兴•4 分.）如图,量角器的 度刻度线为 .将一矩形直尺与量角器部分重叠、
使直尺一边与量角器相切于点 ,直尺另一边交量角器于点 ，量得 ,点 在量角
器上的读数为 .则该直尺的宽度为________
【答案】
【解析】【分析】连接 OC,OD,OC 与 AD 交于点 E，根据圆周角定理有 根
据垂径定理有： 解直角 即可.
【解答】连接 OC,OD,OC 与 AD 交于点 E，
直尺的宽度：
故答案为：
【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.15
6.（2018•嘉兴•4 分.）如图,在矩形 中, , ,点 在 上, ,点 是边
上一动点,以 为斜边作 .若点 在矩形 的边上,且这样的直角三角形恰好有
两个,则 的值是________.
【答案】0 或 或 4
【解析】【分析】在点 F 的运动过程中分别以 EF 为直径作圆，观察圆和矩形矩形 边的
交点个数即可得到结论.
【解答】当点 F 与点 A 重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.
当点 F 从点 A 向点 B 运动时，
当 时，共有 4 个点 P 使 是以 为斜边 .
当 时，有 1 个点 P 使 是以 为斜边 .
当 时，有 2 个点 P 使 是以 为斜边 .
当 时，有 3 个点 P 使 是以 为斜边 .
当 时，有 4 个点 P 使 是以 为斜边 .
当点 F 与点 B 重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.
故答案为：0 或 或 4
【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想
在数学中的应用.
7.（2018•金华、丽水•4 分）如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A ， D 分别是弓臂 BAC 与
弓弦 BC 的中点，弓弦 BC=60cm．沿 AD 方向拉弓的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，16
弓弦不伸长．如图 2 ，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1 时，有 AD1=30cm ，∠
B1D1C1=120° ．
（1）图 2 中，弓臂两端 B1 ， C1 的距离为________cm．
（2）如图 3，将弓箭继续拉到点 D2 ， 使弓臂 B2AC2 为半圆，则 D1D2 的长为________cm．
【解析】【解答】（1）如图 2，连结 B1C1 ， B1C1 与 AD1 相交于点 E，
∵D1 是弓弦 B1C1 的中点，
∴AD1=B1D1=C1D1=30cm，
由三点确定一个圆可知，D1 是弓臂 B1AC1 的圆心，
∵点 A 是弓臂 B1AC1 的中点，
∴∠B1D1D= ，B1E=C1E，AD1⊥B1C1 ，
在 Rt△B1D1E 中，B1E= cm，
则 B1C1=2B1E=30 cm。17
故答案为：30
（ 2 ）如图 2，连结 B2C2 ， B2C2 与 AD1 相交于点 E1 ，
∵使弓臂 B2AC2 为半圆，
∴E1 是弓臂 B2AC2 的圆心，
∵弓臂 B2AC2 长不变，
∴ ，解得 cm,
在 Rt△ 中，由勾股定理可得 cm
则 cm
即 cm
故答案为：
【分析】（1）连结 B1C1 ， 根据图形不难看出∠B1D1D= ，B1E=C1E，AD1
⊥B1C1 ， 可以通过证明得到的；（2）由 可求，其中 AD1 的长已知，
即求 AD2；连结 B2C2 ， 与（2）同理可知点 E1 是弓臂 B2AC2 的圆心，由弓臂 B2AC2 长不变，
可求出半径 B2E2 的长，再由勾股定理求出 D2E1 ， 从而可求得 AD2 的长
8. （2018•广西玉林•3 分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2cm
的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单
位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是 10 cm．
【分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：如图，
记圆的圆心为 O，连接 OB，OC 交 AB 于 D，
∴OC⊥AB，BD= AB，18
由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，
∴BD=6，设圆的半径为 r，则 OD=r﹣2，OB=r，
在 Rt△BOD 中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，
∴r2=36+（r﹣2）2，
∴r=10cm，
故答案为 10．
9. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD=6，
EB=1，则⊙O 的半径为 5 ．
【分析】连接 OC，由垂径定理知，点 E 是 CD 的中点，AE= CD，在直角△OCE 中，利用勾股
定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
【解答】解：连接 OC，
∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= CD= ×6=3，
设⊙O 的半径为 xcm，
则 OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，
在 Rt△OCE 中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+（x﹣1）2，
解得：x=5，
∴⊙O 的半径为 5，
故答案为：5．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
10.（2018•广东•3 分）同圆中，已知弧 AB 所对的圆心角是 100°，则弧 AB 所对的圆周角是
50° ．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：弧 AB 所对的圆心角是 100°，则弧 AB 所对的圆周角为 50°．19
故答案为 50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
11. （2018 湖南张家界 3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC=5cm，
CD=8cm，则 AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【分析】根据垂径定理可得出 CE 的长度，在 Rt△OCE 中，利用勾股定理可得出 OE 的长度，
再利用 AE=AO+OE 即可得出 AE 的长度．
【解答】解：∵弦 CD⊥AB 于点 E，CD=8cm，
∴CE= CD=4cm．
在 Rt△OCE 中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= =3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 OE 的长度是
解题的关键．
三.解答题
1. （2018·湖南怀化·12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC．点 E 为 CD 边上一
点，AE 与 BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 AD=BC ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结
论；
（2）作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O，并以 AB 为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，若 AE=4，sin∠AGF=
，求⊙O 的半径．20
【分析】（1）添加条件 AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到 AD 与 BC 平行，可得同旁内角互补，再由 AE 与 BE 为角
平分线，可得出 AE 与 BE 垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到 AF 与 FB 垂直，可得出
两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据 sin∠AGF 的值，确定出
sin∠AEB 的值，求出 AB 的长，即可确定出圆的半径．
【解答】解：（1）当 AD=BC 时，四边形 ABCD 是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形 ABCD 为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE 与 BE 分别为∠DAB 与∠CBA 的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB 为圆 O 的直径，点 F 在圆 O 上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE 平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF= = ，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆 O 的半径为 2.5．21
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平
分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
2.（2018•江苏苏州•10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 垂直于过点 C 的切
线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点
G，连接 OC．
（1）求证：CD=CE；
（2）若 AE=GE，求证：△CEO 是等腰直角三角形．
【分析】（1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据 AAS 证明
△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；
（2）介绍两种证法：
证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=
∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则
3x+3x+2x=180，可得结论．
【解答】证明：（1）连接 AC，
∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，
∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，
∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，
在△CDA 和△CEA 中，22
∵ ，
∴△CDA≌△CEA（AAS），
∴CD=CE；
（2）证法 一：连接 BC，
∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，
∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，
∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，
∴∠AOC=2∠F=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，
∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，
∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形．
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角
形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题
相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．
3.（2018•江苏无锡•8 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，
cosB= ，求 AD 的长．23
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作 AE⊥BC 于
E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．解 Rt△AEB，得出 BE=AB•cos∠ABE= ，AE=
= ，那么 AF=AE﹣EF= ．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函
数相等得出 sin∠ADF=cos∠ABC= ．解 Rt△ADF，即可求出 AD= =6．
【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．
在 Rt△AEB 中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC= ，
∴BE=AB•cos∠ABE= ，∴AE= = ，∴AF=AE﹣EF= ﹣10= ．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos∠ABC= ，∴sin∠ADF=cos∠ABC= ．
在 Rt△ADF 中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF= ，∴AD= = =6．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，
求出 AF= 以及 sin∠ADF= 是解题的关键．
4.（2018•江苏宿迁•12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a）（x-3）
（0
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