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等腰三角形
一.选择题
1.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中
点，若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝60°,则△OCE 的面积是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，AC⊥BD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边
三角形得△ABD 是等边三角形；在Rt△AOD 中，根据勾股定理得 AO=2 ，AC=2AO=4 ，根据
三角形面积公式得 S△ACD= OD·AC=4 ，根据中位线定理得 OE∥AD，根据相似三角形的面积
比等于相似比继而可求出△OCE 的面积.
【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD 是等边三角形，
又∵O 是菱形对角线 AC.BD 的交点，∴AC⊥BD，
在 Rt△AOD 中，∴AO= ，∴AC=2AO=4 ，∴S△ACD= OD·AC= ×2×4
=4 ，
又∵O、E 分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴ ，∴ ，
∴S△COE= S△CAD= ×4 = ，
故选 A.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形
的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.
2.2018•内蒙古包头市•3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ADE 的顶点 D，E 分别在 BC，AC
上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC 的度数为（ ）2
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【分析】由 AB=AC 知∠B=∠C，据此得 2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可知∠
C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE 知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED﹣∠C 可得答案．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，
又∵∠C+∠BAC=145°，
∴∠C=35°，
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的
性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
3. （2018•达州•3 分）如图，△ABC 的周长为 19，点 D，E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直
于 AE，垂足为 N，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN 的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到 BA=BE，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角
形，根据题意求出 DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN 平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA 和△BNE 中，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE 是等腰三角形，
同理△CAD 是等腰三角形，3
∴点 N 是 AE 中点，点 M 是 AD 中点（三线合一），
∴MN 是△ADE 的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，
∴DE=BE+CD﹣BC=5，
∴MN= DE= ．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
4. （2018•资阳•3 分）下列图形具有两条对称轴的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A.等边三角形由 3 条对称轴，故本选项错误；
B.平行四边形无对称轴，故本选项错误；
C.矩形有 2 条对称轴，故本选项正确；
D.正方形有 4 条对称轴，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，
正方形，等腰梯形，圆等等．
5. （2018• 湖州•3 分）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB=AC ，∠
CAD=20°，则∠ACE 的度数是（ ）
A. 20° B. 35°
C. 40° D. 70°
【答案】B
【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，
∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE= ∠ACB=35°．
详解：∵AD 是△ABC 的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB= （180°-∠CAB）=70°．
∵CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°．
故选：B．4
点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的
中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°
是解题的关键．
6. （2018•贵州安顺•3 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则
该等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】试题分析：∵ ，
∴ ，
即 ， ，
①等腰三角形的三边是 2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是 2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是 12．故选 A．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．
7. （2018•广西玉林•3 分）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【分析】根据一次函数的定义，可得答案．
【解答】解：设等腰三角形的底角为 y，顶角为 x，由题意，得
y=﹣ x+90°，
故选：B．
8. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，点 D 在 BC 边上，连
接 AD，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为 130°或 90° ．
【分析】根据题意可以求得∠B 和∠C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC
的度数．
【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点 D 在 BC 边上，△ABD 为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，5
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°，
故答案为：130°或 90°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
9. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点 B 的直线
把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是
3.6 或 4.32 或 4.8 ．
【分析】在Rt△ABC 中，通过解直角三角形可得出 AC=5.S△ABC=6，找出所有可能的剪法，并
求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB= =5，S△ABC= AB•BC=6．
沿过点 B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当 AB=AP=3 时，如图 1 所示，
S 等腰△ABP= S△ABC= ×6=3.6；
②当 AB=BP=3，且 P 在 AC 上时，如图 2 所示，
作△ABC 的高 BD，则 BD= = =2.4，
∴AD=DP= =1.8，
∴AP=2AD=3.6，
∴S 等腰△ABP= S△ABC= ×6=4.32；
④当 CB=CP=4 时，如图 3 所示，
S 等腰△BCP= S△ABC= ×6=4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为 3.6 或 4.32 或 4.8．
故答案为 3.6 或 4.32 或 4.8．6
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，
并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
11.（2018•福建 A 卷•4 分）如图，等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD
上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出 AD 是 BC 的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD 是 BC 的垂直平分线，
∵点 E 在 AD 上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，
求出∠ECB 是解本题的关键．
12. （2018•福建 B 卷•4 分）如图，等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD
上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ）7
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出 AD 是 BC 的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD 是 BC 的垂直平分线，
∵点 E 在 AD 上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，
求出∠ECB 是解本题的关键．
13. （2018•达州•3 分）如图，△ABC 的周长为 19，点 D，E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂
直于 AE，垂足为 N，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN 的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到 BA=BE，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角
形，根据题意求出 DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN 平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，8
在△BNA 和△BNE 中，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE 是等腰三角形，
同理△CAD 是等腰三角形，
∴点 N 是 AE 中点，点 M 是 AD 中点（三线合一），
∴MN 是△ADE 的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，
∴DE=BE+CD﹣BC=5，
∴MN= DE= ．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14. （2018•资阳•3 分）下列图形具有两条对称轴的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A.等边三角形由 3 条对称轴，故本选项错误；
B.平行四边形无对称轴，故本选项错误；
C.矩形有 2 条对称轴，故本选项正确；
D.正方形有 4 条对称轴，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，
正方形，等腰梯形，圆等等．
二.填空题
1.（2018•江苏徐州•3 分）边长为 a 的正三角形的面积等于 ．
【分析】根据正三角形的性质求解．
【解答】解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，9
∵AD⊥BC，∴BD=CD= a，∴AD= = a，面积则是： a• a= a2．
【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法，比较简单．
2.（2018•江苏无锡•2 分）如图，点 A.B.C 都在⊙O 上，OC⊥OB，点 A 在劣弧 上，且
OA=AB，则∠ABC= 15° ．
【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，
即△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，
∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠ABC=15°，
故答案为：15°
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3.（2018•江苏无锡•2 分）如图，已知∠XOY=60°，点 A 在边 OX 上，OA=2．过点 A 作 AC⊥OY
于点 C，以 AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）
内的一点，过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D，作 PE∥OX 交 OY 于点 E．设 OD=a，OE=b，则 a+2b
的取值范围是 2≤a+2b≤5 ．
【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边形，得
EP=OD=a，在 Rt△HEP 中，∠EPH=30°，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最小
值的位置，可得结论．
【解答】解：过 P 作 PH⊥OY 交于点 H，10
∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形 EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，
Rt△HEP 中，∠EPH=30°，∴EH= EP= a，∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2；
当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5，∴2≤a+2b≤5．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和
性质，有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围．
4. （2018• 江苏淮安•3 分）若一个等腰三角形的顶角等于 50° ，则它的底角等于 65
°．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于 50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）× =65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题
的关键．
5. （2018•乌鲁木齐•4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点 D 是 BC 的
中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB
于点 F．若△AB′F 为直角三角形，则 AE 的长为 ．
【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得 DB=DC= ，EB′=EB，∠
DB′E=∠B=30°，设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣x，讨论：当∠AFB′=90°时，则∴BF=11
cos30°= ，则 EF= ﹣ （ 4﹣x ）=x﹣ ，于是 在 Rt△B′EF 中 利 用 EB′=2EF 得 到 4﹣x=2
（x﹣ ），解方程求出 x 得到此时 AE 的长；当∠FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连接
AD，如图，证明Rt△ADB′ ≌Rt△ADC 得到 AB′=AC=2 ，再计算出∠EB′H=60°，则B′H=
（4﹣x），EH= （4﹣x），接着利用勾股定理得到 （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2=x2，方程
求出 x 得到此时 AE 的长．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=2 ，AC=2，
∴tanB= = = ，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，
∵点 D 是 BC 的中点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F
∴DB=DC= ，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，
设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣x，
当∠AFB′=90°时，
在 Rt△BDF 中，cosB= ，
∴BF= cos30°= ，
∴EF= ﹣（4﹣x）=x﹣ ，
在 Rt△B′EF 中，∵∠EB′F=30°，
∴EB′=2EF，
即 4﹣x=2（x﹣ ），解得 x=3，此时 AE 为 3；
当∠FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连接 AD，如图，
∵DC=DB′，AD=AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′=AC=2，
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，
∴∠EB′H=60°，
在 Rt△EHB′中，B′H= B′E= （4﹣x），EH= B′H= （4﹣x），12
在 Rt△AEH 中 ，∵EH2+AH2=AE2，
∴ （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2=x2，解得 x= ，此时 AE 为 ．
综上所述，AE 的长为 3 或 ．
故答案为 3 或 ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含 30 度的直角三角形三边的关
系和勾股定理．
6. （2018•临安•3 分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻
轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中∠BAC= 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC= =108°，△ABC 是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36 度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n 边形的内角和为：180°（n﹣2）．
7. （2018•广西桂林•3 分）如图，在 ΔABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等
腰三角形的个数是__________13
【答案】3
【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，
根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
详解：∵AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD 是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC 是等腰三角形．
∴共有 3 个等腰三角形．
故答案为：3．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答
本题的关键．
8． （2018·黑龙江哈尔滨·7 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的
两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD（不是正方形），且点 C 和点 D 均在小正方形
的顶点上；
（2）在图中画出以线段 AB 为一腰，底边长为 2 的等腰三角形 ABE，点 E 在小正方形的顶
点上，连接 CE，请直接写出线段 CE 的长．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）如图所示，矩形 ABCD 即为所求；14
（2）如图△ABE 即为所求；
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
9.（2018•贵州遵义•4 分）如图，△ABC 中．点 D 在 BC 边上，BD=AD=AC，E 为 CD 的中点．若∠
CAE=16°，则∠B 为 37 度．
【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底
角的 2 倍即可得出结论．
【解答】解：∵AD=AC，点 E 是 CD 中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=90°﹣∠CAE=74°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为 37°．
10. (2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC15
中的∠A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处．若 AE= ，则 BC 的长是 ．
【分析】由折叠的性质可知 AE=CE，再证明△BCE 是等腰三角形即可得到 BC=CE，问题得
解．
【解答】解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB= =72°，
∵将△ABC 中的∠A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处，
∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，
∴∠CEB=72°，
∴BC=CE=AE= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，
证明△BCE 是等腰三角形是解题的关键．
11. （2018•乌鲁木齐•4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点 D 是 BC
的中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB
于点 F．若△AB′F 为直角三角形，则 AE 的长为 ．
【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得 DB=DC= ，EB′=EB，∠
DB′E=∠B=30°，设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣x，讨论：当∠AFB′=90°时，则∴BF=
cos30°= ，则 EF= ﹣（4﹣x）=x﹣ ，于是在Rt△B′EF 中利用 EB′=2EF 得到 4﹣x=2（x﹣
），解方程求出 x 得到此时 AE 的长；当∠FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连接 AD，如16
图，证明 Rt△ADB′ ≌Rt△ADC 得到 AB′=AC=2 ，再计算出∠EB′H=60° ，则 B′H=
（4﹣x），EH= （4﹣x），接着利用勾股定理得到 （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2=x2，方程
求出 x 得到此时 AE 的长．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=2 ，AC=2，
∴tanB= = = ，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，
∵点 D 是 BC 的中点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F
∴DB=DC= ，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，
设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣x，
当∠AFB′=90°时，
在 Rt△BDF 中，cosB= ，
∴BF= cos30°= ，
∴EF= ﹣（4﹣x）=x﹣ ，
在 Rt△B′EF 中，∵∠EB′F=30°，
∴EB′=2EF，
即 4﹣x=2（x﹣ ），解得 x=3，此时 AE 为 3；
当∠FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连接 AD，如图，
∵DC=DB′，AD=AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′=AC=2，
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，
∴∠EB′H=60°，
在 Rt△EHB′中，B′H= B′E= （4﹣x），EH= B′H= （4﹣x），
在 Rt△AEH 中 ，∵EH2+AH2=AE2，
∴ （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2=x2，解得 x= ，此时 AE 为 ．17
综上所述，AE 的长为 3 或 ．
故答案为 3 或 ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形
状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含 30 度的直角三角形三边的关
系和勾股定理．
三.解答题
1.（2018•江苏徐州•7 分）（A 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠
C．
（B 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．
【分析】（A 类）连接 AC，由 AB=AC.AD=CD 知∠BAC=∠BCA.∠DAC=∠DCA，两等式相加即可得；
（B 类）由以上过程反之即可得．
【解答】证明：（A 类）连接 AC，
∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C；
（B 类）∵AB=AC，∴∠BAC=∠BCA，
又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等角对等边、等边对等18
角的性质．
2.（2018•江苏徐州•10 分）如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，
∠EDF=30°
操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E
旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q．
探究一：在旋转过程中，
（1）如图 2，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明；
（2）如图 3，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由；
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为
EP：EQ=1：m ，其中 m 的取值范围是 0＜m≤2+ ．（直接写出结论，不必证明）
探究二：若 且 AC=30cm，连接 PQ，设△EPQ 的面积为 S（cm2），在旋转过程中：
（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．
（2）随着 S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围．
【分析】探究一：（1）连接 BE，根据已知条件得到 E 是 AC 的中点，根据等腰直角三角形
的性质可以证明 BE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到
全等三角形，从而证明结论；
（2）作 EM⊥AB，EN⊥BC 于 M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现 EP：
EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到 EM：EN=AE：CE；
（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求 m 的取值范围，根据交点的位置的
限制进行分析．
探究二：（1）设 EQ=x，结合上述结论，用 x 表示出三角形的面积，根据 x 的最值求得面积
的最值；
（2）首先求得 EQ 和 EB 重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论．
【解答】解：探究一：（1）连接 BE，根据 E 是 AC 的中点和等腰直角三角形的性质，得19
BE=CE，∠PBE=∠C
又∠BEP=∠CEQ，则△BEP≌△CEQ，得 EP=EQ；
（2）作 EM⊥AB，EN⊥BC 于 M，N，∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
（3）过 E 点作 EM⊥AB 于点 M，作 EN⊥BC 于点 N，
∵在四边形 PEQB 中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是 360°），
又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是 180°），∴∠MPE=∠EQN（等量代换），
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），∴ （两个相似三角形的对应边成比例）；
在 Rt△AME∽Rt△ENC
∴ =m=
，
∴ =1：m= ，
EP 与 EQ 满足的数量关系式为 EP：EQ=1：m，
∴0＜m≤2+ ；（当 m＞2+ 时，EF 与 BC 不会相交）．
探究二：若 AC=30cm，
（1）设 EQ=x，则 S= x2，所以当 x=10 时，面积最小，是 50cm2；
当 x=10 时，面积最大，是 75cm2．
（2）当 x=EB=5 时，S=62.5cm2，
故当 50＜S≤62.5 时，这样的三角形有 2 个；
当 S=50 或 62.5＜S≤75 时，这样的三角形有一个．
【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解．
3.（2018•江苏苏州•10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 垂直于过点 C 的切
线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点20
G，连接 OC．
（1）求证：CD=CE；
（2）若 AE=GE，求证：△CEO 是等腰直角三角形．
【分析】（1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据 AAS 证明
△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；
（2）介绍两种证法：
证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=
∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则
3x+3x+2x=180，可得结论．
【解答】证明：（1）连接 AC，
∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，
∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，
∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，
在△CDA 和△CEA 中，
∵ ，
∴△CDA≌△CEA（AAS），
∴CD=CE；
（2）证法 一：连接 BC，
∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，
∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，
∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，
∴∠AOC=2∠F=45°，21
∴△CEO 是等腰直角三角形；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，
∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，
∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形．
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角
形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题
相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．
4.（2018•江苏苏州•10 分）如图①，直线 l 表示一条东西走向的笔直公路，四边形 ABCD 是
一块边长为 100 米的正方形草地，点 A，D 在直线 l 上，小明从点 A 出发，沿公路 l 向西走
了若干米后到达点 E 处，然后转身沿射线 EB 方向走到点 F 处，接着又改变方向沿射线 FC 方
向走到公路 l 上的点 G 处，最后沿公路 l 回到点 A 处．设 AE=x 米（其中 x＞0），GA=y 米，
已知 y 与 x 之间的函数关系如图②所示，
（1）求图②中线段 MN 所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点 A 出发直至最后回到点 A 处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一
个等腰三角形？如果可以，求出相应 x 的值；如果不可以，说明理由．
【分析】（1）根据点 M、N 的坐标，利用待定系数法即可求出图②中线段 MN 所在直线的函数
表达式；
（2）分 FE=FG、FG=EG 及 EF=EG 三种情况考虑：①考虑 FE=FG 是否成立，连接 EC，通过计22
算可得出 ED=GD，结合 CD⊥EG，可得出 CE=CG，根据等腰三角形的性质可得出∠CGE=∠CEG、∠
FEG＞∠CGE，进而可得出FE≠FG；②考虑 FG=EG 是否成立，由正方形的性质可得出 BC∥EG，
进而可得出△FBC∽△FEG，根据相似三角形的性质可得出若 FG=EG 则 FC=BC，进而可得出
CG、DG 的长度，在 Rt△CDG 中，利用勾股定理即可求出 x 的值；③考虑 EF=EG 是否成立，同
理可得出若 EF=EG 则 FB=BC，进而可得出 BE 的长度， 在 Rt△ABE 中，利用勾股定理即可求
出 x 的值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）设线段 MN 所在直线的函数表达式为 y=kx+b，
将 M（30，230）、N（100，300）代入 y=kx+b，
，解得： ，
∴线段 MN 所在直线的函数表达式为 y=x+200．
（2）分三种情况考虑：
①考虑 FE=FG 是否成立，连接 EC，如图所示．
∵AE=x，AD=100，GA=x+200，∴ED=GD=x+100．
又∵CD⊥EG，∴CE=CG，∴∠CGE=∠CEG，∴∠FEG＞∠CGE，
∴FE≠FG；
②考虑 FG=EG 是否成立．
∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC∥EG，∴△FBC∽△FEG．
假设 FG=EG 成立，则 FC=BC 成立，∴FC=BC=100．
∵AE=x，GA=x+200，∴FG=EG=AE+GA=2x+200，∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100．
在 Rt△CDG 中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100，
∴1002+（x+100）2=（2x+100）2，
解得：x1=﹣100（不合题意，舍去），x2= ；
③考虑 EF=EG 是否成立．
同理，假设 EF=EG 成立，则 FB=BC 成立，
∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100．
在 Rt△ABE 中，AE=x，AB=100，BE=2x+100，∴1002+x2=（2x+100）2，
解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=﹣ （不合题意，舍去）．
综上所述：当 x= 时，△EFG 是一个等腰三角形．23
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形
的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待
定系数法求出一次函数关系式；（2）分 FE=FG、FG=EG 及 EF=EG 三种情况求出 x 的值．
5. （2018•杭州•8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的中线 DE⊥AB 于点 E。
（1）求证：△BDE∽△CAD。
（2）若 AB=13，BC=10，求线段 DE 的长
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，△ABC 为等腰三角形
∵AD 是 BC 边上中线
∴BD=CD，AD⊥BC
又∵DE⊥AB
∴∠DEB=∠ADC
又∵∠ABC=∠ACB
∴△BDE∽△CAD
（2）∵AB=13，BC=10BD=CD= BC=5，AD2+BD2=AB2
AD=12
∵△BDE∽△CAD
∴ ，即
∴DE=
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知易证△ABC 为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质及垂直
的定义证明∠DEB=∠ADC，根据两组角对应相等的两三角形是相似三角形，即可证得结论。
(2）根据等腰三角形的性质求出 BD 的长，再根据勾股定理求出 AD 的长，再根据相似三角形
的性质，得出对应边成比例，就可求出 DE 的长。
6. （2018•杭州•10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画
弧，交线段 AB 于点 D，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD。24
（1）若∠A=28°，求∠ACD 的度数；
（2）设 BC=a，AC=b；①线段 AD 的长度是方程 的一个根吗？说明理由。
②若线段 AD=EC，求 的值．
【答案】（1）因为∠A=28°，所以∠B=62°又因为 BC=BD，所以∠BCD= ×（180°-62°）
=59°
∴∠ACD=90°-59°=31°
（2）因为 BC=a，AC=b，所以 AB= 所以 AD=AB-BD=
① 因 为 =
=0
所以线段 AD 的长是方程 x2+2ax-b2=0 的一个根。
②因为 AD=EC=AE=
所以 是方程 x2+2ax-b2=0 的根，
所以 ，即 4ab=3b
因为 b≠0，所以 =
【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠B 的度数，再根据已知可得出△BCD 是
等腰三角形，可求出∠BCD 的度数，从而可求得∠ACD 的度数。
（2）根据已知①BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出 AB 的值，①再求出 AD 的长，再根据 AD
是原方程的一个根，将 AD 的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；②根
据已知条件可得出 AD=EC=AE= ，将 代入方程化简可得出 4ab=3b，就可求出 a 与 b 之比。
7.（2018•嘉兴•6 分）已知：在△ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足
分别为点 E，F，且 DE=DF．求证：△ABC 是等边三角形．25
【答案】证明见解析.
【解析】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用 HL 证明 Rt△ADE≌Rt△CDF，得到
∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论．
详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=Rt∠．
∵D 为的 AC 中点，∴DA=DC．
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC 是等边三角形．
点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定
与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．
8.（2018•广西贵港•11 分）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（﹣1，
0），B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x 轴于点 H，与 BC 交于点 M，
连接 PC．
①求线段 PM 的最大值；
②当△PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函
数，根据二次函数的性质，可得答案；
②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．26
【解答】解：（1）将 A，B，C 代入函数解析式，得
，
解得 ，
这个二次函数的表达式 y=x2﹣2x﹣3；
（2）设 BC 的解析是为 y=kx+b，
将 B，C 的坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
BC 的解析是为 y=x﹣3，
设 M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣ ）2+ ，
当 n= 时，PM 最大= ；
②当 PM=PC 时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得 n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣ （不符合题意，舍），n3= ，
n2﹣2n﹣3=2﹣2 ﹣3=﹣2 ﹣1，
P（ ，﹣2 ﹣1）．
当 PM=MC 时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，
解得 n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣7（不符合题意，舍），n3=1，
n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，
P（1，﹣4）；
综上所述：P（1，﹣4）或（ ，﹣2 ﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式，解
（2）①的关键是利用平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出
二次函数，又利用了二次函数的性质；解（2）②的关键是利用等腰三角形的定义得出关于 n
的方程，要分类讨论，以防遗漏．
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