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动态问题
一.选择题
1.（2018•山东烟台市•3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm，点 P 从点 A 出发，以 lcm/s
的速度沿 A→D→C 方向匀速运动，同时点 Q 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 A→B→C 方向匀速
运动，当一个点到达点 C 时，另一个点也随之停止．设运动时间为 t（s），△APQ 的面积为 S
（cm2），下列能大致反映 S 与 t 之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据动点 P 和 Q 的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，
①当 0≤t≤4 时，Q 在边 AB 上，P 在边 AD 上，如图 1，计算 S 与 t 的关系式，发现是开口向上
的抛物线，可知：选项 C.D 不正确；
②当 4＜t≤6 时，Q 在边 BC 上，P 在边 AD 上，如图 2，计算 S 与 t 的关系式，发现是一次函数，
是一条直线，可知：选项 B 不正确，从而得结论．
【解答】解：由题意得：AP=t，AQ=2t，
①当 0≤t≤4 时，Q 在边 AB 上，P 在边 AD 上，如图 1，
S△APQ= AP•AQ= =t2，
故选项 C.D 不正确；
②当 4＜t≤6 时，Q 在边 BC 上，P 在边 AD 上，如图 2，
S△APQ= AP•AB= =4t，2
故选项 B 不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点 P 和 Q 的位置的不同确定三角形面积的不
同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出 S 与 t 的函数关系式．
2. （2018•广西玉林•3 分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向移
动，以 AC 为边在右侧作等边△ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．垂直 D．平行、相交或垂直
【分析】先判断出 OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出∠ABD=∠AOB=60°，进而判断出△AOC
≌△ABD，即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点 C 在线段 OB 上时，如图 1，
∵△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC 和△ABD 中， ，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点 C 在 OB 的延长线上时，如图 2，
同①的方法得出 OA∥BD，3
∵△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC 和△ABD 中， ，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选：A．
3. （2018•广西桂林•3 分） 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（ ，1），
（3，1），（3，0），点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 交y 轴于点 B，当
点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动，设点 B 的坐标为（0，b），则 b 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：分两种情形：当 A 与点 N、M 重合时来确定 b 的最大与最小值即可.
详解：如图 1，当点 A 与点 N 重合时，CA⊥AB，
∴MN 是直线 AB 的一部分，
∵N（3，1）
∴OB=1，此时 b=1；
当点 A 与点 M 重合时，如图 2，延长 NM 交 y 轴于点 D，4
易证△ACN∽△BMD
∴
∵MN=3- = ,DM= ，CN=1
∴BD=
∴OB=BD-OD= -1= ,即 b=- ，
∴b 的取值范围是 .
故选 A.
点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..
4.（2018•广东•3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路
径匀速运动到点 D，设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB 上，在 BC 上和在 CD 上三种情况，利
用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：分三种情况：
①当 P 在 AB 边上时，如图 1，
设菱形的高为 h，
y= AP•h，
∵AP 随 x 的增大而增大，h 不变，5
∴y 随 x 的增大而增大，
故选项 C 不正确；
②当 P 在边 BC 上时，如图 2，
y= AD•h，
AD 和 h 都不变，
∴在这个过程中，y 不变，
故选项 A 不正确；
③当 P 在边 CD 上时，如图 3，
y= PD•h，
∵PD 随 x 的增大而减小，h 不变，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵P 点从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D，
∴P 在三条线段上运动的时间相同，
故选项 D 不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的不同，分三段求出△
PAD 的面积的表达式是解题的关键．
5. （2018•广东•3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿在 A→B→C→D
路径匀速运动到点 D，设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为6
（ ）
A． B． C． D．
【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB 上，在 BC 上和在 CD 上三种情况，利
用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：分三种情况：
①当 P 在 AB 边上时，如图 1，
设菱形的高为 h，
y= AP•h，
∵AP 随 x 的增大而增大，h 不变，
∴y 随 x 的增大而增大，
故选项 C 不正确；
②当 P 在边 BC 上时，如图 2，
y= AD•h，
AD 和 h 都不变，
∴在这个过程中，y 不变，
故选项 A 不正确；
③当 P 在边 CD 上时，如图 3，
y= PD•h，
∵PD 随 x 的增大而减小，h 不变，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵P 点从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D，
∴P 在三条线段上运动的时间相同，
故选项 D 不正确；
故选：B．7
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的不同，分三段求出△
PAD 的面积的表达式是解题的关键．
二.填空题
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，
有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围．
1.（2018•江苏无锡•2 分）如图，已知∠XOY=60°，点 A 在边 OX 上，OA=2．过点 A 作 AC⊥OY 于
点 C，以 AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一
点，过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D，作 PE∥OX 交 OY 于点 E．设 OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范
围是 2≤a+2b≤5 ．8
【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边形，得 EP=OD=a，
在 Rt△HEP 中，∠EPH=30°，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最小值的位置，可
得结论．
【解答】解：过 P 作 PH⊥OY 交于点 H，
∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形 EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，
Rt△HEP 中，∠EPH=30°，∴EH= EP= a，∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2；
当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5，∴2≤a+2b≤5．
2. （2018•达州•3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点 D 是 BC 边上一点且
CD=1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt△AOP．当 P 从点
D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长为 ．
【分析】过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF 为矩形，由△AOP
为等腰直角三角形得到 OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以 AE=PF，OE=OF，根
据角平分线的性质定理的逆定理得到 CO 平分∠ACP，从而可判断当 P 从点 D 出发运动至点 B 停
止时，点 O 的运动路径为一条线段，接着证明 CE= （AC+CP），然后分别计算 P 点在 D 点和 B 点
时 OC 的长，从而计算它们的差即可得到 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长．
【解答】解：过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，
∵△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形 OECF 为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO 平分∠ACP，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线段，
∵AE=PF，9
即 AC﹣CE=CF﹣CP，
而 CE=CF，
∴CE= （AC+CP），
∴OC= CE= （AC+CP），
当 AC=2，CP=CD=1 时，OC= ×（2+1）= ，
当 AC=2，CP=CB=5 时，OC= ×（2+5）= ，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长= ﹣ =2 ．
故答案为 2 ．
【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨
迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
3. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A
落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，
点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG ，点 G 在 BC 边 上 ，
若 AB=AD+2 ，EH=1 ，则 AD=________。
【答案】 或 3
【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折 叠 问
题）
【解析】【解答】∵当点 H 在线段 AE 上时把△ADE 翻折，点 A 落 在 DC
边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上
∴四边形 ADFE 是正方形
∴AD=AE
∵AH=AE-EH=AD-1
∵把△CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上
∴DC=DH=AB=AD+210
在 Rt△ADH 中，AD2+AH2=DH2
∴AD2+（AD-1）2=（AD+2）2
解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）
∴AD=3+2
当点 H 在线段 BE 上时
则 AH=AE-EH=AD+1
在 Rt△ADH 中，AD2+AH2=DH2
∴AD2+（AD+1）2=（AD+2）2
解之：AD=3，AD=-1（舍去）
故答案为： 或 3
【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据①的折叠，可得出四边
形 ADFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1），再根
据②的折叠可得出 DH=AD+2，然后根据勾股定理求出 AD 的长。
4. （2018•嘉兴•4 分.）如图,在矩形 中, , ,点 在 上, ,点 是边
上一动点,以 为斜边作 .若点 在矩形 的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,
则 的值是________.
【答案】0 或 或 4
【解析】【分析】在点 F 的运动过程中分别以 EF 为直径作圆，观察圆和矩形矩形 边的交点
个数即可得到结论.
【解答】当点 F 与点 A 重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.
当点 F 从点 A 向点 B 运动时，
当 时，共有 4 个点 P 使 是以 为斜边 .
当 时，有 1 个点 P 使 是以 为斜边 .
当 时，有 2 个点 P 使 是以 为斜边 .
当 时，有 3 个点 P 使 是以 为斜边 .11
当 时，有 4 个点 P 使 是以 为斜边 .
当点 F 与点 B 重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意.
故答案为：0 或 或 4
【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数
学中的应用.
三.解答题
1.（2018•江苏宿迁•12 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E.F 分别在边 AB.CD 上，
将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D 重合），
点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，设 BE=x，
（1）当 AM= 时，求 x 的值；
（2）随着点 M 在边 AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不
变，请求出该定值；
（3）设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.
【分析】（1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 Rt△AME 中，根据勾股定
理得（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .
（2）△PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B 作 BH⊥MN，根据折叠性质
知 BE=ME，由等边对等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角形的判
定 AAS 得 Rt△ABM≌Rt△HBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形
的判定 HL 得 Rt△BHP≌Rt△BCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长和等量代换即
可得出△PDM 周长为定值 2.
（3）过 F 作 FQ⊥AB，连接 BM，由折叠性质可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，由等角的余角相等得∠12
EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定 ASA 得 Rt△ABM≌Rt△QFE，据全等三角形的性质得
AM=QE；设 AM 长为 a，在 Rt△AEM 中，根据勾股定理得（1-x）2+a2=x2,从而得 AM=QE= ,
BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S 与 x 的函数关系式；又由（1-x）
2+a2=x2,得 x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0
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