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操作探究
一.选择题
1．（2018•临安•3 分.）z 如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E.F 分别是 AB.BC 的中点，
若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【分析】本题考查空间想象能力．
【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，
由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，
正方形的面积=4×4=16，
∴图中阴影部分的面积是 16÷4=4．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系%@z#step~.co&
2. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于
底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ）
A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【答案】A
【解析】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正
方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.
【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图
形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.
故选 A．2
【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形
的对角线上是解题的关键．
3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB=4，BC=3，点 P 在 BC 边上，将△CDP 沿 DP
折叠，点 C 落在点 E 处，PE.DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP=OF，则 cos∠ADF 的值为（ ）
A． B． C． D．
【 分 析 】 根 据 折 叠 的 性 质 可 得 出 DC=DE.CP=EP ， 由 ∠EOF=∠BOP 、 ∠B=∠E.OP=OF 可 得 出
△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出 OE=OB.EF=BP，设 EF=x，则 BP=x、
DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出 AF=1+x，在 Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利
用余弦的定义即可求出 cos∠ADF 的值．
【解答】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4，CP=EP．
在△OEF 和△OBP 中， ，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP．
设 EF=x，则 BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，
∴AF=AB﹣BF=1+x．
在 Rt△DAF 中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，
解得：x= ，
∴DF=4﹣x= ，
∴cos∠ADF= = ．
故选：C．3
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结
合 AF=1+x，求出 AF 的长度是解题的关键．
4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC，EG 剪
开，拼成如图 2 所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为
50，则正方形 EFGH 的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【分析】如图，设 PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的边长为 b，构建方程即可解决问题；
【解答】解：如图，设 PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的边长为 b．
由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）=50，
∴a2=25，
∴正方形 EFGH 的面积=a2=25，
故选：B．
【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参
数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二.填空题
1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如 下 操4
作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；②把纸片展开
并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG ，点 G 在 BC 边上，
若 AB=AD+2 ，EH=1 ，则 AD=________。
【答案】 或 3
【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵当点 H 在线段 AE 上时把△ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为
DE，点 E 在 AB 边上
∴四边形 ADFE 是正方形
∴AD=AE
∵AH=AE-EH=AD-1
∵把△CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上
∴DC=DH=AB=AD+2
在 Rt△ADH 中，AD2+AH2=DH2
∴AD2+（AD-1）2=（AD+2）2
解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）
∴AD=3+2
当点 H 在线段 BE 上时
则 AH=AE-EH=AD+1
在 Rt△ADH 中，AD2+AH2=DH2
∴AD2+（AD+1）2=（AD+2）2
解之：AD=3，AD=-1（舍去）
故答案为： 或 3
【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据①的折叠，可得出四边
形 ADFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1），再根
据②的折叠可得出 DH=AD+2，然后根据勾股定理求出 AD 的长。
2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一样的正方形
制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再
接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要
求的正方形，添加的正方形用阴影表示） ．5
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实
经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在教学“展开与折叠”时，
不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束
手无策了．
3. （2018•金华、丽水•4 分）如图 2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内，装
饰图中的三角形顶点 E ， F 分别在边 AB ， BC 上，三角形①的边 GD 在边 AD 上，则 的
值是________．
【解析】【解答】解：如图，过 G 作 GH⊥BC 交 BC 于 H，交三角形②斜边于点 I，6
则 AB=GH=GI+HI，BC=AD=AG+GD=EI+GD。
设原来七巧板的边长为 4，
则三角形②斜边的长度=4，GI= ，三角形③斜边长 IH= ，
则 AB=GI+IH= +2，
而 AG=EI=4，GD=4，
则 BC=8，
∴
故答案为： 。
【分析】可设原来七巧板的边长为 4（或一个字母），在图 2 中，可分别求出 AB 与 BC 的长。过
G 作 BC 的垂线段，垂足为 H，则 AB=GH，而 GH 恰好是三角形②斜边上高的长度与三角形③斜边
长度的和；同样的可求出 BC 的，求比值即可。
4. （2018·湖北省恩施·3 分）在 Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将 Rt
△ABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 Rt△DEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面
积为 π ．（结果不取近似值）
【分析】先得到∠ACB=30°，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以
直角三角形 30°的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧长；第二部分为以直角三
角形 60°的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120°的弧长，然后根据扇形的面积公式计算
点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，BC= ，
将 Rt△ABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 Rt△DEF，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30°
的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧长；第二部分为以直角三角形 60°的直角7
顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120°的弧长；
∴点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积= + =
．
故答案为 π．
【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应
的几何量．
5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在Rt△ABC 中，以下是小亮探究 与 之间关系的方
法：
∵sinA= ，sinB=
∴c= ，c=
∴ =
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究 、 、 之间的关系，
并写出探究过程．
【分析】三式相等，理由为：过 A 作 AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函
数定义表示出 AD，在直角三角形 ADC 中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，两者相等即可得证．
【解答】解： = = ，理由为：
过 A 作 AD⊥BC，BE⊥AC，
在 Rt△ABD 中，sinB= ，即 AD=csinB，
在 Rt△ADC 中，sinC= ，即 AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，即 = ，
同理可得 = ，8
则 = = ．
【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
三.解答题
1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 AC，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点
C，且使∠ABC=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线 AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所
有这样的直线 AC，并写出与之对应的函数表达式．
【分析】（1）①作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，②作矩形 OA′BC′，直线 A′C′，满
足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）解：如图△ABC 即为所求；
（2）解：这样的直线不唯一．
①作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，此时直线的解析式为 y=﹣ x+ ．
②作矩形 OA′BC′，直线 A′C′，满足条件，此时直线 A′C′的解析式为 y=﹣ x+4．9
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立
平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）
①画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1 与△A2B2C2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1 与△A2B2C2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
【分析】（1）将三角形的各顶点，向 x 轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；
（2）将三角形的各顶点，绕原点 O 按逆时针旋转 90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得
△A2B2C2；
（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，
做它的垂直平分线；
（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．
【解答】解：如下图所示：10
（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平
分线，
或连接 A1C1，A2C2 的中点的连线为对称轴．
（4）成中心对称，对称中心为线段 BB2 的中点 P，坐标是（ ， ）．
【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．
3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图 1，在△ABC 中，点 O 在线段 BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO= ，BO：CO=1：3，
求 AB 的长．
经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BD∥AC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造△ABD 就可以解决
问题（如图 2）．
请回答：∠ADB= 75 °，AB= 4 ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如 图 3 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点 O ， AC⊥AD ， AO= ，
∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求 DC 的长．
【 分 析 】（ 1 ） 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 出 ∠ADB=∠OAC=75° ， 结 合 ∠BOD=∠COA 可 得 出
△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出 OD 的值，进而可得出 AD 的值，由三角形内角和
定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出 AB=AD=4 ，此题得解；11
（2）过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，同（1）可得出 AE=4 ，在 Rt△AEB 中，利用勾股定理可
求出 BE 的长度，再在 Rt△CAD 中，利用勾股定理可求出 DC 的长，此题得解．
【解答】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴ = = ．
又∵AO= ，
∴OD= AO= ，
∴AD=AO+OD=4 ．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4 ．
故答案为：75；4 ．
（2）过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴ = = ．
∵BO：OD=1：3，
∴ = = ．
∵AO=3 ，
∴EO= ，
∴AE=4 ．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在 Rt△AEB 中，BE2+AE2=AB2，即（4 ）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．12
在 Rt△CAD 中，AC2+AD2=CD2，即 82+122=CD2，
解得：CD=4 ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性
质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出 OD 的值；（2）利用勾股定理求出 BE.CD
的长度．
4.（2018•山东济宁市•7 分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）
面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂 直平分线段
AB
（1）在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写 画法；
（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积， 具体做法如下：
将直棒放置到与小圆相切用卷尺量出此时直棒与大圆两交点MN 之间的距离， 就可求出环形花
坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．13
【解答】解（1）如图点 O 即为所求；
（2）设切点为 C，连接OM，OC．
∵MN 是切线，
∴OC⊥MN，
∴CM=CN=5，
∴OM2﹣OC2=CM2=25，
∴S 圆环=π•OM2﹣π•OC2=25π．
5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA=1，
PB=2，PC=3．你能求出∠APB 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接 PP′，求出∠APB 的度数；
思路二：将△APB 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到△CP'B，连接 PP′，求出∠APB 的度数．14
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA=3，PB=1，PC= ，求∠APB 的度数．
【分析】（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理
求出 PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；
思路二、同思路一的方法即可得出结论；
（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）思路一、如图 1，
将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接 PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，
在 Rt△PBP'中，BP=BP'=2，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'= BP=2 ，
∵AP=1，
∴AP2+PP'2=1+8=9，
∵AP'2=32=9，
∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；
思路二、同思路一的方法；
（2）如图 2，
将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接 PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP= ，
在 Rt△PBP'中，BP=BP'=1，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'= BP= ，15
∵AP=3，
∴AP2+PP'2=9+2=11，
∵AP'2=（ ）2=11，
∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质
和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
6. （2018•金华、丽水•8 分）如图，在 6×6 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在
格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件
的 图
形．
【解析】【分析】根据每个图形的面积公式配凑即可：三角形的面积是“ ”，即
“底×高=12”；
平行四边形的面积是“底×高”，即底×高=6，根据底和高的积配凑画出符合题意的图形即16
可。
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