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二元一次方程(组)及其应用
一.选择题
1. （2018·湖南怀化·4 分）二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
①+②得：2x=0，
解得：x=0，
把 x=0 代入①得：y=2，
则方程组的解为 ，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
2.（2018•山东东营市•3 分）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有
笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时
以一束（4 个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
【分析】设一个笑脸气球的单价为 x 元/个，一个爱心气球的单价为 y 元/个，根据前两束气球的
价格，即可得出关于 x、y 的方程组，用前两束气球的价格相加除以 2，即可求出第三束气球的
价格．
【解答】解：设一个笑脸气球的单价为 x 元/个，一个爱心气球的单价为 y 元/个，
根据题意得： ，
方程（①+②）÷2，得：2x+2y=18．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．2
3. （2018•杭州•3 分）某次知识竞赛共有 20 道题，规定：每答对一题得+5 分，每答错一题得-2
分，不答的题得 0 分。已知圆圆这次竞赛得了 60 分，设圆圆答对了 道题，答错了 道题，则
（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【考点】二元一次方程的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】根据题意得：5x-2y+0（20-x-y）=60,即 5x-2y=60 故答案为：C
【分析】根据圆圆这次竞赛得分为 60 分，建立方程即可。
4.（2018•临安•3 分.）中央电视台 2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天
平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由图可知：2 球体的重量=5 圆柱体的重量，2 正方体的重量=3 圆柱体的重量．可设一个
球体重 x，圆柱重 y，正方体重 z．根据等量关系列方程即可得出答案．
【解答】解：设一个球体重 x，圆柱重 y，正方体重 z．
根据等量关系列方程 2x=5y；2z=3y，消去 y 可得：x= z，
则 3x=5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量．
故选：D．
【点评】此题的关键是找到球，正方体，圆柱体的关系．
5.（2018·黑龙江龙东地区·3 分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用 1200
元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，在购买资金恰好用尽的情况下，购
买方案有（ ）
A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种
【分析】设购买篮球 x 个，排球 y 个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出
关于 x、y 的方程，由 x、y 均为非负整数即可得．
【解答】解：设购买篮球 x 个，排球 y 个，
根据题意可得 120x+90y=1200，
则 y= ，3
∵x、y 均为非负整数，
∴x=1.y=12；x=4.y=8；x=7.y=4；x=10.y=0；
所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 4 种，
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．
6.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者
在周日参与活动，活动累计 56 个小时的工作时间，需要每名男生工作 5 个小时，每名女生工作 4
个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（ ）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
【分析】设安排女生 x 人，安排男生 y 人，由“累计 56 个小时的工作时间”列出方程求得正整
数解．
【解答】解：设安排女生 x 人，安排男生 y 人，
依题意得：4x+5y=56，
则 x= ．
当 y=4 时，x=9．
当 y=8 时，x=4．
即安排女生 9 人，安排男生 4 人；
安排女生 4 人，安排男生 8 人．
共有 2 种方案．
故选：B．
【点评】考查了二元一次方程的应用．注意：根据未知数的实际意义求其整数解．
7.（2018•福建 A 卷•4 分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条
竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一
条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳
索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短
一托”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，4
根据题意得： ．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
8.（2018•福建 B 卷•4 分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条
竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一
条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳
索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短
一托”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，
根据题意得： ．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
9. （2018•遂宁•4 分）二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
①+②得：3x=6，
解得：x=2，
把 x=2 代入①得：y=0，
则方程组的解为 ，5
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
二.填空题
1. （2018·湖北随州·3 分）已知 是关于 x，y 的二元一次方程组 的一组解，则
a+b= 5 ．
【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于 A.b 的方程组，求出 A.b 即可解决问题；
【解答】解：∵ 是关于 x，y 的二元一次方程组 的一组解，
∴ ，解得 ，
∴a+b=5，
故答案为 5．
【点评】本题考查二元方程组，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，所以中考
常考题型．
2. （2018·湖北襄阳·3 分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，
译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出 8 元，则多 3 元；每人出 7 元，则差 4 元．问
这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是 53 元．
【分析】设该商品的价格是 x 元，共同购买该物品的有 y 人，根据“每人出 8 元，则多 3 元；每
人出 7 元，则差 4 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品的价格是 x 元，共同购买该物品的有 y 人，
根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：53．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
3.（2018•江苏无锡•2 分）方程组 的解是 ．
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解： ，
②﹣①，得：3y=3，解得：y=1，6
将 y=1 代入①，得：x﹣1=2，解得：x=3，所以方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．
4.（2018•江苏淮安•3 分）若关于 x、y 的二元一次方程 3x﹣ay=1 有一个解是 ，则 a= 4 ．
【分析】把 x 与 y 的值代入方程计算即可求出 a 的值．
【解答】解：把 代入方程得：9﹣2a=1，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5.2018•内蒙古包头市•3 分）若 a﹣3b=2，3a﹣b=6，则 b﹣a 的值为 ﹣2 ．
【分析】将两方程相加可得 4a﹣4b=8，再两边都除以 2 得出 a﹣b 的值，继而由相反数定义或等
式的性质即可得出答案．
【解答】解：由题意知 ，
①+②，得：4a﹣4b=8，
则 a﹣b=2，
∴b﹣a=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方
程未知数系数与待求代数式间的特点．
6 （2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）爸爸沿街匀速行走，发现每隔 7 分钟从背后驶过一辆 103 路
公交车，每隔 5 分钟从迎面驶来一辆 103 路公交车，假设每辆 103 路公交车行驶速度相同，而且 103
路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么 103 路公交车行驶速度是爸爸行走速度的 6 倍．
【分析】设 103 路公交车行驶速度为 x 米/分钟，爸爸行走速度为 y 米/分钟，两辆 103 路公交车
间的间距为 s 米，根据“每隔 7 分钟从背后驶过一辆 103 路公交车，每隔 5 分钟从迎面驶来一辆 103
路公交车”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，消去 s 即可得出 x=6y，此题得解．
【解答】解：设 103 路公交车行驶速度为 x 米/分钟，爸爸行走速度为 y 米/分钟，两辆 103 路公
交车间的间距为 s 米，
根据题意得： ，
解得：x=6y．
故答案为：6．7
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
7.（2018•贵州遵义•4 分）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，
则一牛一羊值金 二 两．
【分析】设一牛值金 x 两，一羊值金 y 两，根据“牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两”，即
可得出关于 x、y 的二元一次方程组，两方程相加除以 7，即可求出一牛一羊的价值．
【解答】解：设一牛值金 x 两，一羊值金 y 两，
根据题意得： ，
（①+②）÷7，得：x+y=2．
故答案为：二．
三.解答题
1. （2018·湖南郴州·8 分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答
赛，欲购买 A.B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，共需 380 元；如果购
买 A 种 15 件，B 种 10 件，共需 280 元．
（1）A.B 两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买 A.B 两种奖品共 100 件，总费用不超过 900 元，那么 A 种奖品最多购买多少件？
【分析】（1）设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元，根据“如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，
共需 380 元；如果购买 A 种 15 件，B 种 10 件，共需 280 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方
程组，解之即可得出结论；
（2）设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费
用不超过 900 元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A 种奖品每件 16 元，B 种奖品每件 4 元．
（2）设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，8
解得：a≤ ．
∵a 为整数，
∴a≤41．
答：A 种奖品最多购买 41 件．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于 a 的一元一次
不等式．
2.（2018•江苏宿迁•8 分）解方程组：
【答案】原方程组的解为
【分析】利用代入法进行求解即可得.
【详解】 ，由①得：x=-2y ③
将③代入②得：3（-2y）+4y=6，解得：y=-3，
将 y=-3 代入③得：x=6，
∴原方程组的解为 .
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
3.（2018•江苏苏州•8 分）某学校准备购买若干台 A 型电脑和 B 型打印机．如果购买 1 台 A 型电
脑，2 台 B 型打印机，一共需要花费 5900 元；如果购买 2 台 A 型电脑，2 台 B 型打印机，一共需
要花费 9400 元．
（1）求每台 A 型电脑和每台 B 型打印机的价格分别是多少元？
（2）如果学校购买 A 型电脑和 B 型打印机的预算费用不超过 20000 元，并且购买 B 型打印机的
台数要比购买 A 型电脑的台数多 1 台，那么该学校至多能购买多少台 B 型打印机？
【分析】（1）设每台 A 型电脑的价格为 x 元，每台 B 型打印机的价格为 y 元，根据“1 台 A 型电
脑的钱数+2 台 B 型打印机的钱数=5900，2 台 A 型电脑的钱数+2 台 B 型打印机的钱数=9400”列
出二元一次方程组，解之可得；
（2）设学校购买 a 台 B 型打印机，则购买 A 型电脑为（a﹣1）台，根据“（a﹣1）台 A 型电脑
的钱数+a 台 B 型打印机的钱数≤20000”列出不等式，解之可得．
【解答】解：（1）设每台 A 型电脑的价格为 x 元，每台 B 型打印机的价格为 y 元，
根据题意，得： ，解得： ，
答：每台 A 型电脑的价格为 3500 元，每台 B 型打印机的价格为 1200 元；
（2）设学校购买 a 台 B 型打印机，则购买 A 型电脑为（a﹣1）台，9
根据题意，得：3500（a﹣1）+1200a≤20000，
解得：a≤5，
答：该学校至多能购买 5 台 B 型打印机．
【点评】本题主要考查一元一次不等式与二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到
题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程组与不等式．
4.（2018•山东济宁市•8 分）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的
一段路基工程的施工土方量为 120 万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时
相向施工 150 天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工 40 天后
甲队返回，两队又共同施工了 110 天，这时甲乙两队共完成土方量 103.2 万立方．
（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证 150 天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械
来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任
务？
【分析】（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为 x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方
量为 y 万立方，根据“甲乙两队合作 150 天完成土方量 120 万立方，甲队施工 110 天、乙队施工 150
天完成土方量 103.2 万立方”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高 a 万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作
的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中
的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为 x 万立方，乙队原计划平均每天的施
工土方量为 y 万立方，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲队原计划平均每天的施工土方量为 0.42 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为
0.38 万立方．
（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高 a 万立方才能保证按时完成任务，
根据题意得：110×0.42+（40+110）×（0.38+a）≥120，
解得：a≥0.112．
答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高 0.112 万立方才能保证按时完成任务．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于 a 的一元一
次不等式．
5.（2018•山东烟台市•9 分）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划10
在城区投放一批“共享单车”这批单车分为 A，B 两种不同款型，其中 A 型车单价 400 元，B 型
车单价 320 元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放 A，B 两种款型的单车共 100
辆，总价值 36800 元．试问本次试点投放的 A 型车与 B 型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按
照试点投放中 A，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于 184 万元．请问城区 10 万人
口平均每 100 人至少享有 A 型车与 B 型车各多少辆？
【分析】（1）设本次试点投放的 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆，根据“两种款型的单车共 100 辆，总
价值 36800 元”列方程组求解可得；
（2）由（1）知 A.B 型车辆的数量比为 3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的 A 型车 3a 辆、B
型车 2a 辆，根据“投资总价值不低于 184 万元”列出关于 a 的不等式，解之求得 a 的范围，进
一步求解可得．
【解答】解：（1）设本次试点投放的 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：本次试点投放的 A 型车 60 辆、B 型车 40 辆；
（2）由（1）知 A.B 型车辆的数量比为 3：2，
设整个城区全面铺开时投放的 A 型车 3a 辆、B 型车 2a 辆，
根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，
解得：a≥1000，
即整个城区全面铺开时投放的 A 型车至少 3000 辆、B 型车至少 2000 辆，
则城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车 3000× =3 辆、至少享有 B 型车 2000×
=2 辆．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，
并据此列出方程组．
6.（2018•山东济宁市•7 分）绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自
清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人
数/人
清理捕鱼网箱人
数/人
总支出/元11
A 15 9 57000
B 10 16 68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的
人均支出费用各是多少元；12
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理
养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于 清理捕鱼网箱人数，则有
哪几种分配清理人员方案？
【解答】解（1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用 为y 元，
根 据 题 意 ， 得 ： ， 解 得 ：
，
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000 元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000 元；
（2）设 m 人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱， 根据题意，得：
，
解得：18≤m＜20，
∵m 为整数，
∴m=18 或m=19， 则分配清理人员方案有两种：
方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱； 方案二：19 人清理
养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱．
7.（2018•嘉兴•4 分） 用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①﹣②，得 3x=3．
解法二：
由②得，3x+（x﹣3y）=2，③
把①代入③，得 3x+5=2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【答案】（1）解法一中的计算有误（标记略）
（2）由①-②，得-3x=3，解得 x=-1，
把 x=-1 代入①，得-1-3y=5，解得 y=-2，
所以原方程组的解是 13
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）解法一运用的是加减消元法，要注意用①-②，即用方程①左边和右边的式子分别减去
方程②左边和右边的式子；
（2）解法二运用整体代入的方法达到消元的目的
8.（2018•广西南宁•10 分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 450 吨，如果运出甲仓库所存原料的 60%，
乙仓库所存原料的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨．
（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？
（2）现公司需将 300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/吨和 100 元/吨．经
协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运 m 吨
原料到工厂，请求出总运费 W 关于 m 的函数解析式（不要求写出 m 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着 m 的增大，W 的变化情况．
【分析】（1）根据甲乙两仓库原料间的关系，可得方程组；
（2）根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式；
（3）根据一次函数的性质，要分类讨论，可得答案．
【解答】解：（1）设甲仓库存放原料 x 吨，乙仓库存放原料 y 吨，由题意，得
，
解得 ，
甲仓库存放原料 240 吨，乙仓库存放原料 210 吨；
（2）由题意，从甲仓库运 m 吨原料到工厂，则从乙仓库云原料（300﹣m）吨到工厂，
总运费 W=（120﹣a）m+100（300﹣m）=（20﹣a）m+30000；
（3）①当 10≤a＜20 时，20﹣a＞0，由一次函数的性质，得 W 随 m 的增大而增大，
②当 a=20 是，20﹣a=0，W 随 m 的增大没变化；
③当 20≤a≤30 时，则 20﹣a＜0，W 随 m 的增大而减小．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的性质，解（1）的关键是利用等量关系列出二元一次方程
组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式；解（3）的关键是利用一次函数的性质，要分类讨
论．
9.（2018·黑龙江大庆·7 分）某学校计划购买排球、篮球，已知购买 1 个排球与 1 个篮球的总费用为 180
元；3 个排球与 2 个篮球的总费用为 420 元．
（1）求购买 1 个排球、1 个篮球的费用分别是多少元？
（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共 60 个，并且篮球的数量不超过排球数量的 2 倍．求至少需要购买
多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？
【分析】（1）根据购买 1 个排球与 1 个篮球的总费用为 180 元；3 个排球与 2 个篮球的总费用为 420 元列出
方程组，解方程组即可；14
（2）根据购买排球和篮球共 60 个，篮球的数量不超过排球数量的 2 倍列出不等式 ，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每个排球的价格是 x 元，每个篮球的价格是 y 元，
根据题意得： ，
解得： ，
所以每个排球的价格是 60 元，每个篮球的价格是 120 元；
（2）设购买排球 m 个，则购买篮球（60﹣m）个．
根据题意得：60﹣m≤2m，
解得 m≥20，
又∵排球的单价小于蓝球的单价，
∴m=20 时，购买排球、篮球总费用的最大
购买排球、篮球总费用的最大值=20×60+40×120=6000 元．
10.(2018·黑龙江哈尔滨·10 分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买 A 型、B 型两种
型号的放大镜．若购买 8 个 A 型放大镜和 5 个 B 型放大镜需用 220 元；若购买 4 个 A 型放大镜和 6 个 B 型放
大镜需用 152 元．
（1）求每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买 A 型放大镜和 B 型放大镜共 75 个，总费用不超过 1180 元，那么最多可以购买多少
个 A 型放大镜？
【分析】（1）设每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜分别为 x 元，y 元，列出方程组即可解决问题；
（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．
【解答】解：（1）设每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜分别为 x 元，y 元，可得： ，
解得： ，
答：每个 A 型放大镜和每个 B 型放大镜分别为 20 元，12 元；
（2）设购买 A 型放大镜 m 个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180，
解得：x≤35，
答：最多可以购买 35 个 A 型放大镜．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方
程组和不等式解答．
11. （2018·黑龙江龙东地区·10 分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A.B 两城决定向 C.D 两乡运送肥料
以支持农村生产，已知 A.B 两城共有肥料 500 吨，其中 A 城肥料比 B 城少 100 吨，从 A 城往 C.D 两乡运肥料15
的费用分别为 20 元/吨和 25 元/吨；从 B 城往 C.D 两乡运肥料的费用分别为 15 元/吨和 24 元/吨．现 C 乡需
要肥料 240 吨，D 乡需要肥料 260 吨．
（1）A 城和 B 城各有多少吨肥料？
（2）设从 A 城运往 C 乡肥料 x 吨，总运费为 y 元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使 A 城运往 C 乡的运费每吨减少 a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【分析】（1）根据 A.B 两城共有肥料 500 吨，其中 A 城肥料比 B 城少 100 吨，列方程或方程组得答案；
（2）设从 A 城运往 C 乡肥料 x 吨，用含 x 的代数式分别表示出从 A 运往运往 D 乡的肥料吨数，从 B 城运往 C
乡肥料吨数，及从 B 城运往 D 乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一
次函数的性质得结论；
（3）列出当 A 城运往 C 乡的运费每吨减少 a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，
得结论．
【解答】解：（1）设 A 城有化肥 a 吨，B 城有化肥 b 吨
根据题意，得
解得
答：A 城和 B 城分别有 200 吨和 300 吨肥料；
（2）设从 A 城运往 C 乡肥料 x 吨，则运往 D 乡（200﹣x）吨
从 B 城运往 C 乡肥料（240﹣x）吨，则运往 D 乡（60+x）吨
如总运费为 y 元，根据题意，
则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=4x+10040
由于函数是一次函数，k=4＞0
所以当 x=0 时，运费最少，最少运费是 10040 元．
（3）从 A 城运往 C 乡肥料 x 吨，由于 A 城运往 C 乡的运费每吨减少 a（0＜a＜6）元，
所以 y=y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=（4﹣a）x+10040
当 0＜a≤4 时，∵4﹣a≥0
∴当 x=0 时，运费最少；
当 4＜a＜6 时，∵4﹣a＜0
∴当 x=240 时，运费最少．
所以：当 0＜a≤4 时，A 城化肥全部运往 D 乡，B 城运往 C 城 240 吨，运往 D 乡 60 吨，运费最少；
当 4＜a＜6 时，A 城化肥全部运往 C 乡，B 城运往 C 城 40 吨，运往 D 乡 260 吨，运费最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（3）
需分类讨论．16
12. （2018·湖北省恩施·10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A.B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A
型空调和 2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元．
（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购 A.B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一半，两种型号空调
的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
【解答】解：（1）设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元，
，解得， ，
答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；
（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12 ，
∴a=10.11.12，共有三种采购方案，
方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台，
方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台，
方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台；
（3）设总费用为 w 元，
w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，
∴当 a=10 时，w 取得最小值，此时 w=210000，
即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000 元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是
明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
13.（2018•福建 A 卷•8 分）解方程组： ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
②﹣①得：3x=9，17
解得：x=3，
把 x=3 代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14.（2018•福建 B 卷•8 分）解方程组： ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把 x=3 代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15.（2018•广西北海•10分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存
原料的60% ，乙仓库所存原料的40% ，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨.
(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？
(2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和
100元/吨。经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a元/吨（ 10 ≤ a ≤ 30，从乙仓库到18
工厂的运价不变。设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W 关于 m的函数解析式（不
要求写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明:随着m的增大，W 的变化情况 .
【答案】(1)设甲仓库存放原料x吨,乙仓库存放原料y吨.
根据题意得：
x + y = 450
解 得
x
y
(1 − 40%)y
= 240
.
= 210
− (1 − 60%)x = 30
故甲仓库存放原料 240吨,乙仓库存放原料 210吨.
(2)据题意，从甲仓库运 m吨原料到工厂，则从乙仓库运 300 − m 吨原料到工厂
总运费. W = (120 − a)m + 100(300 − m ) = (20 − a)m + 30000
(3)①当 10 ≤ a＜20， 20 − a＞0，由一次函数的性质可知，W 随着m的增大而增大.
②当 a = 20时, 20 − a=0，W 随着 m 的增大没有变化.
③当 20 ≤ a ≤ 30， 则 20 − a＜0，W 随着 m 的增大而减小.
【考点】二元一次方程组；一次函数的性质及应用
【解析】(1)根据题意，可设甲仓库存放原料x 吨,乙仓库存放原料y 吨，利用甲、乙两仓库的
原料吨数之和为450吨以及乙仓库剩余的原料比甲的30吨.，即可列出二元一次方程组求解.
(2) 据题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库运300 − m 吨原料到工厂，甲仓库到工厂的19
运价为120 − a 元/吨，由乙仓库到工厂的运价不变即为100元/吨，利用“运费=运价
×数量”即可求出甲、乙仓库到工厂的总运费W .
(3) 本题考察一次函数的性质，一次项系数 20 − a 的大小决定W 随 着 m的增大而如何变化，
需根据题中所给参数a的取值范围， 进行3种情况讨论，判断20 − a的正负，可依次得到20
20 − a＞0、 20 − a=0即 20 − a＜0，即得 W 随着 m的增大的变化情况.
【点评】此题考察二元一次方程组及一次函数的性质及应用，根据题中的数量关系不难列出
二元一次方程组及总运费W 关于 m的函数解析式，难点在于最后一问函数性质的运用，需
利用题中所给的数量参数a的范围，讨论一次项系数，W 随着 m的增大而产生的变化情况.
16.（2018•广西贵港•8 分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用 45 座客车
若干辆，但有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰
好坐满．已知 45 座客车租金为每辆 220 元，60 座客车租金为每辆 300 元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用 45 座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【分析】（1）设这批学生有 x 人，原计划租用 45 座客车 y 辆，根据“原计划租用 45 座客车
若干辆，但有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰
好坐满”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆
数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设这批学生有 x 人，原计划租用 45 座客车 y 辆，
根据题意得： ，
解得： ．
答：这批学生有 240 人，原计划租用 45 座客车 5 辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租 45 座客车需要 5+1=6 辆，租 60 座客车需要 5﹣1=4 辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租 4 辆 60 座客车划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用．
17.（2018•贵州铜仁•12 分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买 1 张办
公桌必须买 2 把椅子，椅子每把 100 元，若学校购进 20 张甲种办公桌和 15 张乙种办公桌共
花费 24000 元；购买 10 张甲种办公桌比购买 5 张乙种办公桌多花费 2000 元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共 40 张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3 倍，
请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，根据“甲种桌子总钱数+乙种21
桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10 把甲种桌子钱数﹣5 把乙种桌子钱数+多出 5 张桌子
对应椅子的钱数=2000”列方程组求解可得；
（2）设甲种办公桌购买 a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为 y，根据“总
费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲种
办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3 倍”得出自变量 a 的取值范围，继而利用一次函数的
性质求解可得．
【 解答】解：（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种办公桌每张 400 元，乙种办公桌每张 600 元；
（2）设甲种办公桌购买 a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为 y，
则 y=400a+600（40﹣a）+2×40×100
=﹣200a+32000，
∵a≤3（40﹣a），
∴a≤ 30，
∵﹣200＜0，
∴y 随 a 的增大而减小，
∴当 a= 30 时，y 取得最小值，最小值为 26000 元．
18. （2018 湖南长沙 9.00 分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展
“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子
打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；
打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200 元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子比不
打折节省了多少钱？
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据“打折前，买 6 盒
甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需
要 5200 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数﹣打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．
【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，
根据题意得： ，22
解得： ．
答：打折前甲品牌粽子每盒 40 元，乙品牌粽子每盒 120 元．
（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120=3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了 3640 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
19.（2018 湖南湘西州 6.00 分）解方程组：
【分析】①+②求出 x，把 x=2 代入①求出 y 即可．
【解答】解：①+②得：4x=8，
解得：x=2，
把 x=2 代入①得：2+y=3，
解得：y=1，
所以原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题
的关键．
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