1
图形的相似与位似
一.选择题
1. （2018·湖北随州·3 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则
的值为（ ）
A．1 B． C． 1 D．
【分析】由 DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合 S△ADE=S 四边形 BCED，可得
出 = ，结合 BD=AB﹣AD 即可求出 的值，此题得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（ ）2= ．
∵S△ADE=S 四边形 BCED，
∴ = ，
∴ = = = ﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是
解题的关键．
2.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，
若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝60°,则△OCE 的面积是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，AC⊥BD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角2
形得△ABD 是等边三角形；在 Rt△AOD 中，根据勾股定理得 AO=2 ，AC=2AO=4 ，根据三角形
面积公式得 S△ACD= OD·AC=4 ，根据中位线定理得 OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相
似比继而可求出△OCE 的面积.
【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD 是等边三角形，
又∵O 是菱形对角线 AC.BD 的交点，∴AC⊥BD，
在 Rt△AOD 中，∴AO= ，∴AC=2AO=4 ，∴S△ACD= OD·AC= ×2×4
=4 ，
又∵O、E 分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴ ，∴ ，
∴S△COE= S△CAD= ×4 = ，
故选 A.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的
性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.
3.（2018•江苏无锡•3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方形 EFGH
的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tan∠AFE 的值（ ）
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点 E 位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对
应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴ = = ．
设 EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，
∴tan∠AFE=tan∠FAG= = = ．
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE 的正切值转化3
为求∠FAG 的正切值来解答的．
5.2018•内蒙古包头市•3 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E
为 BC 的中点，AE 与 BD 相交于点 F．若 BC=4，∠CBD=30°，则 DF 的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用含 30 度角的直角三角形的性质求出 BD，再利用直角三角形的性质求出 DE=BE=2，
即：∠BDE=∠ABD，进而判断出 DE∥AB，再求出 AB=3，即可得出结论．
【解答】解：如图，
在 Rt△BDC 中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接 DE，
∵∠BDC=90°，点 D 是 BC 中点，
∴DE=BE=CE BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
在 Rt△ABD 中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= BD= ×2 = ，
故选：D．4
【点评】此题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分
线的定义，判断出 DE∥是解本题的关键．
6. （2018•达州•3 分）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF= AC．连接 DE，
DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GH∥BC，推出△BGH∽△BAC，可得 =
=（ ）2=（ ）2= ， = ，由此即可解决问题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF= AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH∥BC，
∴△BGH∽△BAC，
∴ = =（ ）2=（ ）2= ，
∵ = ，5
∴ = × = ，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、
等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7. （2018•乌鲁木齐•4 分）如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则△BEF 与△DCB
的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得出 AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，
根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，E 为 AB 的中点，
∴AB=DC=2BE ，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴ = = ，
∴DF=2BF， =（ ）2= ，
∴ = ，
∴S△BEF= S△DCF，S△DCB= S△DCF，
∴ = = ，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质6
是解此题的关键．
8. （2018•杭州•3 分）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，DE∥BC，与边 AC 交于点 E，连结 BE，
记△ADE，△BCE 的面积分别为 S1 ， S2 ， （ ）
A. 若 ， 则
B. 若 ， 则
C. 若 ， 则
D. 若 ， 则
【答案】D
【考点】三角形的面积，平行线分线段成比例
【 解 析 】【解 答 】 解 : 如 图 ， 过 点 D 作 DF ⊥ AC 于 点 F ， 过 点 B 作 BM ⊥ AC 于 点 M
∴DF∥BM，设 DF=h1 ， BM=h2
∴
∵DE∥BC
∴
∴
∵若
∴设 =k＜0.5（0＜k＜0.5）
∴AE=AC∙k，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2k
∵S1= AE∙h1= AC∙k∙h1 ， S2= CE∙h2= AC（1-k）h2
∴3S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）∙ACh2
∵0＜k＜0.57
∴ k2＜（1-K）
∴3S1＜2S2
故答案为：D
【分析】过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，过点 B 作 BM⊥AC 于点 M，可得出 DF∥BM，设 DF=h 1 ，
BM=h2 ， 再根据 DE∥BC，可证得 ，若 ，设 =k
＜0.5（0＜k＜0.5），再分别求出 3S1 和 2S2 ， 根据 k 的取值范围，即可得出答案。
9．（2018•临安•3 分.）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC
相似的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，
A.C.D 图形中的钝角都不等于 135°，
由勾股定理得，BC= ，AC=2，
对应的图形 B 中的边长分别为 1 和 ，
∵ = ，
∴图 B 中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三
角形相似是解题的关键．
10．（2018•临安•3 分.）如图，在△ ABC 中，DE∥BC，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若
AD=4，DB=2，则 DE：BC 的值为（ ）8
A． B． C． D．
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再
根据相似三角形的对应边成比例解则可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = = ．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错．
11. （2018•广西玉林•3 分）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ）
A． ： B．2：3 C．4：9 D．8：27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵两三角形的相似比是 2：3，
∴其面积之比是 4：9，
故选：C．
12. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段
AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【分析】由 GE∥BD.GF∥AC 可得出△AEG∽△ABD.△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可
找出 = = ，此题得解．
【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴ = ， = ，
∴ = = ．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出 = = 是解
题的关键．9
13.（2018•广东•3 分）在△ABC 中，点 D.E 分别为边 AB.AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积
之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由点 D.E 分别为边 AB.AC 的中点，可得出 DE 为△ABC 的中位线，进而可得出 DE∥BC
及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE 与△ABC 的面积之比．
【解答】解：∵点 D.E 分别为边 AB.AC 的中点，
∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =（ ）2= ．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定
理找出 DE∥BC 是解题的关键．
14.（2018•广西贵港•3 分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若 S 四边形 BCFE=16，则 S△ABC=
（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】由 EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则 S△ABC 的值．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=1：9，
设 S△AEF=x，
∵S 四边形 BCFE=16，10
∴ = ，
解得：x=2，
∴S△ABC=18，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比
的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
15.（2018•贵州铜仁•4 分）已知△ABC∽△DEF，相似比为 2，且△ABC 的面积为 16，则△DEF
的面积为（ ）
A．32 B．8 C．4 D．16
【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为 2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可
得△ABC 与△DEF 的面积比为 4，又由△ABC 的面积为 16，即可求得△DEF 的面积．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为 2，
∴△ABC 与△DEF 的面积比为 4，
∵△ABC 的面积为 16，
∴△DEF 的面积为：16× =4．
故选：C．
16．(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），过点 A
作 AB⊥x 轴于点 B．将△AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则 CD
的长度是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合 A 点坐标直接得出点 C 的坐标，即可得出答案．
【解答】解：∵点 A（2，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B．将△AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩
小为原图形的 ，得到△COD，
∴C（1，2），则 CD 的长度是：2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关
键．11
17. （2018•达州•3 分）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF= AC．连接
DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GH∥BC，推出△BGH∽△BAC，可得 =
=（ ）2=（ ）2= ， = ，由此即可解决问题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF= AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH∥BC，
∴△BGH∽△BAC，
∴ = =（ ）2=（ ）2= ，
∵ = ，
∴ = × = ，
故选：C．12
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、
等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
18. （2018•乌鲁木齐•4 分）如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则△BEF 与
△DCB 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得出 AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，
根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，E 为 AB 的中点，
∴AB=DC=2BE ，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴ = = ，
∴DF=2BF， =（ ）2= ，
∴ = ，
∴S△BEF= S△DCF，S△DCB= S△DCF，
∴ = = ，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质
是解此题的关键．
二.填空题
1.（2018•内蒙古包头市•3 分）如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF∥BC，且 EF 与 AB 相13
交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE=2EB，连接 DF．若 S△AEF=1，则 S△ADF 的值为 ．
【分析】由 3AE=2EB 可设 AE=2A.BE=3a，根据 EF∥BC 得 =（ ）2= ，结合 S△AEF=1
知 S△ADC=S△ABC= ，再由 = = 知 = ，继而根据 S△ADF= S△ADC 可得答案．
【解答】解：∵3AE=2EB，
∴可设 AE=2A.BE=3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∵S△AEF=1，
∴S△ABC= ，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴S△ADC=S△ABC= ，
∵EF∥BC，
∴ = = = ，
∴ = = ，
∴S△ADF= S△ADC= × = ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、
平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．
2. （2018•上海•4 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D.E 在△ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别
在边 AB.AC 上．如果 BC=4，△ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 ．14
【分析】作 AH⊥BC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH=3，设正方形 DEFG
的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得 = ，
然后解关于 x 的方程即可．
【解答】解：作 AH⊥BC 于 H，交 GF 于 M，如图，
∵△ABC 的面积是 6，
∴ BC•AH=6，
∴AH= =3，
设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ = ，即 = ，解得 x= ，
即正方形 DEFG 的边长为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中
已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法
是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段
的长．也考查了正方形的性质．
3. （2018•资阳•3 分）已知：如图，△ABC 的面积为 12，点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，则四
边形 BCED 的面积为 ．15
【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 S△ADE=12﹣x，由题意知 DE∥BC 且 DE= BC，从而得
=（ ）2，据此建立关于 x 的方程，解之可得．
【解答】解：设四边形 BCED 的面积为 x，则 S△ADE=12﹣x，
∵点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，且 DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
则 =（ ）2，即 = ，
解得：x=9，
即四边形 BCED 的面积为 9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形
的面积比等于相似比的平方的性质．
4. （2018•嘉兴•4 分.）如图.直线 .直线 交 于点 ;直线 交 于点
，已知 , ________.
【答案】2
【解析】【分析】根据 ，可以知道， 即可求得.
【解答】 ,
根据 ，16
故答案为：2.
【点评】考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键.
5. 如图，点 ， ， ， 均在坐标轴上，且 ， ，若点 ， 的坐标分别
为 ， ，则点 的坐标为__________．
【答案】
【解析】分析：根据相似三角形的性质求出 P3D 的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出 OP4
的长，得到答案．
详解：∵点 P1，P2 的坐标分别为（0，-1），（-2，0），
∴OP1=1，OP2=2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，
∴ ，即 ，
解得，OP3=4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，
∴ ，即 ，
解得，OP4=8，
则点 P4 的坐标为（8，0），
故答案为：（8，0）．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定
定理和性质定理是解题的关键．
6. （2018•贵州安顺•4 分）正方形 、 、 、…按如图所示的方式放置.
点 、 、 、…和点 、 、 、…分别在直线 和轴上，则点 的坐标是
__________．（为正整数）17
【答案】
【解析】分析：由图和条件可知 A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），Bn
的横坐标为 An+1 的横坐标，纵坐标为 An 的纵坐标，又 An 的横坐标数列为 An=2n-1-1，所以纵坐
标为（2n-1），然后就可以求出 Bn 的坐标为[A（n+1）的横坐标，An 的纵坐标]．
详解：由图和条件可知 A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），
∴Bn 的横坐标为 An+1 的横坐标，纵坐标为 An 的纵坐标
又 An 的横坐标数列为 An=2n-1-1，所以纵坐标为 2n-1，
∴Bn 的坐标为[A（n+1）的横坐标，An 的纵坐标]=（2n-1，2n-1）．
故答案为：（2n-1，2n-1）．
点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图
形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加
（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
7.（2018•贵州黔西南州•3 分）如图，已知在△ABC 中，BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE 交于
点 F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC 的面积为 60 ．
【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出 AF=BC=10，设 DF=x．由△ADC∽△BDF，推出 = ，
构建方程求出 x 即可解决问题；
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设 DF=x．
∵△ADC∽△BDF，18
∴ = ，
∴ = ，
整理得 x2+10x﹣24=0，
解得 x=2 或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，
∴S△ABC= •BC•AD= ×10×12=60．
故答案为 60．
【点评】 本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三
角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8.（2018•贵州贵阳•4分）如图，在 ABC 中， BC 6 ， BC 边上的高为 4，在 ABC 的内部
作一个矩形EFGH ，使 EF 在 BC 边上，另外两个顶点分别在 AB.AC 边上，则对角线 EG 长
12 13
的最小值为 .
13
【解】作 AM BC 于点 M ，交 DG 于点 N ，设 DE x ，由题意知： AM 4，BC 6
如图：19
∵四边形 DEFG 是矩形
∴ DG ∥ EF
∴ ADG ∽ ABC
∴ AN DG 即
AM BC
4 x DG DG 12 3x
4 6 2
EG DE 2 DG 2
x 2 (12 3x )2
在 RtEDG 中
13 ( x 24 )2
144
2 9 13 13
∴当 x 24
时，EGmin
13 ( 24 24 )2 144 144 12 13
1 3 9 13 13 13 13 1320
9．（2018 年湖南省娄底市）如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD.AB.BC 都相切，切点
分别为 D.E.C，半径 OC=1，则 AE•BE= 1 ．
【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得 = ，推出 AE•BE=OE2=1．
【解答】解：如图连接 OE．
∵半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD.AB.BC 都相切，切点分别为 D.E.C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠EAO=∠EOB，
∵∠AEO=∠OEB=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴ = ，
∴AE•BE=OE2=1，
故答案为 1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键
是正确寻找相似三角形解决问题．
10．(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，
连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF．写出图中任意一对相似三角形： △ADF∽△ECF ．21
【分析】利用平行四边形的性质得到 AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽
△ECF．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为△ADF∽△ECF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构
成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的
性质．
11. （2018•上海•4 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D.E 在△ABC 的边 BC 上，顶点 G、F
分别在边 AB.AC 上．如果 BC=4，△ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 ．
【分析】作 AH⊥BC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH=3，设正方形
DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性
质得 = ，然后解关于 x 的方程即可．
【解答】解：作 AH⊥BC 于 H，交 GF 于 M，如图，
∵△ABC 的面积是 6，
∴ BC•AH=6，
∴AH= =3，
设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ = ，即 = ，解得 x= ，22
即正方形 DEFG 的边长为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形
中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般
方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相
应线段的长．也考查了正方形的性质．
12. （2018•资阳•3 分）已知：如图，△ABC 的面积为 12，点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，
则四边形 BCED 的面积为 ．
【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 S△ADE=12﹣x，由题意知 DE∥BC 且 DE= BC，从而得
=（ ）2，据此建立关于 x 的方程，解之可得．
【解答】解：设四边形 BCED 的面积为 x，则 S△ADE=12﹣x，
∵点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，且 DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
则 =（ ）2，即 = ，
解得：x=9，
即四边形 BCED 的面积为 9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角23
形的面积比等于相似比的平方的性质．
三.解答题
1.（2018•江苏无锡•10 分）已知：如图，一次函数 y=kx﹣1 的图象经过点 A（3 ，m）（m＞
0），与 y 轴交于点 B．点 C 在线段 AB 上，且 BC=2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D．若
AC=CD．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P 且
垂直于 AP 的直线与 x 轴的交点为 Q（﹣ ，0），求这条抛物线的函数表达式．
【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求 AC 和 m
（2）由∠APQ=90°，构造△PQD∽△APE 构造方程求点 P 坐标可求二次函数解析式．
【解答】解：（1）过点 A 作 AF⊥x 轴，过点 B 作 BF⊥CD 于 H，交 AF 于点 F，过点 C 作 CE⊥AF
于点 E
设 AC=n，则 CD=n
∵点 B 坐标为（0，﹣1），∴CD=n+1，AF=m+1
∵CH∥AF，BC=2AC，∴
，
即：
整理得：n=
Rt△AEC 中，CE2+AE2=AC2，∴5+（m﹣n）2=n2
把 n= 代入
5+（m﹣ ）2=（ ）2
解得 m1=2，m2=﹣3（舍去），∴n=124
∴把 A（3 ，2）代入 y=kx﹣1 得 k=
∴y= x﹣1
（2）如图，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E
设点 P 坐标为（2 ，n），由已知 n＞0
由已知，PD⊥x 轴
∴△PQD∽△APE，∴
，
∴
，
解得 n1=5，n2=﹣3（舍去）
设抛物线解析式为 y=a（x﹣h）2+k，∴y=a（x﹣2 ）2+5
把 A（3 ，2）代入 y=a（x﹣2 ）2+5，解得 a=﹣
∴抛物线解析式为：y=﹣
【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质．在解答过程中，应注意利用三角形相似和
勾股定理构造方程，求出未知量．
2.（2018•江苏淮安•12 分）如果三角形的两个内角α 与 β 满足 2α+β=90°，那么我们称
这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= 15 °；
（2）如图①，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证
明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D），使得△ABE 也是“准
互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准
互余三角形”，求对角线 AC 的长．25
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得 CA2=CE•CB，由此即可解决问题；
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得 CF2=FB•FA，
设 FB=x，则有：x（x+7）=122，推出 x=9 或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出 AC 即可；
【解答】解：（1）∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=60°，
解得，∠B=15°，
故答案为：15°；
（2）如图①中，
在 Rt△ABC 中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD 是“准互余三角形”，
∵△ABE 也是“准互余三角形”，
∴只有 2∠A+∠BAE=90°，
∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，可得 CA2=CE•CB，
∴CE= ，
∴BE=5﹣ = ．26
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A.B.F 共线，
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有 2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2=FB•FA，设 FB=x，
则有：x（x+7）=122，
∴x=9 或﹣16（舍弃），
∴AF=7+9=16，
在 Rt△ACF 中，AC= = =20．
【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知
识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学
会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．
3.（2018•江苏宿迁•12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a）（x-3）
（0
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