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锐角三角函数与特殊角
一.选择题
1.2018 • 山 东 烟 台 市 • 3 分 ） 利 用 计 算 器 求 值 时 ， 小 明 将 按 键 顺 序 为
显 示 结 果 记 为 a ，
的显示结果记为 b．则 a，b 的大小关系为（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a=b D．不能比较
【分析】由计算器的使用得出 A.b 的值即可．
【解答】解：由计算器知 a=（sin30°）﹣4=16.b= =12，
∴a＞b，
故选：B．
【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用．
. 2（2018•金华、丽水•3 分）如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC=α ，
∠ADC=β ， 则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】【解答】解：设 AC=x,
在 Rt△ABC 中，AB= ．
在 Rt△ACD 中，AD= ，
则 ，
故答案为：B。
【分析】求 AB 与 AD 的比，就不必就求 AB 和 AD 的具体的长度，不妨设 AB=x，用含 x 的代
数式分别表示出 AB，AD 的长，再求比。2
3. （2018·黑龙江大庆·3 分）2cos60°=（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
【解答】解：2cos60°=2× =1．
二.填空题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）我国海域辽阔，渔业资源丰
富．如图，现有渔船 B 在海岛 A，C 附近捕鱼作业，已知海岛 C 位于海岛 A 的北偏东 45°方
向上．在渔船 B 上测得海岛 A 位于渔船 B 的北偏西 30°的方向上，此时海岛 C 恰好位于渔
船 B 的正北方向 18（1+ ）n mile 处，则海岛 A，C 之间的距离为 18 n mile．
【分析】作AD⊥BC 于 D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出 BD.CD，根据题意列式计算
即可．
【解答】解：作 AD⊥BC 于 D，
设 AC=x 海里，
在 Rt△ACD 中，AD=AC×sin∠ACD= x，
则 CD= x，
在 Rt△ABD 中，BD= x，
则 x+ x=18（1+ ），解得，x=18 ，
答：A，C 之间的距离为 18 海里．3
故答案为：18
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解
题的关键．
2.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，将含有 30°角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，顶
点 A，B 分别落在 x、y 轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点 A 的坐标为（1，0），将三角板 ABC
沿 x 轴向右作无滑动的滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，再绕点 C 按顺时针方向旋
转 90°，…）当点 B 第一次落在 x 轴上时，则点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积是
________.
【答案】 + π
【分析】在Rt△AOB 中，由 A 点坐标得 OA=1，根据锐角三角形函数可得 AB=2，OB= ，在旋
转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S= ，计算即可得出答案.
【详解】在 Rt△AOB 中，∵A（1，0），∴OA=1，
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°= ，
∴AB=2，OB= ，
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S= = π，
故答案为： π.
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确4
画出图形是解题的关键.
3. （2018•广西北海•3分）如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼
顶部B 处测得乙楼底部
D 处的俯角是 45°.已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是 m（结果保留根
号。
【答案】40
【考点】三角函数
【解析】∵俯角是 45! ，∴ ∠BDA = 45!，∴ AB =
AD=120m， 又∵ ∠CAD = 30!
,∴ 在 Rt△ADC 中 tan∠CDA=tan30°=
CD = 3 ,
AD 3
∴ CD = 40 3 （m）
【点评】学会应用三角函数解决实际问题。
三.解答题
1. （2018·湖北襄阳·6 分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人
员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB 由西向东行
驶．在 A 处测得岸边一建筑物 P 在北偏东 30°方向上，继续行驶 40 秒到达 B 处时，测得建
筑物 P 在北偏西 60°方向上，如图所示，求建筑物 P 到赛道 AB 的距离（结果保留根号）．
【分析】作 PC⊥AB 于 C，构造出 Rt△PAC 与 Rt△PBC，求出 AB 的长度，利用特殊角的三角
函数值求解．
【 解 答 】 解 ： 过 P 点 作 PC⊥AB 于 C ， 由 题 意 可 知 ： ∠PAC=60° ， ∠PBC=30° ，5
在 Rt△PAC 中， ，∴AC= PC，
在 Rt△PBC 中， ，∴BC= PC，
∵AB=AC+BC= ，
∴PC=100 ，
答：建筑物 P 到赛道 AB 的距离为 100 米．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三
角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
2.（2018•江苏宿迁•8 分）计算：
【答案】5
【详解】原式=4-1+（2- ）+2× ，
=4-1+2- + ，
=5.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算顺序、特殊角的三角函数值
是解题的关键.
3.（2018•江苏淮安•10 分）（1）计算：2sin45°+（π﹣1）0﹣ +|﹣2 |；
（2）解不等式组：
【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘
法和加减运算可得；
（2）先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：（1）原式=2× +1﹣3 +26
= +1﹣
=1；
（2）解不等式 3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式 2x﹣1≥ ，得：x≥1，
则不等式组的解集为 1≤x＜3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，解题的关键是掌握解不等式组应
遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了及实数的混合运
算顺序和运算法则．
4.（2018•江苏淮安•12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=﹣ x+4 的图象与 x
轴和 y 轴分别相交于 A.B 两点．动点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 3 个单位长度的速
度向点 O 作匀速运动，到达点 O 停止运动，点 A 关于点 P 的对称点为点 Q，以线段 PQ 为边
向上作正方形 PQMN．设运动时间为 t 秒．
（1）当 t= 秒时，点 Q 的坐标是 （4，0） ；
（2）在运动过程中，设正方形 PQMN 与△AOB 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数表达式；
（3）若正方形 PQMN 对角线的交点为 T，请直接写出在运动过程中 OT+PT 的最小值．
【分析】（1）先确定出点 A 的坐标，进而求出 AP，利用对称性即可得出结论；
（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形
的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；
（3）先确定出点 T 的运动轨迹，进而找出 OT+PT 最小时的点 T 的位置，即可得出结论．
【解答】解：（1）令 y=0，
∴﹣ x+4=0，
∴x=6，
∴A（6，0），
当 t= 秒时，AP=3× =1，7
∴OP=OA﹣AP=5，
∴P（5，0），
由对称性得，Q（4，0）；
故答案为（4，0）；
（2）当点 Q 在原点 O 时，OQ=6，
∴AP= OQ=3，
∴t=3÷3=1，
①当 0＜t≤1 时，如图 1，令 x=0，
∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在 Rt△AOB 中，tan∠OAB= = ，
由运动知，AP=3t，
∴P（6﹣3t，0），
∴Q（6﹣6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四边形 PQMN 是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在 Rt△APD 中，tan∠OAB= = = ，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN= = = ，
∴CN= t，
∴S=S 正方形 PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣ t× t= t2；
②当 1＜t≤ 时，如图 2，同①的方法得，DN=t，CN= t，8
∴S=S 矩形 OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣ t× t=﹣ t2+18t；
③当 ＜t≤2 时，如图 3，S=S 梯形 OBDP= （2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；
（3）如图 4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），
∴M（6﹣6t，3t），
∵T 是正方形 PQMN 的对角线交点，
∴T（6﹣ t， t）
∴点 T 是直线 y=﹣ x+2 上的一段线段，（﹣3≤x＜6），
作出点 O 关于直线 y=﹣ x+2 的对称点 O'交此直线于 G，过点 O'作 O'F⊥x 轴，则 O'F 就是
OT+PT 的最小值，
由对称知，OO'=2OG，
易知，OH=2，
∵OA=6，AH= =2 ，
∴S△AOH= OH×OA= AH×OG，
∴OG= ，
∴OO'=
在 Rt△AOH 中，sin∠OHA= = = ，
∵∠HOG+∠AOG=90°，∠HOG+∠OHA=90°，
∴∠AOG=∠OHA，
在 Rt△OFO'中，O'F=OO'sin∠O'OF= × = ，
即：OT+PT 的最小值为 ．9
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正
方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出
点 T 的位置是解本题（3）的难点．
5. （2018•金华、丽水•8 分） 如图，在 Rt△ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为
半径作圆，分别与 BC,AB 相交于点 D,E，连结 AD.已知∠CAD=∠B.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线.
（2）若 BC=8，tanB= ,求⊙O 的半径.
【解析】【分析】（1）证明切线时，第一步一般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直
线垂直即可证得；此题即证∠ADO=90°；（2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件，
求出相关结论，由 BC=8，tanB= 不难得出 AC，AB 的长度；而 tan∠1=tanB= ，同样可求
出 CD，AD 的长度；设半径为 r，在 Rt△ADO 中，由勾股定理构造方程解出半径 r 即可。
6.（2018•广东•9 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径的⊙O 经过点 C，连
接 AC，OD 交于点 E．
1
2
E
O
A
BDC10
（1）证明：OD∥BC；
（2）若 tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；
（3）在（2）条件下，连接 BD 交于⊙O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长．
【分析】（1）连接 OC，证△OAD≌△OCD 得∠ADO=∠CDO，由 AD=CD 知 DE⊥AC，再由 AB 为直
径知 BC⊥AC，从而得 OD∥BC；
（2）根据 tan∠ABC=2 可设 BC=A.则 AC=2A.AD=AB= = ，证 OE 为中位线知 OE=
A.AE=CE= AC=a，进一步求得 DE= =2a，再△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠
OAD=90°即可得；
（3）先证△AFD∽△BAD 得 DF•BD=AD 2①，再证△AED∽△OAD 得 OD•DE=AD 2②，由①②得
DF•BD=OD•DE，即 = ，结合∠EDF=∠BDO 知△EDF∽△BDO，据此可得 = ，结合
（2）可得相关线段的长，代入计算可得．
【解答】解：（1）连接 OC，
在△OAD 和△OCD 中，
∵ ，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又 AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即 BC⊥AC，
∴OD∥BC；11
（2）∵tan∠ABC= =2，
∴设 BC=A.则 AC=2a，
∴AD=AB= = ，
∵OE∥BC，且 AO=BO，
∴OE= BC= a，AE=CE= AC=a，
在△AED 中，DE= =2a，
在△AOD 中，AO2+AD2=（ ）2+（ a）2= a2，OD2=（OF+DF）2=（ a+2a）2= a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则 DA 与⊙O 相切；
（3）连接 AF，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴ = ，即 DF•BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴ = ，即 OD•DE=AD2②，
由①②可得 DF•BD=OD•DE，即 = ，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD= 、OD= 、ED=2.BD= 、OB= ，
∴ = ，即 = ，
解得：EF= ．12
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的
判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
7.（2018•广西贵港•8 分）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且 AB=BC=CD，AB∥CD，连接 BD．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=10，cos∠BAC= ，求 BD 的长及⊙O 的半径．
【分析】（1）如图 1，作直径 BE，半径 OC，证明四边形 ABDC 是平行四边形，得∠A=∠D，
由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以 BD 是⊙O 的切线；
（2）如图 2，根据三角函数设 EC=3x，EB=5x，则 BC=4x 根据 AB=BC=10=4x，得 x 的值，求
得⊙O 的半径为 ，作高线 CG，根据等腰三角形三线合一得 BG=DG，根据三角函数可得结
论．
【解答】（1）证明：如图 1，作直径 BE，交⊙O 于 E，连接 EC.OC，
则∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
∴∠A=∠D，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D，
∵∠A=∠E，
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBD=90°，
即∠EBD=90°，
∴BD 是⊙O 的切线；13
（2）如图 2，∵cos∠BAC=cos∠E= ，
设 EC=3x，EB=5x，则 BC=4x，
∵AB=BC=10=4x，
x= ，
∴EB=5x= ，
∴⊙O 的半径为 ，
过 C 作 CG⊥BD 于 G，
∵BC=CD=10，
∴BG=DG，
Rt△CGD 中，cos∠D=cos∠BAC= ，
∴ ，
∴DG=6，
∴BD=12．
【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此
线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，在圆的有关计算中，常根据
三角函数的比设未知数，列方程解决问题．
8.（2018•贵州黔西南州•12 分）（1）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（2018﹣ ）014
【分析】（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
【解答】解：（1）|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（2018﹣ ）0
=2﹣2× +6﹣1=2﹣1+6﹣1=6；
【点评】本题考查绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关
键是明确它们各自的计算方法．
2.（2018•贵州铜仁•10 分）（1）计算： ﹣4cos60°﹣（π﹣3.14）0﹣（ ）﹣1
【分析】（1）先计算立方根、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再分别计算
乘法和加减运算可得；
【解答】解：（1）原式=2﹣4× ﹣1﹣2=2﹣2﹣1﹣2=﹣3；
3.（2018•贵州遵义•6 分）2﹣1+|1﹣ |+（ ﹣2）0﹣cos60°
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的
性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式= +2 ﹣1+1﹣
=2 ．
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