1
解直角三角形
一.选择题
1.（2018•江苏苏州•3 分）如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当
海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，
测得岛屿 P 在其北偏西 30°方向，保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处，此时海监船与岛屿 P
之间的距离（即 PC 的长）为（ ）
A．40 海里 B．60 海里 C．20 海里D．40 海里
【分析】首先证明 PB=BC，推出∠C=30°，可得 PC=2PA，求出 PA 即可解决问题；
【解答】解：在 Rt△PAB 中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，
由题意 BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，
∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20× =40 （海里），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明 PB=BC，推出∠C=30°．
2.（2018•江苏无锡•3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方形 EFGH
的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tan∠AFE 的值（ ）
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点 E 位置的变化而变化
【分析】根据题意推知 EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对
应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴ = = ．
设 EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，
∴tan∠AFE=tan∠FAG= = = ．2
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE 的正切值转化
为求∠FAG 的正切值来解答的．
3. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC.BD 相交于点 O，BD=8，tan
∠ABD= ，则线段 AB 的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【分析】根据菱形的性质得出 AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出 OB，解直角三角形求出 AO，根据
勾股定理求出 AB 即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD= = ，
∴AO=3，
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB= = =5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关
键．
4.（2018•贵州贵阳•3分）如图，A.B.C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tan
BAC的值为（ B ）
（A） 1 （B）1 （C）
2
3 （D） 3
33
【解】图解
2.
二.填空题
1.（2018•江苏无锡•2 分）已知△ABC 中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC 的面积等于 15
或 10 ．
【分析】作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，分 AB.AC 位于 AD 异侧和同侧两种情况，先
在 Rt△ABD 中求得 AD.BD 的值，再在 Rt△ACD 中利用勾股定理求得 CD 的长，继而就两种情况
分别求出 BC 的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，
①如图 1，当 AB.AC 位于 AD 异侧时，
在 Rt△ABD 中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在 Rt△ACD 中，∵AC=2 ，4
∴CD= = = ，
则 BC=BD+CD=6 ，
∴S△ABC= •BC•AD= ×6 ×5=15 ；
②如图 2，当 AB.AC 在 AD 的同侧时，
由①知，BD=5 ，CD= ，
则 BC=BD﹣CD=4 ，
∴S△ABC= •BC•AD= ×4 ×5=10 ．
综上，△ABC 的面积是 15 或 10 ，
故答案为 15 或 10 ．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想
的运算及勾股定理．
2.（2018•江苏苏州•3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC 绕点 A
按逆时针方向旋转 90°得到△AB'C′，连接 B'C，则 sin∠ACB′= ．
【分析】根据勾股定理求出 AC，过 C 作 CM⊥AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N，求出 B′M、CM，
根据勾股定理求出 B′C，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= =5，
过 C 作 CM⊥AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N，5
∵根据旋转得出 AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，
∴CM=AB=2 ，AM=BC= ，∴B′M=2 ﹣ = ，
在 Rt△B′MC 中，由勾股定理得：B′C= = =5，
∴S△AB′C= = ，∴5×AN=2 ×2 ，解得：AN=4，
∴sin∠ACB′= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此
题的关键．
3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，在一笔直的海岸线l 上有相距2km 的A，B 两个观测站，
B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60°的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏
东30°的方向上，则船 C 到海岸线l 的距离是 km．
【 解 答 】 解 ： 过 点 C 作 CD ⊥ AB 于 点 D ， 根 据 题 意 得 ： ∠
CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在Rt△CBD 中，CD=BC•sin60°=2× = （km故答案6
为： ．7
3. （2018•广西南宁•3 分）如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲
楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45°，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是
40 m（结果保留根号）
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，
则 AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在 Rt△ADC 中，
tan∠CDA=tan30°= = ，
解得：CD=40 （m），
故答案为：40 ．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 tan∠CDA=tan30°= 是解题关
键．
4. （2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）四边形 ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC=90 °，tan∠ABD=
，AB=20，BC=10，AD=13，则线段 CD= 17 ．8
【分析】作 AH⊥BD 于 H，CG⊥BD 于 G，根据正切的定义分别求出 AH、BH，根据勾股定理求
出 HD，得到 BD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：作 AH⊥BD 于 H，CG⊥BD 于 G，
∵tan∠ABD= ，
∴ = ，
设 AH=3x，则 BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则 AH=12，BH=16，
在 Rt△AHD 中，HD= =5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴ = ，又 BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD= =17，
故答案为：17．
【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理
解锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.（2018•贵州铜仁•4 分）在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，D.E 是边 AB 上两点，且 CE
所在直线垂直平分线段 AD，CD 平分∠BCE，BC=2 ，则 AB= 4 ．9
【分析】由 CE 所在直线垂直平分线段 AD 可得出 CE 平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，
由 CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE.∠
A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出 AB 的长度．
【解答】解：∵CE 所在直线垂直平分线段 AD，
∴CE 平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
∵CD 平分∠BCE，
∴∠DCE=∠DCB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE= ∠ACB=30°，
∴∠A=60°，
∴AB= = =4．
故答案为：4．
三.解答题
1. （2018·湖北随州·8 分）随州市新㵐水一桥（如图 1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，
采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为 258 米，宽 32 米，为双向六车道，2018 年 4 月 3 日通
车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图 2
所示，索塔 AB 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC）均在同一水平
面内，BC 在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6 米，AB=5BD．
（1）求最短的斜拉索 DE 的长；
（2）求最长的斜拉索 AC 的长．10
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算 DE 的长；
（2）作 AH⊥BC 于 H，如图 2，由于 BD=DE=3 ，则 AB=3BD=15 ，在 Rt△ABH 中，根据等
腰直角三角形的性质可计算出 BH=AH=15，然后在 Rt△ACH 中利用含 30 度的直角三角形三边
的关系即可得到 AC 的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，
∴△BDE 为等腰直角三角形，
∴DE= BE= ×6=3 ．
答：最短的斜拉索 DE 的长为 3 m；
（2）作 AH⊥BC 于 H，如图 2，
∵BD=DE=3 ，
∴AB=3BD=5×3 =15 ，
在 Rt△ABH 中，∵∠B=45°，
∴BH=AH= AB= ×15 =15，
在 Rt△ACH 中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=30．
答：最长的斜拉索 AC 的长为 30m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构
造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
2.（2018·湖南郴州·8 分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高
度 AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头 B，C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，
且 D，B，C 在同一水平线上．已知桥 BC=30 米，求无人机飞行的高度 AD．（精确到 0.01
米．参考数据： ≈1.414， ≈1.732）11
【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出 CD=
AD.BD= AD，再结合 BC=30 即可求出 AD 的长度．
【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD•tan∠CAD= AD，BD=AD•tan∠BAD= AD，
∴BC=CD﹣BD= AD=30，
∴AD=15 ≈25.98．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出 CD=
AD.BD= AD 是解题的关键．
3.（2018•江苏宿迁•10 分）如图，为了测量山坡上一棵树 PQ 的高度，小明在点 A 处利用测
角仪测得树顶 P 的仰角为 450 ，然后他沿着正对树 PQ 的方向前进 10m 到达 B 点处，此时测
得树顶 P 和树底 Q 的仰角分别是 600 和 300，设 PQ 垂直于 AB，且垂足为 C.
（1）求∠BPQ 的度数；
（2）求树 PQ 的高度（结果精确到 0.1m， ）
【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）树 PQ 的高度约为 15.8m.
【分析】 (1）根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在 Rt△PBC
中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ 度数；
（2）设 CQ=x，在 Rt△QBC 中，根据 30 度所对的直角边等于斜边的一半得 BQ=2x，由勾股定
理得 BC= x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得 PQ=BQ=2x，用含 x 的代
数式表示 PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，又∠A=45°，得出 AC=PC，建立方程解之求出
x，再将 x 值代入 PQ 代数式求之即可.12
【详解】（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，
在 Rt△PBC 中，
∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，∴∠BPQ=30°；
（2）设 CQ=x，
在 Rt△QBC 中，
∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，∴BQ=2x，BC= x，
又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°，
由（1）知∠BPQ=30°，∴PQ=BQ=2x，∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，
又∵∠A=45°，∴AC=PC，即 3x=10+ x，解得：x= ，
∴PQ=2x= ≈15.8（m），
答：树 PQ 的高度约为 15.8m.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、
含 30 度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.
4.（2018•江苏淮安•8 分）为了计算湖中小岛上凉亭 P 到岸边公路 l 的距离，某数学兴趣小
组在公路 l 上的点 A 处，测得凉亭 P 在北偏东 60°的方向上；从 A 处向正东方向行走 200
米，到达公路 l 上的点 B 处，再次测得凉亭 P 在北偏东 45°的方向上，如图所示．求凉亭 P
到公路 l 的距离．（结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【分析】作 PD⊥AB 于 D，构造出 Rt△APD 与 Rt△BPD，根据 AB 的长度．利用特殊角的三角
函数值求解．
【解答】解：作 PD⊥AB 于 D．
设 BD=x，则 AD=x+200．
∵∠EAP=60°，
∴∠PAB=90°﹣60°=30°．13
在 Rt△BPD 中，
∵∠FBP=45°，
∴∠PBD=∠BPD=45°，
∴PD=DB=x．
在 Rt△APD 中，
∵∠PAB=30°，
∴CD=tan30°•AD，
即 DB=CD=tan30°•AD=x= （200+x），
解得：x≈273.2，
∴CD=273.2．
答：凉亭 P 到公路 l 的距离为 273.2m．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三
角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
5.（2018•江苏徐州•5 分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高
和坝底宽（精确到 0.1m）参考数据： ≈1.414， ≈1.732
【分析】利用锐角三角函数，在 Rt△CDE 中计算出坝高 DE 及 CE 的长，通过矩形 ADEF．利
用等腰直角三角形的边角关系，求出 BF 的长，得到坝底的宽．
【解答】解：在 Rt△CDE 中，
∵sin∠C= ，cos∠C=
，
∴DE=sin30°×DC= ×14=7（m），
CE=cos30°×DC= ×14=7 ≈12.124≈12.12，
∵四边形 AFED 是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m
在 Rt△ABF 中，∵∠B=45°，∴DE=AF=7m，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
答：该坝的坝高和坝底宽分别为 7m 和 25.1m．14
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．题目难度不大，求 BF 的长即可利用直角等腰三
角形的性质，也可利用锐角三角函数．
6.（2018•江苏无锡•8 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=
，求 AD 的长．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作 AE⊥BC 于
E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．解 Rt△AEB，得出 BE=AB•cos∠ABE= ，AE=
= ，那么 AF=AE﹣EF= ．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函
数相等得出 sin∠ADF=cos∠ABC= ．解 Rt△ADF，即可求出 AD= =6．
【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．
在 Rt△AEB 中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC= ，
∴BE=AB•cos∠ABE= ，∴AE= = ，∴AF=AE﹣EF= ﹣10= ．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos∠ABC= ，∴sin∠ADF=cos∠ABC= ．
在 Rt△ADF 中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF= ，∴AD= = =6．15
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，
求出 AF= 以及 sin∠ADF= 是解题的关键．
7.（2018•江苏宿迁•10 分）如图，AB.AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作
⊙O 的切线与 OD 的延长线交于点 P，PC.AB 的延长线交于点 F.
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若∠ABC=60°,AB=10,求线段 CF 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5 .
【分析】试题分析：（1）、连接 OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相
等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即 OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线
的性质定理可知 OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得 OF 的值，再减去圆的半径即
可．
试题解析：（1）、连接 OC，
∵OD⊥AC，OD 经过圆心 O，∴AD=CD，∴PA=PC，
在△OAP 和△OCP 中， ，
∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即 OC⊥PC
∴PC 是⊙O 的切线．
（2）、∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，16
∵PC 是⊙O 的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB= AB=5，∴OF= =10，
∴BF=OF﹣OB=5．
【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形
9.（2018•山东烟台市•8 分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故
的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其
间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在 l 上确
定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速．在 l 外取一点 P，作 PC⊥l，垂足为点 C．测得 PC=30
米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒，请你用所学的
数 学 知 识 说 明 该 车 是 否 超 速 ．（参 考 数 据 ： sin35°≈0.57 ， cos35°≈0.82 ，
tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
【分析】先求得 AC=PCtan∠APC=87.BC=PCtan∠BPC=21，据此得出 AB=AC﹣BC=87﹣21=66，
从而求得该车通过 AB 段的车速，比较大小即可得．
【解答】解：在 Rt△APC 中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，
在 Rt△BPC 中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，
则 AB=AC﹣BC=87﹣21=66，
∴该汽车的实际速度为 =11m/s，
又∵40km/h≈11.1m/s，
∴该车没有超速．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三
角函数的定义是解本题的关键．
10.（2018•山东济宁市•8 分）随着我市农产品整体品牌形象“聊•胜一筹!”的推出，现代17
农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图 1．线段 AB，
BD 分别表示大棚的墙高和跨度，AC 表示保温板的长．已知墙高 AB 为 2 米，墙面与保温板所
成的角∠BAC=150°，在点 D 处测得 A 点、C 点的仰角分别为 9°，15.6°，如图 2．求保温
板 AC 的长是多少米？（精确到 0.1 米）
（ 参 考 数 据 ： ≈0.86 ， sin9°≈0.16 ， cos9°≈0.99 ， tan9°≈0.16 ，
sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28）
【分析】作 CE⊥BD.AF⊥CE，设 AF=x，可得 AC=2x、CF= x，在Rt△ABD 中由 AB=EF=2 知 BD=
，DE=BD﹣BE= ﹣x，CE=EF+CF=2+ x，根据 tan∠CDE= 列出关于 x 的方
程，解之可得．
【解答】解：如图所示，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A 作 AF⊥CE 于点 F，
则四边形 ABEF 是矩形，
∴AB=EF、AF=BE，
设 AF=x，
∵∠BAC=150°、∠BAF=90°，
∴∠CAF=60°，
则 AC= =2x、CF=AFtan∠CAF= x，
在 Rt△ABD 中，∵AB=EF=2，∠ADB=9°，
∴BD= = ，
则 DE=BD﹣BE= ﹣x，CE=EF+CF=2+ x，18
在 Rt△CDE 中，∵tan∠CDE= ，
∴tan15.6°= ，
解得：x≈0.7，
即保温板 AC 的长是 0.7 米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，构建
直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
11.（2018•山东东营市•8 分）关于 x 的方程 2x2﹣5xsinA+2=0 有两个相等的实数根，其中∠
A 是锐角三角形 ABC 的一个内角．
（1）求 sinA 的值；
（2）若关于 y 的方程 y2﹣10y+k2﹣4k+29=0 的两个根恰好是△ABC 的两边长，求△ABC 的周
长．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得 sinA= ；
（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以 k=2，把 k=2
代入方程后解方程得到 y1=y2=5，则△ABC 是等腰三角形，且腰长为 5．
分两种情况：当∠A 是顶角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，利用三角形函数求出 AD=3，
BD=4，再利用勾股定理求出 BC 即得到△ABC 的周长；
当∠A 是底角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=5，利用三角函数求出
AD 得到 AC 的长，从而得到△ABC 的周长．
【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，
∴sin2A= ，
∴sinA= 或 ，
∵∠A 为锐角，
∴sinA= ；
（2）由题意知，方程 y2﹣10y+k2﹣4k+29=0 有两个实数根，
则△≥0，
∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，
∴﹣（k﹣2）2≥0，19
∴（k﹣2）2≤0，
又∵（k﹣2）2≥0，
∴k=2，
把 k=2 代入方程，得 y2﹣10y+25=0，
解得 y1=y2=5，
∴△ABC 是等腰三角形，且腰长为 5．
分两种情况：
当∠A 是顶角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=AC=5
∵sinA= ，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC= ．
∴△ABC 的周长为 ；
当∠A 是底角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=5，
∵sinA= ，
∴A D=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC 的周长为 16，
综合以上讨论可知：△ABC 的周长为 或 16．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有
如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0 时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．
12.（2018•上海•10 分）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC= ．
（1）求边 AC 的长；20
（2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值．
【分析】（1）过 A 作 AE⊥BC，在直角三角形 ABE 中，利用锐角三角函数定义求出 AC 的长即
可；
（2）由 DF 垂直平分 BC，求出 BF 的长，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，利用勾股定
理求出 BD 的长，进而求出 AD 的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作 A 作 AE⊥BC，
在 Rt△ABE 中，tan∠ABC= = ，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在 Rt△AEC 中，根据勾股定理得：AC= = ；
（2）∵DF 垂直平分 BC，
∴BD=CD，BF=CF= ，
∵tan∠DBF= = ，
∴DF= ，
在 Rt△BFD 中，根据勾股定理得：BD= = ，
∴AD=5﹣ = ，
则 = ．
【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练
掌握勾股定理是解本题的关键．21
13. （2018•达州•6 分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内
雕塑的高度．用测角仪在 A 处测得雕塑顶端点 C′的仰角为 30°，再往雕塑方向前进 4 米至 B
处，测得仰角为 45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
【分析】过点 C 作 CD⊥AB，设 CD=x，由∠CBD=45°知 BD=CD=x 米，根据 tanA= 列出关于
x 的方程，解之可得．
【解答】解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 延长线于点 D，
设 CD=x 米，
∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=x 米，
∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，
∴tanA= ，即 = ，
解得：x=2+2 ，
答：该雕塑的高度为（2+2 ）米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直
角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
14. （2018•遂宁•10 分）如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B
的仰角 45°，然后沿着坡度为=1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山
顶 B 的仰角为 60°，求山高 BC（结果保留根号）．22
【分析】作 DF⊥AC 于 F．解直角三角形分别求出 BE.EC 即可解决问题；
【解答】解：作 DF⊥AC 于 F．
∵DF：AF=1： ，AD=200 米，
∴tan∠DAF= ，
∴∠DAF=30°，
∴DF= AD= ×200=100，
∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，
∴四边形 DECF 是矩形，
∴EC=BF=100（米），
∵∠BAC=45°，BC⊥AC，
∴∠ABC=45°，
∵∠BDE=60°，DE⊥BC，
∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=BD=200 米，
在 Rt△BDE 中，sin∠BDE= ，
∴BE=BD•sin∠BDE=200× =100 ，23
∴BC=BE+EC=100+100 （米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15. （2018•资阳•9 分）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A 处时的风
筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 30°角，线段 AA1 表示小红身高
1.5 米．
（1）当风筝的水平距离 AC=18 米时，求此时风筝线 AD 的长度；
（2）当她从点 A 跑动 9 米到达点 B 处时，风筝线与水平线构成 45°角，此时风筝到达点
E 处，风筝的水平移动距离 CF=10 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的
高度 C1D．
【分析】（1）在 Rt△ACD 中，由 AD= 可得答案；
（2）设 AF=x 米，则 BF=AB+AF=9 +x，在 Rt△BEF 中求得 AD=BE= =18+ x，
由 cos∠CAD= 可建立关于 x 的方程，解之求得 x 的值，即可得出 AD 的长，继而根据
CD=ADsin∠CAD 求得 CD 从而得出答案．
【解答】解：（1）∵在 Rt△ACD 中，cos∠CAD= ，AC=18.∠CAD=30°，
∴AD= = = =12 （米），
答：此时风筝线 AD 的长度为 12 米；
（2）设 AF=x 米，则 BF=AB+AF=9 +x（米），
在 Rt△BEF 中，BE= = =18+ x（米），
由题意知 AD=BE=18+ x（米），
∵CF=10 ，24
∴AC=AF+CF=10 +x，
由 cos∠CAD= 可得 = ，
解得：x=3 +2 ，
则 AD=18+ （3 +2 ）=24+3 ，
∴CD=ADsin∠CAD=（24+3 ）× = ，
则 C1D=CD+C1C= + = ，
答：风筝原来的高度 C1D 为 米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意
找到两直角三角形间的关联．
16. （2018•乌鲁木齐•10 分）如图，小强想测量楼 CD 的高度，楼在围墙内，小强只能在围
墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在 A 处仰望楼顶，测得仰角为 37°，
再往楼的方向前进 30 米至 B 处，测得楼顶的仰角为 53°（A，B，C 三点在一条直线上），求
楼 CD 的高度（结果精确到 0.1 米，小强的身高忽略不计）．
【分析】设 CD=xm，根据 AC=BC﹣AB，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设 CD=xm，
在 Rt△ACD 中，tan∠A= ，
∴AC= ，
同法可得：BC= ，
∵AC=BC=AB，
∴ ﹣ =30，
解得 x=52.3，
答：楼 CD 的高度为 52.3 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意能借助仰角构造直角三角形并25
解直角三角形是解此题的关键．
17.（2018•嘉兴•10 分）如图 1,滑动调节式遮阳伞的立柱 垂直于地面 , 为立柱上的滑
动调节点，伞体的截面示意图为 , 为 中点, , . , .
当点 位于初始位置 时,点 与 重合（图 2）.根据生活经验,当太阳光线与 垂直时,遮阳
效果最佳.
（1）上午 10:00 时,太阳光线与地面的夹角为 （图 3）,为使遮阳效果最佳,点 需从 上
调多少距离? （结果精确到 ）
（2）中午 12:00 时，太阳光线与地面垂直（图 4）,为使遮阳效果最佳,点 在（1）的基础
上还需上调多少距离? （结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ）
【答案】（1）点需 从 上调 ；（2）点 在（1）的基础上还需上调
【解析】【分析】（1）如图 2，当点 位于初始位置 时， .10:00 时，太阳光线与地
面的夹角为 ，点 上调至 处， .
, 为等腰直角三角形， ，即可求
出点 需从 上调的距离.
（2）中午 12:00 时，太阳光线与 ，地面都垂直，点 上调至 处，过点 作 于点
， ， ，根据 即可求解.
【解答】（1）如图 2，当点 位于初始位置 时， .
如图 3，10:00 时，太阳光线与地面的夹角为 ，点 上调至 处，
， ，∴ ，
∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
即点 需从 上调 .26
（2）如图 4，中午 12:00 时，太阳光线与 ，地面都垂直，点 上调至 处，
∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，得 为等腰三角形，
∴ .
过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点 在（1）的基础上还需上调 .
【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数
形结合.
18. （2018•贵州安顺•10 分） 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 是
米，坡面 的倾斜角 ，在距点 米处有一建筑物 .为了方便行人推车过天桥，
市政府部门决定降低坡度，使新坡面 的倾斜角 ，若新坡面下处与建筑物之间
需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.
（参考数据： ， ）27
【答案】该建筑物需要拆除.
【解析】分析：根据正切的定义分别求出 AB.DB 的长，结合图形求出 DH，比较即可．
详解：由题意得， 米， 米，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （米），
∵ 米 米，
∴该建筑物需要拆除.
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记
特殊角的三角函数值是解题的关键．
19. （2018•广西桂林•8 分）如图所示，在某海域，一般指挥船在 C 处收到渔船在 B 处发出
的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 B 处位于 C 处的南偏西 45°方向上，且 BC=60
海里；指挥船搜索发现，在 C 处的南偏西 60°方向上有一艘海监船 A，恰好位于 B 处的正西
方向.于是命令海监船 A 前往搜救，已知海监船 A 的航行速度为 30 海里/小时，问渔船在 B
处需要等待多长时间才能得到海监船 A 的救援？（参考数据： ， ，
结果精确到 0.1 小时）
【答案】1.0 小时.
【解析】分析：延长 AB 交南北轴于点 D，则 AB⊥CD 于点 D，通过解直角三角形 BDC 和 ADC，
求出 BD.CD 和 AD 的长，继而求出 AB 的长，从而可以解决问题.28
详解：如图，因为 A 在 B 的正西方，延长 AB 交南北轴于点 D，则 AB⊥CD 于点 D．
∵∠BCD=45°，BD⊥CD，
∴BD=CD．
在 Rt△BDC 中，∵cos∠BCD= ，BC=60 海里，
即 cos45°= ，解得 CD= 海里，
∴BD=CD= 海里．
在 Rt△ADC 中，∵tan∠ACD=
即 tan60°= = ，解得 AD= 海里，
∵AB=AD－BD，
∴AB= － =30（ ）海里．
∵海监船 A 的航行速度为 30 海里/小时，
则渔船在 B 处需要等待的时间为 = = ≈2.45－1.41=1.04≈1.0 小时，
∴渔船在 B 处需要等待约 1.0 小时．
点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，
然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．
20. （2018·黑龙江大庆·6 分）如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P
的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方
向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离．（参考数据： ≈2.449，结果保留整
数）29
【分析】过点 P 作 PC⊥AB，则在 Rt△APC 中易得 PC 的长，再在直角△BPC 中求出 PB．
【解答】解：作 PC⊥AB 于 C 点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° AP=80（海里）．
在 Rt△APC 中，cos∠APC= ，
∴PC=PA•cos∠APC=40 （海里）．
在 Rt△PCB 中，cos∠BPC= ，
∴PB= = =40 ≈98（海里）．
答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是 98 海里．
21．（2018·湖北省恩施·8 分）如图所示，为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离，小
明在 A 处测得 C 在北偏东 30°方向上，然后向正东方向前进 100 米至 B 处，测得此时 C 在
北偏西 15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到 1 米，参考数据 ≈1.41，
≈1.73）30
【分析】先根据题目给出的方向角．求出三角形各个内角的度数，过点 B 作 BE⊥AC 构造直
角三角形．利用三角函数求出 AE.BE，再求和即可．
【解答】解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°，
∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，
∴∠C=45°
过点 B 作 BE⊥AC，垂足为 E．
在 Rt△AEB 中，
∵∠BAC=60°，AB=100 米
∴AE=cos∠BAC×AB
= ×100=50（米）
BE=sin∠BAC×AB
= ×100=50 （米）
在 Rt△CEB 中，
∵∠C=45°，BE=50 （米）
∴CE=BE=50 =86.5（米）
∴AC=AE+CE
=50+86.5
=136.5（米）
≈137 米
答：旗台与图书馆之间的距离约为 137 米．31
【点评】本题考查了方向角和解直角三角形．题目难度不大，过点 B 作 AC 的垂线构造直角
三角形是解决本题的关键．
22.（2018•贵州铜仁•10 分）如图，有一铁塔 AB，为了测量其高度，在水平面选取 C，D 两
点，在点 C 处测得 A 的仰角为 45°，距点 C 的 10 米 D 处测得 A 的仰角为 60°，且 C.D.B 在
同一水平直线上，求铁塔 AB 的高度（结果精确到 0.1 米， ≈1.732）
【分析】根据 AB 和∠ADB.AB 和∠ACB 可以求得 DB.CB 的长度，根据 CD=CB﹣DB 可以求出 AB
的长度，即可解题．
【解答】解：在 Rt△ADB 中，DB= = AB，
Rt△ACB 中，CB= =AB，
∵CD=CB﹣DB，
∴AB= ≈23.7（米）
答：电视塔 AB 的高度约 23.7 米．
23.（2018•海南•8 分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A
处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰角∠HDE 为 45°，此时教学楼顶端 G 恰好在视线
DH 上，再向前走 7 米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角∠GEF 为 60°，点 A.B.C 三点
在同一水平线上．
（1）计算古树 BH 的高；
（2）计算教学楼 CG 的高．（参考数据： ≈14， ≈1.7）
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）作 HJ⊥CG 于 G．则△HJG 是等腰三角形，四边形 BCJH 是矩形，设 HJ=GJ=BC=x．构建
方程即可解决问题；32
【解答】解：（1）由题意：四边形 ABED 是矩形，可得 DE=AB=7 米．
在 Rt△DEH 中，∵∠EDH=45°，
∴HE=DE=7 米．
（2）作 HJ⊥CG 于 G．则△HJG 是等腰三角形，四边形 BCJH 是矩形，设 HJ=GJ=BC=x．
在 Rt△BCG 中，tan60°= ，
∴ = ，
∴x= + ．
∴CG=CF+FG= ×1.7+3.5+1.5=11.3 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.（2018•贵州遵义•8 分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直，
吊臂 AB 与水平线的夹角为 64°，吊臂底部 A 距地面 1.5m．（计算结果精确到 0.1m，参考数
据 sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
（1）当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时，吊臂 AB 的长为 11.4 m．
（2）如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？
（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）过点 D 作 DH⊥地面于 H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，33
∵∠BAC=64°，AC=5m，
∴AB= （m）；
故答案为：11.4；
（2）过点 D 作 DH⊥地面于 H，交水平线于点 E，
在 Rt△ADE 中，
∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，
∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即 DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是 19.5m．
25．（2018 年湖南省娄底市）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼 BC 高达 452m，是目前湖
南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼 DE 高 340m，为了测量高楼 BC 上发射塔 AB
的高度，在楼 DE 底端 D 点测得 A 的仰角为 α，sinα= ，在顶端 E 点测得 A 的仰角为
45°，求发射塔 AB 的高度．
【分析】作 EH⊥AC 于 H，设 AC=24x，根据正弦的定义求出 AD，根据勾股定理求出 CD，根据
题意列出方程求出 x，结合图形计算即可．
【解答】解：作 EH⊥AC 于 H，
则四边形 EDCH 为矩形，
∴EH=CD，
设 AC=24x，34
在 Rt△ADC 中，sinα= ，
∴AD=25x，
由勾股定理得，CD= =7x，
∴EH=7x，
在 Rt△AEH 中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=7x，
由题意得，24x=7x+340，
解得，x=20，
则 AC=24x=480，
∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，
答：发射塔 AB 的高度为 28m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰
角俯角的概念是解题的关键．
26．(2018 湖南省邵阳市)（8 分）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯
改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯 AB 长为 10m，坡角∠ABD 为
30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB 为 15°，请你 计算改造后的斜坡式自动扶梯
AC 的长度，（结果精确到 0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈
0.27）
【分析】先在 Rt△ABD 中，用三角函数求出 AD，最后在 Rt△ACD 中用三角函数即可得出结
论．
【解答】解：在 Rt△ABD 中，∠ABD=30°，AB=10m，35
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=15°，sin∠ACD= ，
∴AC= = ≈ ≈19.2m，
即：改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度约为 19.2 米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出 AD 是解本题的
关键．
27．（2018 湖南长沙 8.00 分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A.B 两地间
的公路进行改建．如图，A.B 两地之间有一座山．汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线
ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶．已知 BC=80 千米，∠A=45°，
∠B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米）（参
考数据： ≈141， ≈1.73）
【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角△ACD 中，解直角三角形求出 CD，
进而解答即可；
（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出汽车从 A 地到 B 地比原
来少走多少路程．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 过 点 C 作 AB 的 垂 线 CD ， 垂 足 为 D ，
∵AB⊥CD，sin30°= ，BC=80 千米，
∴CD=BC•sin30°=80× （千米），36
AC= （千米），
AC+BC=80+40 ≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米；
（2）∵cos30°= ，BC=80（千米），
∴BD=BC•cos30°=80× （千米），
∵tan45°= ，CD=40（千米），
∴AD= （千米），
∴AB=AD+BD=40+40 ≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以
转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
28.（2018 湖南张家界 8.00 分）2017 年 9 月 8 日﹣10 日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我
市天门山风景区隆重举行，来自全球 11 个国家的 16 名选手参加了激烈的角逐．如图，某选
手从离水平地面 1000 米高的 A 点出发（AB=1000 米），沿俯角为 30°的方向直线飞行 1400
米到达 D 点，然后打开降落伞沿俯角为 60°的方向降落到地面上的 C 点，求该选手飞行的
水平距离 BC．
【分析】如图，作 DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利
用含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 AE= AD=700，DE= AE=700 ，则 BE=300，所
以 DF=300，BF=700 ，再在 Rt△CDF 中计算出 CF，然后计算 BF 和 CF 的和即可．
【解答】解：如图，作 DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，
在 Rt△ADE 中，AE= AD= ×1400=700，37
DE= AE=700 ，
∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，
∴DF=300，BF=700 ，
在 Rt△CDF 中，CF= DF= ×300=100 ，
∴BC=700 +100 =800 ．
答：选手飞行的水平距离 BC 为 800 m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关
系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂
线构造直角三角形．
29. （2018 湖南湘西州 8.00 分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 l 经过 A.B 两个景
点，景区管委会又开发了风景优美的景点 C．经测量，C 位于 A 的北偏东 60°的方向上，C
位于 B 的北偏东 30°的方向上，且 AB=10km．
（1）求景点 B 与 C 的距离；
（2）为了方便游客到景点 C 游玩，景区管委会准备由景点 C 向公路 l 修一条距离最短的公
路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和定理求
出 ∠ C=180°﹣ ∠ CAB﹣ ∠ ABC=30° ， 则 ∠ CAB= ∠ C=30° ， 根 据 等 角 对 等 边 求 出
BC=AB=10km．；
（2）首先过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，然后在 Rt△CBE 中，求得答案．
【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠C=30°，
∴BC=AB=10km，
即景点 B.C 相距的路程为 10km．
（2）过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，38
∵BC=10km，C 位于 B 的北偏东 30°的方向上，
∴∠CBE=60°，
在 Rt△CBE 中，CE= km．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，比较简单．涉及到三角形内角和定理，
等腰三角形的判定等知识．根据条件得出∠CAB=∠C 是解题的关键．
30.（2018•上海•10 分）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC= ．
（1）求边 AC 的长；
（2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值．
【分析】（1）过 A 作 AE⊥BC，在直角三角形 ABE 中，利用锐角三角函数定义求出 AC 的长即
可；
（2）由 DF 垂直平分 BC，求出 BF 的长，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，利用勾股定
理求出 BD 的长，进而求出 AD 的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作 A 作 AE⊥BC，
在 Rt△ABE 中，tan∠ABC= = ，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在 Rt△AEC 中，根据勾股定理得：AC= = ；
（2）∵DF 垂直平分 BC，
∴BD=CD，BF=CF= ，
∵tan∠DBF= = ，
∴DF= ，
在 Rt△BFD 中，根据勾股定理得：BD= = ，39
∴AD=5﹣ = ，
则 = ．
【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练
掌握勾股定理是解本题的关键．
31. （2018•达州•6 分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内
雕塑的高度．用测角仪在 A 处测得雕塑顶端点 C′的仰角为 30°，再往雕塑方向前进 4 米至
B 处，测得仰角为 45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
【分析】过点 C 作 CD⊥AB，设 CD=x，由∠CBD=45°知 BD=CD=x 米，根据 tanA= 列出关于
x 的方程，解之可得．
【解答】解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 延长线于点 D，
设 CD=x 米，
∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=x 米，
∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，40
∴tanA= ，即 = ，
解得：x=2+2 ，
答：该雕塑的高度为（2+2 ）米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直
角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
32. （2018•遂宁•10 分）如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B
的仰角 45°，然后沿着坡度为=1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山
顶 B 的仰角为 60°，求山高 BC（结果保留根号）．
【分析】作 DF⊥AC 于 F．解直角三角形分别求出 BE.EC 即可解决问题；
【解答】解：作 DF⊥AC 于 F．
∵DF：AF=1： ，AD=200 米，
∴tan∠DAF= ，
∴∠DAF=30°，
∴DF= AD= ×200=100，
∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，
∴四边形 DECF 是矩形，
∴EC=BF=100（米），
∵∠BAC=45°，BC⊥AC，41
∴∠ABC=45°，
∵∠BDE=60°，DE⊥BC，
∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=BD=200 米，
在 Rt△BDE 中，sin∠BDE= ，
∴BE=BD•sin∠BDE=200× =100 ，
∴BC=BE+EC=100+100 （米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
33. （2018•资阳•9 分）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A 处时的风
筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 30°角，线段 AA1 表示小红身高
1.5 米．
（1）当风筝的水平距离 AC=18 米时，求此时风筝线 AD 的长度；
（2）当她从点 A 跑动 9 米到达点 B 处时，风筝线与水平线构成 45°角，此时风筝到达点
E 处，风筝的水平移动距离 CF=10 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的
高度 C1D．
【分析】（1）在 Rt△ACD 中，由 AD= 可得答案；
（2）设 AF=x 米，则 BF=AB+AF=9 +x，在 Rt△BEF 中求得 AD=BE= =18+ x，
由 cos∠CAD= 可建立关于 x 的方程，解之求得 x 的值，即可得出 AD 的长，继而根据
CD=ADsin∠CAD 求得 CD 从而得出答案．
【解答】解：（1）∵在 Rt△ACD 中，cos∠CAD= ，AC=18.∠CAD=30°，42
∴AD= = = =12 （米），
答：此时风筝线 AD 的长度为 12 米；
（2）设 AF=x 米，则 BF=AB+AF=9 +x（米），
在 Rt△BEF 中，BE= = =18+ x（米），
由题意知 AD=BE=18+ x（米），
∵CF=10 ，
∴AC=AF+CF=10 +x，
由 cos∠CAD= 可得 = ，
解得：x=3 +2 ，
则 AD=18+ （3 +2 ）=24+3 ，
∴CD=ADsin∠CAD=（24+3 ）× = ，
则 C1D=CD+C1C= + = ，
答：风筝原来的高度 C1D 为 米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意
找到两直角三角形间的关联．
34. （2018•乌鲁木齐•10 分）如图，小强想测量楼 CD 的高度，楼在围墙内，小强只能在围
墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在 A 处仰望楼顶，测得仰角为 37°，
再往楼的方向前进 30 米至 B 处，测得楼顶的仰角为 53°（A，B，C 三点在一条直线上），求
楼 CD 的高度（结果精确到 0.1 米，小强的身高忽略不计）．
【分析】设 CD=xm，根据 AC=BC﹣AB，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设 CD=xm，43
在 Rt△ACD 中，tan∠A= ，
∴AC= ，
同法可得：BC= ，
∵AC=BC=AB，
∴ ﹣ =30，
解得 x=52.3，
答：楼 CD 的高度为 52.3 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意能借助仰角构造直角三角形并
解直角三角形是解此题的关键．
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