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反比例函数
一.选择题
1. （2018·湖南郴州·3 分）如图，A，B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的
横坐标分别是 2 和 4，则△OAB 的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及 A，B 两点的横坐标，求出 A（2，2），B（4，1）．再过 A，
B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，根据反比例函数系数 k 的几何意义得出 S△AOC=S△BOD= ×4=2．根
据 S 四边形 AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC，得出 S△AOB=S 梯形 ABDC，利用梯形面积公式求出 S 梯形 ABDC= （BD+AC）
•CD= （ 1+2）×2=3，从而得出 S△AOB=3．
【解答】解：∵A，B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标分别是 2 和 4，
∴当 x=2 时，y=2，即 A（2，2），
当 x=4 时，y=1，即 B（4，1） ．
如图，过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，则 S△AOC=S△BOD= ×4=2．
∵S 四边形 AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC，
∴S△AOB=S 梯形 ABDC，
∵S 梯形 ABDC= （BD+AC）•CD= （1+2）×2=3，
∴S△AOB=3．
故选：B．
【点评】 本题考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标2
轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= |k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的
面积．
2. （2018·湖南怀化·4 分）函数 y=kx﹣3 与 y= （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据当 k＞0、当 k＜0 时，y=kx﹣3 和 y= （k≠0）经过的象限，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：∵当 k＞0 时，y=kx﹣3 过一、三、四象限，反比例函数 y= 过一、三象限，
当 k＜0 时，y=kx﹣3 过二、三、四象限，反比例函数 y= 过二、四象限，
∴B 正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由 k 的取值确定函数所在的
象限．
3.（2018•江苏徐州•2 分）如果点（3，﹣4）在反比例函数 y= 的图象上，那么下列各点中，在此图象上的
是（ ）
A．（3，4） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣3，﹣4）
【分析】将（3，﹣4）代入 y= 即可求出 k 的值，再根据 k=xy 解答即可．
【解答】解：因为点（3，﹣4）在反比例函数 y= 的图象上，k=3×（﹣4）=﹣12；
符合此条件的只有 C：k=﹣2×6=﹣12．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析
式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
4.（2018•江苏无锡•3 分）已知点 P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数 y= 的图象上，且 a＜0＜b，则下
列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．3
【解答】解：y= 的 k=﹣2＜0，图象位于二四象限，
∵a＜0，∴P（a，m）在第二象限，∴m＞0；
∵b＞0，∴Q（b，n）在第四象限，∴n＜0．∴n＜0＜m，即 m＞n，故 D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜0 时，图象位于二四象限是解题关键．
5.（2018•江苏淮安•3 分）若点 A（﹣2，3）在反比例函数 y= 的图象上，则 k 的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
【分析】根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：将 A（﹣2，3）代入反比例函数 y= ，得 k=﹣2×3=﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关
键．
6.（2018•江苏苏州•3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= 在第一象限内
的图象经过点 D，交 BC 于点 E．若 AB=4，CE=2BE，tan∠AOD= ，则 k 的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
【分析】由 tan∠AOD= = 可设 AD=3A.OA=4a，在表示出点 D.E 的坐标，由反比例函数经过点 D.E 列出关
于 a 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案．
【解答】解：∵tan∠AOD= = ，
∴设 AD=3A.OA=4a，
则 BC=AD=3a，点 D 坐标为（4a，3a），
∵CE=2BE，∴BE= BC=a，
∵AB=4，∴点 E（4+4a，a），4
∵反比例函数 y= 经过点 D.E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a= 或 a=0（舍），则 k=12× =3，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D.E 的坐标及反比
例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k．
8.（2018•内蒙古包头市•3 分）以矩形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为 E．若双曲线 y= （x＞0）经过点 D，则 OB•BE 的值为
3 ．
【分析】由双曲线 y= （x＞0）经过点 D 知 S△ODF= k= ，由矩形性质知 S△AOB=2S△ODF= ，据此可得 OA•BE=3，
根据 OA=OB 可得答案．
【解答】解：如图，
∵双曲线 y= （x＞0）经过点 D，
∴S△ODF= k= ，
则 S△AOB=2S△ODF= ，即 OA•BE= ，
∴OA•BE=3，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB，
∴OB•BE=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数 k 的几何意义5
及矩形的性质．
9.（2018•遂宁•4 分）已知一次函数 y1=kx+b（k≠0）与反比例函数 y2= （m≠0）的图象如图所示，则当 y1
＞y2 时，自变量 x 满足的条件是（ ）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当 1＜x＜3 时，y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
10.（2018•湖州•3 分）如图，已知直线 y=k1x（k1≠0）与反比例函数 y= （k2≠0）的图象交于 M，N 两
点．若点 M 的坐标是（1，2），则点 N 的坐标是（ ）
A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1）
【答案】A
【解析】分析：直接利用正比例函数的性质得出 M，N 两点关于原点对称，进而得出答案．
详解：∵直线 y=k1x（k1≠0）与反比例函数 y= （k2≠0）的图象交于 M，N 两点，
∴M，N 两点关于原点对称，
∵点 M 的坐标是（1，2），
∴点 N 的坐标是（-1，-2）．
故选：A．6
点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出 M，N 两点位置关系是解题关键．
11. （2018•嘉兴•3 分）如图,点 在反比例函数 的图象上,过点 的直线与 轴, 轴分别交于点 ,
且 , 的面积为 1.则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】【分析】过点 C 作 轴，设点 ，则 得到点 C
的坐标，根据 的面积为 1，得到 的关系式，即可求出 的值.
【解答】过点 C 作 轴，
设点 ，则
得到点 C 的坐标为：
的面积为 1，
即
故选 D.
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键.
12. （2018•广西玉林•3 分）如图，点 A，B 在双曲线 y= （x＞0）上，点 C 在双曲线 y= （x＞0）上，若 AC
∥y 轴，BC∥x 轴，且 AC=BC，则 AB 等于（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【分析】依据点 C 在双曲线 y= 上，AC∥y 轴，BC∥x 轴，可设 C（a， ），则 B（3a， ），A（a， ），依7
据 AC=BC ，即可得到 ﹣ =3a﹣a ，进而得出 a=1 ，依据 C （1 ，1 ），B （3 ，1 ），A （1 ，3 ），即可得到
AC=BC=2，进而得到 Rt△ABC 中，AB=2 ．
【解答】解：点 C 在双曲线 y= 上，AC∥y 轴，BC∥x 轴，
设 C（a， ），则 B（3a， ），A（a， ），
∵AC=BC，
∴ ﹣ =3a﹣a，
解得 a=1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC=BC=2，
∴Rt△ABC 中，AB=2 ，
故选：B．
13. （2018·黑龙江大庆·3 分）在同一直角坐标系中，函数 y= 和 y=kx﹣3 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分 k＞0 和 k＜0 两种情况讨论．当两函数系数 k 取
相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当 k＞0 时，y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当 k＜0 时，y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：B．
14. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）已知反比例函数 y= 的图象经过点（1，1），则 k 的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象经过点（1，1），
∴代入得：2k﹣3=1×1，
解得：k=2，8
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于 k 的方程是解此题的关键．
15.（2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，平面直角坐标系中，点 A 是 x 轴上任意一点，BC 平行于 x 轴，
分别交 y= （x＞0）、y= （x＜0）的图象于 B.C 两点，若△ABC 的面积为 2，则 k 值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】连接 OC.OB，如图，由于 BC∥x 轴，根据三角形面积公式得到 S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数 k
的几何意义得到 •|3|+ •|k|=2，然后解关于 k 的绝对值方程可得到满足条件的 k 的值．
【解答】解：连接 OC.OB，如图，
∵BC∥x 轴，
∴S△ACB=S△OCB，
而 S△OCB= •|3|+ •|k|，
∴ •|3|+ •|k|=2，
而 k＜0，
∴k=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= 图象中任取一点，过这一个点向 x 轴
和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂9
线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．
16.（2018•贵州铜仁•4 分）如图，已知一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= 的图象相交于 A（﹣2，y 1）、B
（1，y2）两点，则不等式 ax+b＜ 的解集为（ ）
A．x＜﹣2 或 0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0 或 x＞1
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0 或 x＞1 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式 ax+b＜ 的解集是﹣2＜x＜0 或 x＞1．
故选：D．
17.（2018•海南•3 分）已知反比例函数 y= 的图象经过点 P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（ ）
A．二 、三象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限
【分析】先根据点 P 的坐标求出反比例函数的比例系数 k，再由反比例函数的性质即可得出结果．
【解答】解：反比例函数 y= 的图象经过点 P（﹣1，2），
∴2= ．
∴k=﹣2＜0；
∴函数的图象位于第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当 k＞0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k＜0 时，
图象分别位于第二、四象限．②、当 k＞0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在同一
个象限，y 随 x 的增大而增大．10
18.（2018•贵州遵义•3 分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数 y=
（x＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 = ，进而得出 S△AOD=2，即可得出答案．
【解答】解：过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴ =tan30°= ，
∴ = ，
∵ ×AD×DO= xy=3，
∴S△BCO= ×BC×CO= S△AOD=1，
∴S△AOD=2，
∵经过点 B 的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣ ．
故选：C．11
19. （2018•遂宁•4 分）已知一次函数 y1=kx+b（k≠0）与反比例函数 y2= （m≠0）的图象如图所示，则当 y1
＞y2 时，自变量 x 满足的条件是（ ）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当 1＜x＜3 时，y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
二.填空题
1. （2018·湖北随州·3 分）如图，一次函数 y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相交于 A.B
两点，与 x 轴交与点 C，若 tan∠AOC= ，则 k 的值为 3 ．
【分析】根据题意设出点 A 的坐标，然后根据一次函数 y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相
交于 A.B 两点，可以求得 a 的值，进而求得 k 的值，本题得以解决．12
【解答】解：设点 A 的坐标为（3a，a），
∵一次函数 y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相交于 A.B 两点，
∴a=3a﹣2，得 a=1，
∴1= ，得 k=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用数形结合的思想解答．
2.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x＞0）与正比例函数 y=kx、
（k＞1）的图象分别交于点 A.B，若∠AOB＝45°，则△AOB 的面积是________.
【答案】2
【分析】作 BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB（如图），设 A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数 k 的几何
意义得 x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与 y=kx，y= 联立，解得 x1= ，x2= ，从而得 x1x2=2，所以 y1=x2，
y2=x1， 根据 SAS 得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得 AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得
∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据 AAS 得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得
S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO= x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.
【详解】如图：作 BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB，
设 A（x1，y1），B（x2 ， y2），
∵A.B 在反比例函数上，∴x1y1=x2y2=2，
∵ ，解得：x1= ，13
又∵ ，解得：x2= ，∴x1x2= × =2，∴y1=x2， y2=x1，即 OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO= x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定
与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
3.（2018•山东东营市•3 分）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以 OC，CB 为边作平行四边形 OABC，则经过点 A
的反比例函数的解析式为 y= ．
【分析】设 A 坐标为（x，y），根据四边形 OABC 为平行四边形，利用平移性质确定出 A 的坐标，利用待定系
数法确定出解析式即可．
【解答】解：设 A 坐标为（x，y），
∵B（3，﹣3），C（5，0），以 OC，CB 为边作平行四边形 OABC，
∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，
解得：x=﹣2，y=﹣3，即 A（﹣2，﹣3），
设过点 A 的反比例解析式为 y= ，
把 A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，
则过点 A 的反比例解析式为 y= ，
故答案为：y=
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本
题的关键．
4.（2018•山东烟台市•3 分）如图，反比例函数 y= 的图象经过▱ABCD 对角线的交点 P，已知点 A，C，D 在14
坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD 的面积为 6，则 k= ﹣3 ．
【分析】由平行四边形面积转化为矩形 BDOA 面积，在得到矩形 PDOE 面积，应用反比例函数比例系数 k 的意
义即可．
【解答】解：过点 P 做 PE⊥y 轴于点 E
∵四边形 ABCD 为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x 轴
∴ABDO 为矩形
∴AB=DO
∴S 矩形 ABDO=S▱ABCD=6
∵P 为对角线交点，PE⊥y 轴
∴四边形 PDOE 为矩形面积为 3
即 DO•EO=3
∴设 P 点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义以及平行四边形的性质．
5.（2018•山东济宁市•3 分）如图，点A 是反比例函数y= （x＞0）图象上一点，直线 y=kx+b
x
415
过点A 并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点 A 作AD⊥x 轴，垂足为D，连接
DC，若△BOC 的面积是4，则△DOC 的面积是 2 ﹣2 ．
【解答】解：设A（a， （a＞0
∴AD= ，OD=a，
∵直线y=kx+b 过点A 并且与两坐标轴分别交于点B，C，
∴C（0，b，B（﹣ ，0
∵△BOC 的面积是4，
∴S△BOC= OB×OC= × ×b=4，
∴b2=8k，
∴k= ①
∴AD⊥x 轴，
∴OC∥AD，
∴△BOC∽△BDA，
∴ ，
∴ ，
∴a2k+ab=4②， 联立①②得，ab=﹣4﹣4 （舍）或ab=4 ﹣4，16
∴S△DOC= OD•OC= ab=2 ﹣2
故答案为2 ﹣2．
6. （2018•上海•4 分）已知反比例函数 y= （k 是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么 k 的取值
范围是 ．
【分析】由于在反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限，故 k﹣1＜0，求出 k 的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得 k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
7. （2018•遂宁•4 分）已知反比例函数 y= （k≠0）的图象过点（﹣1，2），则当 x＞0 时，y 随 x 的增大
而 ．
【分析】把（﹣1，2）代入解析式得出 k 的值，再利用反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：把（﹣1，2）代入解析式 y= ，可得：k=﹣2，
因为 k=﹣2＜0，
所以当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，
故答案为：增大
【点评】此题考查了反比例函数 y= （k≠0），的性质：①当 k＞0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k＜0
时，图象分别位于第二、四象限．
②当 k＞0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而增大．
8. （2018•贵州安顺•4 分） 函数 中自变量的取值范围是__________．
【答案】
【解析】试题解析：根据题意得，x+1>0，
解得 x>-1．
故答案为：x>-1．．
9. （2018•贵州安顺•4 分） 如图，已知直线 与轴、轴相交于、两点，与 的图象相交于17
、 两点，连接 、 .给出下列结论：
① ；② ；③ ；④不等式 的解集是 或 .
其中正确结论的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】分析：根据一次函数和反比例函数的性质得到 k1k2＞0，故①错误；把 A（-2，m）、B（1，n）代入 y=
中得到-2m=n 故②正确；把 A（-2，m）、B（1，n）代入 y=k1x+b 得到 y=-mx-m，求得 P（-1，0），Q（0，
-m），根据三角形的面积公式即可得到 S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式 k1x+b＞ 的解集是 x＜-2
或 0＜x＜1，故④正确．
详解：由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1k2＞0，故①错误；
把 A（-2，m）、B（1，n）代入 y= 中得-2m=n，
∴m+n=0，故②正确；
把 A（-2，m）、B（1，n）代入 y=k1x+b 得
，
∴ ,
∵-2m=n，
∴y=-mx-m，
∵已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点，
∴P（-1，0），Q（0，-m），
∴OP=1，OQ=m，
∴S△AOP=m，S△BOQ=m，
∴S△AOP=S△BOQ；故③正确；18
由图象知不等式 k1x+b＞ 的解集是 x＜-2 或 0＜x＜1，故④正确；
故答案为：②③④．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题
意是解题的关键．
10. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，且关于 y 轴对称，反比例函数 y=
（x＞0）的图象经过点 C，反比例函数 y= （x＜0）的图象分别与 AD，CD 交于点 E，F，若 S △BEF=7，
k1+3k2=0，则 k1 等于 9 ．
【分析】设出点 A 坐标，根据函数关系式分别表示各点坐标，根据割补法表示△BEF 的面积，构造方程．
【解答】解：设点 B 的坐标为（a，0），则 A 点坐标为（﹣a，0）
由图象可知，点 C（a， ），E（﹣a，﹣ ），D（﹣a， ），F（﹣ ， ）
矩形 ABCD 面积为：2a• =2k1
∴S△DEF=
S△BCF=
S△ABE=
∵S△BEF=7
∴2k1+ ﹣ +k1=7 ①
∵k1+3k2=0
∴k2=﹣ k1 代入①式得19
解得 k1=9
故答案为：9
【点评】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点，应用面积法构造方程．
11. （2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）已知反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内，则 k 的值可以是
1 ．（写出满足条件的一个 k 的值即可）
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内，则可知 2﹣k＞0，解得 k 的
取值范围，写出一个符合题意的 k 即可．
【解答】解：由题意得，反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内，
则 2﹣k＞0，
故 k＜2，满足条件的 k 可以为 1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当 k＞0 时，双曲线的两个分支在一，三象限，y 随 x 的增大而减
小；当 k＜0 时，双曲线的两个分支在二，四象限，y 随 x 的增大而增大．
12.（2018•福建 A 卷•4 分）如图，直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则△ABC
面积的最小值为 6 ．
【分析】根据双曲线 y= 过 A，B 两点，可设 A（a， ），B（b， ），则 C（a， ）．将 y=x+m 代入 y= ，
整理得 x2+mx﹣3=0，由于直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，所以 A.b 是方程 x2+mx﹣3=0 的两个根，
根据根与系数的关系得出 a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公
式得出 S△ABC= AC•BC= m2+6，利用二次函数的性质即可求出当 m=0 时，△ABC 的面积有最小值 6．
【解答】解：设 A（a， ），B（b， ），则 C（a， ）．
将 y=x+m 代入 y= ，得 x+m= ，20
整理，得 x2+mx﹣3=0，
则 a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC= AC•BC
= （ ﹣ ）（a﹣b）
= • •（a﹣b）
= （a﹣b）2
= （m2+12）
= m2+6，
∴当 m=0 时，△ABC 的面积有最小值 6．
故答案为 6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上
点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质．
13.（2018•福建 B 卷•4 分）如图，直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则△ABC
面积的最小值为 6 ．
【分析】根据双曲线 y= 过 A，B 两点，可设 A（a， ），B（b， ），则 C（a， ）．将 y=x+m 代入 y= ，
整理得 x2+mx﹣3=0，由于直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，所以 A.b 是方程 x2+mx﹣3=0 的两个根，
根据根与系数的关系得出 a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公
式得出 S△ABC= AC•BC= m2+6，利用二次函数的性质即可求出当 m=0 时，△ABC 的面积有最小值 6．21
【解答】解：设 A（a， ），B（b， ），则 C（a， ）．
将 y=x+m 代入 y= ，得 x+m= ，
整理，得 x2+mx﹣3=0，
则 a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC= AC•BC
= （ ﹣ ）（a﹣b）
= • •（a﹣b）
= （a﹣b）2
= （m2+12）
= m2+6，
∴当 m=0 时，△ABC 的面积有最小值 6．
故答案为 6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上
点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质．
14.（2018•广东•3 分）如图，已知等边△OA1B1，顶点 A1 在双曲线 y= （x＞0）上，点 B1 的坐标为（2，
0）．过 B1 作 B1A2∥OA1 交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2∥A1B1 交 x 轴于点 B2，得到第二个等边△B1A2B2；过 B2
作 B2A3∥B1A2 交双曲线于点 A3，过 A3 作 A3B3∥A2B2 交 x 轴于点 B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，
则点 B6 的坐标为 （2 ，0） ．
【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出 B2.B3.B4 的坐标，得出规律，22
进而求出点 B6 的坐标．
【解答】解：如图，作 A2C⊥x 轴于点 C，设 B1C=a，则 A2C= a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a， a）．
∵点 A2 在双曲线 y= （x＞0）上，
∴（2+a）• a= ，
解得 a= ﹣1，或 a=﹣ ﹣1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2 ﹣2=2 ，
∴点 B2 的坐标为（2 ，0）；
作 A3D⊥x 轴于点 D，设 B2D=b，则 A3D= b，
OD=OB2+B2D=2 +b，A2（2 +b， b）．
∵点 A3 在双曲线 y= （x＞0）上，
∴（2 +b）• b= ，
解得 b=﹣ + ，或 b=﹣ ﹣ （舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2 ﹣2 +2 =2 ，
∴点 B3 的坐标为（2 ，0）；
同理可得点 B4 的坐标为（2 ，0）即（4，0）；
…，
∴点 Bn 的坐标为（2 ，0），
∴点 B6 的坐标为（2 ，0）．
故答案为（2 ，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出 B2.B3.B4 的坐标进而得
出点 Bn 的规律是解题的关键．
15. （2018•广西北海•3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A, B 在 x 轴上，且关于 y 轴对称，23
反比例函数 y = k1 (x > 0) 的图像经过点 C ，反比例函数
x
y = k2 (x < 0)的图像分别与 AD, CD 交于点 E, F ，
x
若
S∆BEF
= 7, k1 + 3k2 = 0，则 k1 等于 .
【答案】k1 = 9
【考点】反比例函数综合题
【解析】设 B 的坐标为(a,0)，则 A 为 (−a,0)，其中 k1 + 3k2 = 0，即 k1 = −3k2
根据题意得到
C(a,
k1
)
a
， E(−a,− k2 )，
D(−a,
a
k1
)
a
， F (− a ,
3
k1 )
a
矩形面积= 2a × k1 = 2k
a 1
2 a ×(− 2k2 )
S∆DE
F
= DF × DE = 3
2
a = − 2 k
2 3 2
4 a × k1
S = CF × BC = 3 a = 2 k
∆BCF24
2 2 3 1
2
a
×(− k2 )
S∆AB
E
= AB × AE =
2
a = −k
2 2
!S∆BEF = 7
∴2k + 2 k − 2 k + k = 7
1 3 2 3 1 2
把 k = − 1 k 代入上式，得到
2 3 1
4 k + 5 ×(− 1 k ) = 7
3 1 3 3 1
4 k − 5 k = 7
3 1 9 1
7 k = 7
9 1
k1 = 925
【点评】该题考察到反比例函数中k值得计算，设点是关键，把各点坐标求出来，
根据割补法求面积列式，求出k1 的值。
16.（2018•贵州铜仁•4 分）已知在平面直角坐标系中有两点 A（0，1），B（﹣1，0），动点 P
在反比例函数 y= 的图象上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差的绝对值最大时，点 P 的坐标
为 （﹣1，﹣2）或（2，1） ．
【分析】由三角形三边关系知|PA﹣PB|≥AB 知直线 AB 与双曲线 y= 的交点即为所求点 P，
据此先求出直线 AB 解析式，继而联立反比例函数解析式求得点 P 的坐标．
【解答】解：如图，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
将 A（1，0）、B（0，﹣1）代入，得：
，
解得： ，
∴直线 AB 的解析式为 y=x﹣1，
直线 AB 与双曲线 y= 的交点即为所求点 P，此时|PA﹣PB|=AB，即线段 PA 与线段 PB 之差的
绝对值取得最大值，
由 可得 或 ，
∴点 P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（2，1），
故答案为：（﹣1，﹣2）或（2，1）．
17.（2018•贵州贵阳•4分）如图，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例函数
y 3 ( x 0) ，
x26
y 6 ( x 0) 的图像交于 A 点和 B 点，若 C 为 y 轴任意一点，连接 AB.BC ，则
x
9
ABC 的面积为 .
227
【解】
18．（2018 年湖南省娄底市）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 P 是反比例函
数 y= 图象上的一点，PA⊥x 轴于点 A，则△POA 的面积为 1 ．
【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数 k 的几何意义得出答案．
【解答】解：∵点 P 是反比例函数 y= 图象上的一点，PA⊥x 轴于点 A，
∴△POA 的面积为： AO•PA= xy=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义，正确表示出△POA 的面积是解题关
键．
18．(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，点 A 是反比例函数 y= 图象上一点，作 AB⊥x
轴，垂足为点 B，若△AOB 的面积为 2，则 k 的值是 4 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三
角形面积 S 是个定值，即 S= |k|．28
【解答】解：∵点 A 是反比例函数 y= 图象上一点，作 AB⊥x 轴，垂足为点 B，
∴S△AOB= |k|=2；
又∵函数图象位于一、三象限，
∴k=4，
故答案为 4．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，
所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类
题一定要正确理解 k 的几何意义．
20. （2018 湖南张家界 3.00 分）如图，矩形 ABCD 的边 AB 与 x 轴平行，顶点 A 的坐标为
（2，1），点 B 与点 D 都在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，则矩形 ABCD 的周长为
12 ．
【分析】根据矩形的性质、结合点 A 的坐标得到点 D 的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为 1，根
据反比例函数解析式求出点 D 的坐标，点 B 的坐标，根据矩形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，点 A 的坐标为（2，1），
∴点 D 的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为 1，
当 x=2 时，y= =3，
当 y=1 时，x=6，
则 AD=3﹣1=2，AB=6﹣2=4，
则矩形 ABCD 的周长=2×（2+4）=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，掌握反比例函数图象
上点的坐标特征是解题的关键．
21. （2018•上海•4 分）已知反比例函数 y= （k 是常数，k≠1）的图象有一支在第二象
限，那么 k 的取值范围是 ．29
【分析】由于在反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限，故 k﹣1＜0，求出 k 的取值
范围即可．
【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得 k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
22. （2018•遂宁•4 分）已知反比例函数 y= （k≠0）的图象过点（﹣1，2），则当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而 ．
【分析】把（﹣1，2）代入解析式得出 k 的值，再利用反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：把（﹣1，2）代入解析式 y= ，可得：k=﹣2，
因为 k=﹣2＜0，
所以当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，
故答案为：增大
【点评】此题考查了反比例函数 y= （k≠0），的性质：①当 k＞0 时，图象分别位于第一、
三象限；当 k＜0 时，图象分别位于第二、四象限．
②当 k＞0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在同一个象限，y 随 x
的增大而增大．
三.解答题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·8 分）如图，在平面直角坐标系中，
直线 y=﹣ x 与反比例函数 y= （k≠0）在第二象限内的图象相交于点 A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=﹣ x 向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点 B，与 y 轴交于点 C，
且△ABO 的面积为 ，求直线 BC 的解析式．30
【分析】（1）将 A 点坐标代入直线 y=﹣ x 中求出 m 的值，确定出 A 的坐标，将 A 的坐标代
入反比例解析式中求出 k 的值，即可确定出反比例函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律设直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+b，由同底等高的两三角形面积相
等可得△ACO 与△ABO 面积相等，根据△ABO 的面积为 列出方程 OC•2= ，解方程求出 OC=
，即 b= ，进而得出直线 BC 的解析式．
【解答】解：（1）∵直线 y=﹣ x 过点 A（m，1），
∴﹣ m=1，解得 m=﹣2，
∴A（﹣2，1）．
∵反比例函数 y= （k≠0）的图象过点 A（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ；
（2）设直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+b，
∵三角形 ACO 与三角形 ABO 面积相等，且△ABO 的面积为 ，
∴△ACO 的面积= OC•2= ，
∴OC= ，
∴b= ，
∴直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+ ．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形31
的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2. （2018·湖北襄阳·7 分）如图，已知双曲线 y1= 与直线 y2=ax+b 交于点 A（﹣4，1）
和点 B（m，﹣4）．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出线段 AB 的长和 y1＞y2 时 x 的取值范围．
【分析】（1）先把 A 点坐标代入 y1= 中求出 k 得到反比例函数的解析式为 y1=﹣ ，再把 B
（m，﹣4）代入 y1=﹣ 中求出 m 得到 B（1，﹣4），然后利用待定系数法求直线解析式；
（2）利用两点间的距离公式计算 AB 的长；利用函数图象，写出反比例函数图象在直线上方
所对应的自变量的范围得到 y1＞y2 时 x 的取值范围．
【解答】解：（1）把 A（﹣4，1）代入 y1= 得 k=﹣4×1=﹣4，
∴反比例函数的解析式为 y1=﹣ ，
把 B（m，﹣4）代入 y1=﹣ 得﹣4m=﹣4，解得 m=1，则 B（1，﹣4），
把 A（﹣4，1），B（1，﹣4）代入 y2=ax+b 得 ，解得 ，
∴直线解析式为 y2=﹣x﹣3；
（2）AB= =5 ，
当﹣4＜x＜0 或 x＞1 时，y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐
标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两
者无交点．
3. （2018·湖南郴州·10 分）参照学习函数的过程与方法，探究函数 y= 的图32
象与性质．
因为 y= ，即 y=﹣ +1，所以我们对比函数 y=﹣ 来探究．
列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y=﹣ … 1 2 4 ﹣4 ﹣1 1 ﹣ ﹣ …
y= … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以 y= 相应的函数值为纵坐
标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把 y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当 x＜0 时，y 随 x 的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）
②y= 的图象是由 y=﹣ 的图象向 上 平移 1 个单位而得到；
③图象关于点 （0，1） 中心对称．（填点的坐标）
（3）设 A（x1，y1），B（x2，y2）是函数 y= 的图象上的两点，且 x1+x2=0，试求 y1+y2+3
的值．
【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）根据中心对称的性质，可知 A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解
决问题；
【解答】解：（1）函数图象如图所示：33
（2）①当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；
②y= 的图象是由 y=﹣ 的图象向上平移 1 个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）
故答案为增大，上，1，（0，1）
（3）∵x1+x2=0，
∴x1=﹣x2，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，
∴y1+y2=2，
∴y1+y2+3=5．
【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．
4.（2018•山东济宁市•8 分）如图，已知反比例函数 y= （x＞0）的图象与反比例函数 y=
（x＜0）的图象关于 y 轴对称，A（1，4），B（4，m）是函数 y= （x＞0）图象上的两
点，连接 AB，点 C（﹣2，n）是函数 y= （x＜0）图象上的一点，连接 AC，BC．
（1）求 m，n 的值；
（2）求 AB 所在直线的表达式；
（3）求△ABC 的面积．34
【分析】（1）先由点 A 确定 k，再求 m 的值，根据关于 y 轴对称，确定 k2 再求 n；
（2）先设出函数表达式，再代入 A.B 两点，得直线 AB 的表达式；
（3）过点 A.B 作 x 轴的平行线，过点 C.B 作 y 轴的平行线构造矩形，△ABC 的面积=矩形面
积﹣3 个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）因为点 A.点 B 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，
∴k1=1×4=4，
∴m×4=k1=4，
∴m=1
∵反比例函数 y= （x＞0）的图象与反比例函数 y= （x＜0）的图象关于 y 轴对称．
∴k2=﹣k1=﹣4
∴﹣2×n=﹣4，
∴n=2
（2）设直线 AB 所在的直线表达式为 y=kx+b
把 A（1，4），B（4，1）代入，得
解得
∴AB 所在直线的表达式为：y=﹣x+5
（3）如图所示：过点 A.B 作 x 轴的平行线，过点 C.B 作 y 轴的平行线，它们的交点分别是
E.F、B.G．
∴四边形 EFBG 是矩形．
则 AF=3，BF=3，AE=3，EC=2，CG=1，GB=6，EG=3
∴S△ABC=S 矩形 EFBG﹣S△AFB﹣S△AEC﹣S△CBG
=BG×EG﹣ AF×FB﹣ AE×EC﹣ BG×CG
=18﹣ ﹣3﹣3
=35
【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及面积的和
差关系．题目具有综合性．注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和
差．
5. （2018•达州•9 分）矩形 AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，
建立如图 1 所示的平面直角坐标系．F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合），过点 F 的反
比例函数 y= （k＞0）的图象与边 AC 交于点 E．
（1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标；
（2）连接 EF，求∠EFC 的正切值；
（3）如图 2，将△CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解
析式．
【分析】（1）先确定出点 C 坐标，进而得出点 F 坐标，即可得出结论；
（2）先确定出点 F 的横坐标，进而表示出点 F 的坐标，得出 CF，同理表示出 CF，即可得出
结论；
（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出 BG，最后用勾股定理求出 k，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F 是 BC 的中点，
∴F（4， ），
∵F 在反比例 y= 函数图象上，
∴k=4× =6，36
∴反比例函数的解析式为 y= ，
∵E 点的坐标为 3，
∴E（2，3）；
（2）∵F 点的横坐标为 4，
∴F（4， ），
∴CF=BC﹣BF=3﹣ =
∵E 的纵坐标为 3，
∴E（ ，3），
∴CE=AC﹣AE=4﹣ = ，
在 Rt△CEF 中，tan∠EFC= = ，
（3）如图，由（2）知，CF= ，CE= ， ，
过点 E 作 EH⊥OB 于 H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴ = ，
∴ ，
∴BG= ，
在 Rt△FBG 中，FG2﹣BF2=BG2，
∴（ ）2﹣（ ）2= ，37
∴k= ，
∴反比例函数解析式为 y= ．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的
判定和性质，锐角三角函数，求出 CE：CF 是解本题的关键．
6. （2018•遂宁•9 分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b（k≠0）与反比
例函数 y= （m≠0）的图象交于第二、四象限 A.B 两点，过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，AD=4，sin
∠AOD= ，且点 B 的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函效的解析式；
（2）E 是 y 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 E 点坐标．
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出 AO 的长，利用勾股定理求出 OD 的长，
确定出 A 坐标，进而求出 m 的值确定出反比例解析式，把 B 的坐标代入反比例解析式求出 n
的值，确定出 B 坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当 AO 为等腰三角形腰与底时，求出点 E 坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 图象交于 A 与 B，且 AD⊥x 轴，
∴∠ADO=90°，
在 Rt△ADO 中，AD=4，sin∠AOD= ，
∴ = ，即 AO=5，38
根据勾股定理得：DO= =3，
∴A（﹣3，4），
代入反比例解析式得：m=﹣12，即 y=﹣ ，
把 B 坐标代入得：n=6，即 B（6，﹣2），
代入一次函数解析式得： ，
解得： ，即 y=﹣ x+2；
（2）当 OE3=OE2=AO=5，即 E2（0，﹣5），E3（0，5）；
当 OA=AE1=5 时，得到 OE1=2AD=8，即 E1（0，8）；
当 AE4=OE4 时，由 A（﹣3，4），O（0，0），得到直线 AO 解析式为 y=﹣ x，中点坐标为
（﹣1.5，2），
∴AO 垂直平分线方程为 y﹣2= （x+ ），
令 x=0，得到 y= ，即 E4（0， ），
综上，当点 E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0， ）时，△AOE 是等腰三角形．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关
键．
7.（2018•资阳•8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y1=2x﹣2 与双曲线 y2= 交于 A.C
两点，AB⊥OA 交 x 轴于点 B，且 OA=AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点 C 的坐标，并直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围．39
【分析】（1）作高线 AC，根据等腰直角三角形的性质和点 A 的坐标的特点得：x=2x﹣2，可
得 A 的坐标，从而得双曲线的解析式；
（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点 C 的坐标，根据图象可得结论．
【解答】解：（1）∵点 A 在直线 y1=2x﹣2 上，
∴设 A（x，2x﹣2），
过 A 作 AC⊥OB 于 C，
∵AB⊥OA，且 OA=AB，
∴OC=BC，
∴AC= OB=OC，
∴x=2x﹣2，
x=2，
∴A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴ ；
（2）∵ ，解得： ， ，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2 时 x 的取值范围是 x＜﹣1 或 0＜x＜2．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数
解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．40
8.（2018•乌鲁木齐•10 分）小明根据学习函数的经验，对 y=x+ 的图象与性质进行了探
究．
下 面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=x+ 的自变量 x 的取值范围是 ．
（2）下表列出 y 与 x 的几组对应值，请写出 m，n 的值：m= ，n= ；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1
﹣ ﹣
1 2 3 4 …
y …
﹣ ﹣
﹣2
﹣ ﹣
m 2 n …
（3）如图．在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出
的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象．请完成：
①当 y=﹣ 时，x= ．
②写出该函数的一条性质 ．
③若方程 x+ =t 有两个不相等的实数根，则 t 的取值范围是 ．
【分析】（1）由 x 在分母上，可得出 x≠0；
（2）代入 x= 、3 求出 m、n 的值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①代入 y=﹣ ，求出 x 值；
②观察函数图象，写出一条函数性质；
③观察函数图象 ，找出当 x+ =t 有两个不相等的实数根时 t 的取值范围（亦可用根的判别
式去求解）．41
【解答】解：（1）∵x 在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当 x= 时，y=x+ = ；
当 x=3 时，y=x+ = ．
故答案为： ； ．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当 y=﹣ 时，有 x+ =﹣ ，
解得：x1=﹣4，x2=﹣ ．
故答案为：﹣4 或﹣ ．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵x+ =t 有两个不相等的实数根，
∴t＜﹣2 或 t＞2．
故答案为：t＜﹣2 或 t＞2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以及正比例
函数图象，解题的关键是：（1）由 x 在分母上找出 x≠0；（2）代入 x= 、3 求出 m、n 的
值；（3）连点成线，画出函数图象；（4）①将﹣ 化成﹣4﹣ ；②观察函数图象找出函
数性质；③观察函数图象找出 t 的取值范围．
9.（2018•杭州•6 分）已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平42
均卸货速度为 v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为 t（单位：小时）。
（1）求 v 关于 t 的函数表达式
（2）若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
【答案】（1）有题意可得：100=vt，则
（2）∵不超过 5 小时卸完船上的这批货物，∴t≦5，
则 v≧ =20
答：平均每小时至少要卸货 20 吨。
【考点】一元一次不等式的应用，反比例函数的性质，根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）根据已知易求出函数解析式。
（2）根据要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，可得出 t 的取值范围，再求出 t=5 时的
函数值，就可得出答案。
10（2018•杭州•10 分）设一次函数 （ 是常数， ）的图象过 A（1，3），
B（-1，-1）
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求 a 的值；
（3）已知点 C（x1 ， y1），D（x2 ， y2）在该一次函数图象上，设 m=（x1-x2）（y1-y2），
判断反比例函数 的图象所在的象限，说明理由。
【答案】（1）根据题意，得 ，解得 k=2，b=1
所以 y=2x+1
（2）因为点（2a+2，a2）在函数 y=2x+1 的图像上，所以 a2=4a+5
解得 a=5 或 a=-1
（3）由题意，得 y 1-y2=（2x 1+1）-（2x 2+1）=2（x 1-x2）所以 m=（x 1-x2）（y1-y2）=2
（x1-x2）2≥0，
所以 m+1＞0
所以反比例函数 的图像位于第一、第三象限
【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标，利用待定系数法，就可求出一次函数的解析式。
（2）将已知点的坐标代入所求函数解析式，建立关于 a 的方程，解方程求解即可。
（3）先求出 y1-y2=2（x1-x2），根据 m=（x1-x2）（y1-y2），得出 m=2（x1-x2）2≥0，从而可判
断 m+1 的取值范围，即可求解。
11. （2018•湖州•12 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶
点 A 在第一象限，B，C 在 x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧），BC=2，AB=2 ，△ADC 与△ABC43
关于 AC 所在的直线对称．
（1）当 OB=2 时，求点 D 的坐标；
（2）若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长；
（3）如图 2，将第（2）题中的四边形 ABCD 向右平移，记平移后的四边形为 A1B1C1D1，过点
D1 的反比例函数 y= （k≠0）的图象与 BA 的延长线交于点 P．问：在平移过程中，是否存
在这样的 k，使得以点 P，A1，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有
符合题意的 k 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图 1 中，作 DE⊥x 轴于 E，解直角三角形清楚 DE，CE 即可解决问题；
（2）设 OB=a，则点 A 的坐标（a，2 ），由题意 CE=1．DE= ，可得 D（3+a， ），点
A.D 在同一反比例函数图象上，可得 2 a= （3+a），清楚 a 即可；
（3）分两种情形：①如图 2 中，当∠PA1D=90°时．②如图 3 中，当∠PDA1=90°时．分别
构建方程解决问题即可；
【解答】解：（1）如图 1 中，作 DE⊥x 轴于 E．
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ACB= = ，
∴∠ACB=60°，
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°﹣60°=30°，
∴CE=1，DE= ，44
∴OE=OB+BC+CE=5，
∴点 D 坐标为（5， ）．
（2）设 OB=a，则点 A 的坐标（a，2 ），
由题意 CE=1．DE= ，可得 D（3+a， ），
∵点 A.D 在同一反比例函数图象上，
∴2 a= （3+a），
∴a=3，
∴OB=3．
（3）存在．理由如下：
①如图 2 中，当∠PA1D=90°时．
∵AD∥PA1，
∴∠ADA1=180°﹣∠PA1D=90°，
在 Rt△ADA1 中，∵∠DAA1=30°，AD=2 ，
∴AA1= =4，
在 Rt△APA1 中，∵∠APA1=60°，
∴PA= ，
∴PB= ，
设 P（m， ），则 D1（m+7， ），
∵P、A1 在同一反比例函数图象上，
∴ m= （m+7），45
解得 m=3，
∴P（3， ），
∴k=10 ．
②如图 3 中，当∠PDA1=90°时．
∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，
∴ = ．
∴ = ，∵∠AKD=∠PKA1，
∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，
∴∠APD=∠ADP=30°，
∴AP=AD=2 ，AA1=6，
设 P（m，4 ），则 D1（m+9， ），
∵P、A1 在同一反比例函数图象上，
∴4 m= （m+9），
解得 m=3，
∴P（3，4 ），
∴k=12 ．
【点评】本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三
角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数
构建方程解决问题，属于中考压轴题．
12.（2018•金华、丽水•10 分）如图，四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 与 46
（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线 BD∥y 轴，且 BD⊥AC 于点 P ． 已知点B 的横坐
标为 4．
（1）当 m=4，n=20 时．①若点 P 的纵坐标为 2，求直线 AB 的函数表达式．
②若点 P 是 BD 的中点，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
（2）四边形 ABCD 能否成为正方形？若能，求此时 m ， n 之间的数量关系；若不能，试说
明理由．
【解析】【分析】（1）①分别求出点 A，B 的坐标，运用待定系数法即可求出直线 AB 的表达
示；
②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或
是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形 ABCD 是平行四边形，运用“对角线互相
平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等
则不是正方形；（2）要使 m，n 有具体联系，根据 A,B，C，D 分别在两个函数图象，且由正
方形的性质，可用只含 m 的代数式表示出点 D 或点 C 的坐标代入 y= ，即可得到只关于 m
和 n 的等式．
13. （2018·黑龙江大庆·8 分）如图，A（4，3）是反比例函数 y= 在第一象限图象上一
点，连接 OA，过 A 作 AB∥x 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函数 y= 的
图象于点 P．
（1）求反比例函数 y= 的表达式；
（2）求点 B 的坐标；
（3）求△OAP 的面积．47
【分析】（1）将点 A 的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得 AB=OA=5，由 AB∥x 轴即可得点 B 的坐标；
（3）先根据点 B 坐标得出 OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点 P 的坐标，再利
用割补法求解可得．
【解答】解：（1）将点 A（4，3）代入 y= ，得：k=12，
则反比例函数解析式为 y= ；
（2）如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，
则 OC=4.AC=3，
∴OA= =5，
∵AB∥x 轴，且 AB=OA=5，
∴点 B 的坐标为（9，3）；
（3）∵点 B 坐标为（9，3），
∴OB 所在直线解析式为 y= x，
由 可得点 P 坐标为（6，2），
过点 P 作 PD⊥x 轴，延长 DP 交 AB 于点 E，48
则点 E 坐标为（6，3），
∴AE=2.PE=1.PD=2，
则△OAP 的面积= ×（2+6）×3﹣ ×6×2﹣ ×2×1=5．
14.（2018·湖北省恩施·8 分）如图，直线 y=﹣2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，与反
比例函数 y= 的图象有唯一的公共点 C．
（1）求 k 的值及 C 点坐标；
（2）直线 l 与直线 y=﹣2x+4 关于 x 轴对称，且与 y 轴交于点 B'，与双曲线 y= 交于 D.E
两点，求△CDE 的面积．
【分析】（1）令﹣2x+4= ，则 2x2﹣4x+k=0，依据直线 y=﹣2x+4 与反比例函数 y= 的图象
有唯一的公共点 C，即可得到 k 的值，进而得出点 C 的坐标；
（2）依据 D（3，2），可得 CD=2，依据直线 l 与直线 y=﹣2x+4 关于 x 轴对称，即可得到直
线 l 为 y=2x﹣4，再根据 =2x﹣4，即可得到 E（﹣1，﹣6），进而得出△CDE 的面积= ×2
×（6+2）=8．
【解答】解：（1）令﹣2x+4= ，则 2x2﹣4x+k=0，
∵直线 y=﹣2x+4 与反比例函数 y= 的图象有唯一的公共点 C，
∴△=16﹣8k=0，
解得 k=2，
∴2x2﹣4x+2=0，
解得 x=1，49
∴y=2，
即 C（1，2）；
（2）当 y=2 时，2= ，即 x=3，
∴D（3，2），
∴CD=3﹣1=2，
∵直线 l 与直线 y=﹣2x+4 关于 x 轴对称，
∴A（2，0），B'（0，﹣4），
∴直线 l 为 y=2x﹣4，
令 =2x﹣4，则 x2﹣2x﹣3=0，
解得 x1=3，x2=﹣1，
∴E（﹣1，﹣6），
∴△CDE 的面积= ×2×（6+2）=8．
【点评】此题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了解一元二次方程，坐标与
图形性质以及三角形面积公式的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关
系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
15.（2018•广西贵港•6 分）如图，已知反比例函数 y= （x＞0）的图象与一次函数 y=﹣
x+4 的图象交于 A 和 B（6，n）两点．
（1）求 k 和 n 的值；
（2）若点 C（x，y）也在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，求当 2≤x≤6 时，函数值 y
的取值范围．50
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 n 值，进而可得出点 B 的坐标，再利
用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值；
（2）由 k=6＞0 结合反比例函数的性质，即可求出：当 2≤x≤6 时，1≤y≤3．
【解答】解：（1）当 x=6 时，n=﹣ ×6+4=1，
∴点 B 的坐标为（6，1）．
∵反比例函数 y= 过点 B（6，1），
∴k=6×1=6．
（2）∵k=6＞0，
∴当 x＞0 时，y 随 x 值增大而减小，
∴当 2≤x≤6 时，1≤y≤3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及反
比例函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次（反比例）函数图象上点的坐标特征，求
出 n、k 的值；（2）利用一次函数的性质找出当 x＞0 时，y 随 x 值增大而减小．
16．（2018 湖南长沙 10.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （m 为常数，m＞
1，x＞0）的图象经过点 P（m，1）和 Q（1，m），直线 PQ 与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，
点 M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点 M 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A，
B．
（1）求∠OCD 的度数；
（2）当 m=3，1＜x＜3 时，存在点 M 使得△OPM∽△OCP，求此时点 M 的坐标；
（3）当 m=5 时，矩形 OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1？请说明你的理由．51
【分析】（1）想办法证明 OC=OD 即可解决问题；
（2）设 M（a， ），由△OPM∽△OCP，推出 = = ，由此构建方程求出 a，再分类求
解即可解决问题；
（3）不存在分三种情形说明：①当 1＜x＜5 时，如图 1 中；②当 x≤1 时，如图 2 中；③
当 x≥5 时，如图 3 中；
【解答】解：（1）设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，则有 ，
解得 ，
∴y=﹣x+m+!，
令 x=0，得到 y=m+1，∴D（0，m+1），
令 y+0，得到 x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设 M（a， ），
∵△OPM∽△OCP，
∴ = = ，
∴OP2=OC•OM，
当 m=3 时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM= ，
∴ = ，
∴10=4 ，
∴4a4﹣25a2+36=0，
（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，
∴a=± ，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a= 或 2，52
当 a= 时，M（ ，2），
PM= ，CP= ，
≠ （舍弃），
当 a=2 时，M（2， ），PM= ，CP= ，
∴ = = ，成立，
∴M（2， ）．
（3）不存在．理由如下：
当 m=5 时，P（5，1），Q（1，5），设 M（x， ），
OP 的解析式为：y= x，OQ 的解析式为 y=5x，
①当 1＜x＜5 时，如图 1 中，
∴E（ ， ），F（x， x），
S=S 矩形 OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE
=5﹣ •x• x﹣ • • =4.1，
化简得到：x4﹣9x2+25=0，
△＜O，
∴没有实数根．
②当 x≤1 时，如图 2 中，53
S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当 x≥5 时，如图 3 中，
S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．
【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会
用分类讨论的思想思考问题．
17.（2018 湖南湘西州 8.00 分）反比例函数 y= （k 为常数，且 k≠0）的图象经过点 A
（1，3）、B（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式及 B 点的坐标；
（2）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标．54
【分析】（1）先把 A 点坐标代入 y= 求出 k 得到反比例函数解析式；然后把 B（3，m）代入
反比例函数解析式求出 m 得到 B 点坐标；
（2）作 A 点关于 x 轴的对称点 A′，连接 BA′交 x 轴于 P 点，则 A′（1，﹣3），利用两点
之间线段最短可判断此时此时 PA+PB 的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，
然后求出直线与 x 轴的交点坐标即可得到 P 点坐标．
【解答】解：（1）把 A（1，3）代入 y= 得 k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为 y= ；
把 B（3，m）代入 y= 得 3m=3，解得 m=1，
∴B 点坐标为（3，1）；
（2）作 A 点关于 x 轴的对称点 A′，连接 BA′交 x 轴于 P 点，则 A′（1，﹣3），
∵PA+PB=PA′+PB=BA′，
∴此时此时 PA+PB 的值最小，
设直线 BA′的解析式为 y=mx+n，
把 A′（1，﹣3），B（3，1）代入得 ，解得 ，
∴直线 BA′的解析式为 y=2x﹣5，
当 y=0 时，2x﹣5=0，解得 x= ，
∴P 点坐标为（ ，0）．55
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例
函数解析式 y= （k 为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，
得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问
题．
18. （2018•达州•9 分）矩形 AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，
建立如图 1 所示的平面直角坐标系．F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合），过点 F 的反
比例函数 y= （k＞0）的图象与边 AC 交于点 E．
（1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标；
（2）连接 EF，求∠EFC 的正切值；
（3）如图 2，将△CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解
析式．
【分析】（1）先确定出点 C 坐标，进而得出点 F 坐标，即可得出结论；
（2）先确定出点 F 的横坐标，进而表示出点 F 的坐标，得出 CF，同理表示出 CF，即可得出
结论；
（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出 BG，最后用勾股定理求出 k，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F 是 BC 的中点，
∴F（4， ），56
∵F 在反比例 y= 函数图象上，
∴k=4× =6，
∴反比例函数的解析式为 y= ，
∵E 点的坐标为 3，
∴E（2，3）；
（2）∵F 点的横坐标为 4，
∴F（4， ），
∴CF=BC﹣BF=3﹣ =
∵E 的纵坐标为 3，
∴E（ ，3），
∴CE=AC﹣AE=4﹣ = ，
在 Rt△CEF 中，tan∠EFC= = ，
（3）如图，由（2）知，CF= ，CE= ， ，
过点 E 作 EH⊥OB 于 H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴ = ，
∴ ，57
∴BG= ，
在 Rt△FBG 中，FG2﹣BF2=BG2，
∴（ ）2﹣（ ）2= ，
∴k= ，
∴反比例函数解析式为 y= ．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的
判定和性质，锐角三角函数，求出 CE：CF 是解本题的关键．
19. （2018•遂宁•9 分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b（k≠0）与反比
例函数 y= （m≠0）的图象交于第二、四象限 A.B 两点，过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，AD=4，sin
∠AOD= ，且点 B 的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函效的解析式；
（2）E 是 y 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 E 点坐标．
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出 AO 的长，利用勾股定理求出 OD 的长，
确定出 A 坐标，进而求出 m 的值确定出反比例解析式，把 B 的坐标代入反比例解析式求出 n
的值，确定出 B 坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当 AO 为等腰三角形腰与底时，求出点 E 坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 图象交于 A 与 B，且 AD⊥x 轴，58
∴∠ADO=90°，
在 Rt△ADO 中，AD=4，sin∠AOD= ，
∴ = ，即 AO=5，
根据勾股定理得：DO= =3，
∴A（﹣3，4），
代入反比例解析式得：m=﹣12，即 y=﹣ ，
把 B 坐标代入得：n=6，即 B（6，﹣2），
代入一次函数解析式得： ，
解得： ，即 y=﹣ x+2；
（2）当 OE3=OE2=AO=5，即 E2（0，﹣5），E3（0，5）；
当 OA=AE1=5 时，得到 OE1=2AD=8，即 E1（0，8）；
当 AE4=OE4 时，由 A（﹣3，4），O（0，0），得到直线 AO 解析式为 y=﹣ x，中点坐标为
（﹣1.5，2），
∴AO 垂直平分线方程为 y﹣2= （x+ ），
令 x=0，得到 y= ，即 E4（0， ），
综上，当点 E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0， ）时，△AOE 是等腰三角形．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关
键．
20. （2018•资阳•8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y1=2x﹣2 与双曲线 y2= 交于 A.C59
两点，AB⊥OA 交 x 轴于点 B，且 OA=AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点 C 的坐标，并直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围．
【分析】（1）作高线 AC，根据等腰直角三角形的性质和点 A 的坐标的特点得：x=2x﹣2，可
得 A 的坐标，从而得双曲线的解析式；
（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点 C 的坐标，根据图象可得结论．
【解答】解：（1）∵点 A 在直线 y1=2x﹣2 上，
∴设 A（x，2x﹣2），
过 A 作 AC⊥OB 于 C，
∵AB⊥OA，且 OA=AB，
∴OC=BC，
∴AC= OB=OC，
∴x=2x﹣2，
x=2，
∴A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴ ；
（2）∵ ，解得： ， ，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2 时 x 的取值范围是 x＜﹣1 或 0＜x＜2．60
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数
解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．
21. （2018•乌鲁木齐•10 分）小明根据学习函数的经验，对 y=x+ 的图象与性质进行了探
究．
下 面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=x+ 的自变量 x 的取值范围是 ．
（2）下表列出 y 与 x 的几组对应值，请写出 m，n 的值：m= ，n= ；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1
﹣ ﹣
1 2 3 4 …
y …
﹣ ﹣
﹣2
﹣ ﹣
m 2 n …
（3）如图．在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出
的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象．请完成：
①当 y=﹣ 时，x= ．
②写出该函数的一条性质 ．
③若方程 x+ =t 有两个不相等的实数根，则 t 的取值范围是 ．
【分析】（1）由 x 在分母上，可得出 x≠0；61
（2）代入 x= 、3 求出 m、n 的值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①代入 y=﹣ ，求出 x 值；
②观察函数图象，写出一条函数性质；
③观察函数图象 ，找出当 x+ =t 有两个不相等的实数根时 t 的取值范围（亦可用根的判别
式去求解）．
【解答】解：（1）∵x 在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当 x= 时，y=x+ = ；
当 x=3 时，y=x+ = ．
故答案为： ； ．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当 y=﹣ 时，有 x+ =﹣ ，
解得：x1=﹣4，x2=﹣ ．
故答案为：﹣4 或﹣ ．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵x+ =t 有两个不相等的实数根，
∴t＜﹣2 或 t＞2．
故答案为：t＜﹣2 或 t＞2．62
【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以及正比例
函数图象，解题的关键是：（1）由 x 在分母上找出 x≠0；（2）代入 x= 、3 求出 m、n 的
值；（3）连点成线，画出函数图象；（4）①将﹣ 化成﹣4﹣ ；②观察函数图象找出函
数性质；③观察函数图象找出 t 的取值范围．
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