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跨学科结合与高中衔接问题
一.选择题
1.（2018•江苏苏州•3 分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向
游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比
值．
【解答】解：∵总面积为 3×3=9，其中阴影部分面积为 4× ×1×2=4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影
区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件
（A）发生的概率．
2.（2018•江苏徐州•2 分）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则
小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．
【解答】解：设小正方形的边长为 1，则其面积为 1．
∵圆的直径正好是大正方形边长，
∴根据勾股定理，其小正方形对角线为 ，即圆的直径为 ，
∴大正方形的边长为 ，2
则大正方形的面积为 × =2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 ．
故选：C．
【点评】用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长
的关系．
3. （2018•达州•3 分）平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（m，n），则向量 可以用点 P 的
坐标表示为 =（m，n）；已知 =（x1，y1）， =（x2，y2），若 x1x2+y1y2=0，则 与
互相垂直．
下面四组向量：① =（3，﹣9）， =（1，﹣ ）；
② =（2，π0）， =（2﹣1，﹣1）；
③ =（cos30°，tan45°）， =（sin30°，tan45°）；
④ =（ +2， ）， =（ ﹣2， ）．
其中互相垂直的组有（ ）
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；
【解答】解：①∵3×1+（﹣9）×（﹣ ）=6≠0，
∴ 与 不垂直．
②∵2×2﹣1+π0×（﹣1）=0，
∴ 与 垂直．
③∵cos30°×sin30°+tan45°×tan45°≠0，
∴ 于 不垂直．
④∵ + × ≠0，
∴ 与 不垂直．
故选：A．3
【点评】本题考查平面向量、零指数幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4. （2018•达州•3 分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，
然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数
y（单位：N）与铁块被提起的高度 x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F 拉+F 浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学
思想解答．
5. （2018•广西北海•3分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，
以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB＝2，则莱洛三角形的
面积（即阴影部分面积）为
A. π＋ B. π－ C. 2π－ D. 2π
－2
【答案】 D
【考点】等边三角形的性质与面积计算、扇形的面积计算公式.
【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块4
扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积，即S 阴影=3×S 扇形-2×S∆
ABC .
60 2
由题意可得，S 扇形=π×22× = π.
360 3
要求等边三角形 ABC 的
面积需要先求高. 如下图，
过 AD 垂直 BC 于 D,可
知，
在 Rt∆ABD 中 ，sin60°= AD = AD ，
AB 2
所以 AD=2×sin60°= ，
所以 S∆ABC= 1 ×BC×AD= 1 ×2×= .
2 2
所以 S 阴影=3×S 扇形-2×S∆ABC=3× 2 π-2× =2π-2 .
3
故选 D.
【点评】求不规则图形面积关键是转化到规则图形中应用公式求解。
二.填空题
1. （2018•上海•4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，
与 AB 的延长线交于点 F．设 = ， = 那么向量 用向量 、 表示为 +2 ．5
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC 是平行四边形，则 DC=BF，故
AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．
【解答】解：如图，连接 BD，FC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∴△DCE∽△FBE．
又 E 是边 BC 的中点，
∴ = = ，
∴EC=BE，即点 E 是 DF 的中点，
∴四边形 DBFC 是平行四边形，
∴DC=BF，故 AF=2AB=2DC，
∴ = + = +2 = +2 ．
故答案是： +2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注
意掌握三角形法则的应用是关键．
三.解答题
1.（2018•山东济宁市•9
分）知识背景
当a＞0 且x＞0 时，因为（ ﹣ ）2≥0，所以 x﹣2 + ≥0，从而x+
（当x= 时取等号．6
设函数y=x+ （a＞0，x＞0，由上述结论可知：当 x= 时，该函数有最小值为
2 ． 应
用举例
已知函数为y1=x（x＞0）与函数 y2= （x＞0，则当 x= =2 时，y1+y2=x+ 有最
小值为2 =4．
解 决 问
题
（1）已知函数为 y1=x+3（x＞﹣3）与函数 y2=（x+3）2+9（x＞﹣3，当 x 取何
值时， 有最小值？最小值是多少？
（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共
490 元；二是设备的租赁使用费用，每天200 元；三是设备的折旧费用，它与使 用天数的
平方成正比，比例系数为 0.001．若设该设备的租赁使用天数为 x 天， 则当x 取何值时，
该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？
【解答】解（1） = =（x+3）+ ，
∴当x+3= 时， 有最小值，
∴x=0 或﹣6（舍弃）时，有最小值=6．
（2）设该设备平均每天的租货使用成本为 w 元． 则w=7
= +0.001x+200，
∴当 =0.001x 时，w 有最小值，
∴x=700 或﹣700（舍弃）时，w 有最小值，最小值=201.4 元．
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