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全等三角形
一.选择题
1. （2018•遂宁•4 分）下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．六边形的内角和是 540°
【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理．
【解答】解：A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角
分别对应相等的两个三角形全等；
B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；
D.六边形的内角和是 720°，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理，正
确把握相关性质是解题关键．
2. （2018•贵州安顺•3 分） 如图，点，分别在线段 ， 上， 与 相交于点，已知
，现添加以下哪个条件仍不能判定 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：欲使△ABE≌△ACD，已知 AB=AC，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA
添加条件，逐一证明即可．
详解：∵AB=AC，∠A 为公共角，
A.如添加∠B=∠C，利用 ASA 即可证明△ABE≌△ACD；
B.如添 AD=AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD；
C.如添 BD=CE，等量关系可得 AD=AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD；
D.如添 BE=CD，因为 SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．2
故选 D．
点睛：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生
应熟练掌握全等三角形的判定定理．
3. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠
DCB=90°，则四边形 ABCD 的面积为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
【分析】过 A 作 AE⊥AC，交 CB 的延长线于 E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE 是等腰
直角三角形，四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，根据 S△ACE= ×5×5=12.5，即可得
出结论．
【解答】解：如图，过 A 作 AE⊥AC，交 CB 的延长线于 E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE 是等腰直角三角形，
∴四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，
∵S△ACE= ×5×5=12.5，
∴四边形 ABCD 的面积为 12.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的
性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在
应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造3
三角形．
4.（2018•贵州黔西南州•4 分）下列各图中 A.B.c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角
形和左侧△ABC 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等，甲与△ABC 不全等．
【解答】解：乙和△ABC 全等；理由如下：
在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC 全等；
在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC 全等；
不能判定甲与△ABC 全等；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA.AAS、HL．注意：AAA.SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必
须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（2018 年湖南省娄底市）如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D 点，DE⊥AB 于点 E，BF⊥
AC 于点 F，DE=3cm，则 BF= 6 cm．
【分析】先利用 HL 证明 Rt△ADB≌Rt△ADC，得出 S△ABC=2S△ABD=2× AB•DE=AB•DE=3AB，又
S△ABC= AC•BF，将 AC=AB 代入即可求出 BF．
【解答】解：在 Rt△ADB 与 Rt△ADC 中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，4
∴S△ABC=2S△ABD=2× AB•DE=AB•DE=3AB，
∵S△ABC= AC•BF，
∴ AC•BF=3AB，
∵AC=AB，
∴ BF=3，
∴BF=6．
故答案为 6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面
积公式得出等式是解题的关键．
6. （2018•遂宁•4 分）下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．六边形的内角和是 540°
【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理．
【解答】解：A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角
分别对应相等的两个三角形全等；
B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；
D.六边形的内角和是 720°，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理，正
确把握相关性质是解题关键．
二.填空题
1.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x＞0）与正比例
函数 y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点 A.B，若∠AOB＝45°，则△AOB 的面积是
________.5
【答案】2
【分析】作 BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB（如图），设 A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反
比例函数 k 的几何意义得 x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与 y=kx，y= 联立，解得 x1= ，x2=
，从而得 x1x2=2，所以 y1=x2， y2=x1， 根据 SAS 得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得
AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据 AAS
得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得 S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=
x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.
【详解】如图：作 BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB，
设 A（x1，y1），B（x2 ， y2），
∵A.B 在反比例函数上，∴x1y1=x2y2=2，
∵ ，解得：x1= ，
又∵ ，解得：x2= ，∴x1x2= × =2，∴y1=x2， y2=x1，即 OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO= x1y1+ x2y2= ×2+
×2=2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全6
等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
2. （2018•达州•3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点 D 是 BC 边上一点且
CD=1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt△AOP．当 P
从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长为 ．
【分析】过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF 为矩形，由
△AOP 为等腰直角三角形得到 OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以 AE=PF，
OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到 CO 平分∠ACP，从而可判断当 P 从点 D 出发
运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线段，接着证明 CE= （AC+CP），然后分别计算
P 点在 D 点和 B 点时 OC 的长，从而计算它们的差即可得到 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，
点 O 的运动路径长．
【解答】解：过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，
∵△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形 OECF 为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO 平分∠ACP，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线段，
∵AE=PF，
即 AC﹣CE=CF﹣CP，
而 CE=CF，
∴CE= （AC+CP），
∴OC= CE= （AC+CP），
当 AC=2，CP=CD=1 时，OC= ×（2+1）= ，7
当 AC=2，CP=CB=5 时，OC= ×（2+5）= ，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长= ﹣ =2 ．
故答案为 2 ．
【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定
轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
3.（2018•湖州•4 分）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为
格点．以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个
直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦
图．例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为 ，此时正方形 EFGH 的而
积为 5．问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH 的面积的所有可能
值是 13 或 49 （不包括 5）．
【分析】当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH 的
面积为 13．当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为
49．
【解答】解：当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH
的面积为 13．
当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 49．
故答案为 13 或 49．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是
学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8
4. （2018•金华、丽水•4 分）如图，△ABC 的两条高 AD ， BE 相交于点 F ，请添加一个
条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添
加的条件是________．
【解析】【解答】从题中不难得出∠ADC=∠BEC=90°，而且∠
ACD=∠BCE（公共角），则只需要加一个对应边相等的条件即
可，所以从“CA=CB，CE=CD，BE=AD”中添加一个即可。
故答案为：CA=CB，CE=CD（答案不唯一）。
【分析】判断两个三角形全等，判定定理有“AAS，SSS，SAS，ASA，HL”， 只需要添加一个
条件，那么就要从题目中找出其他两个条件， 再根据判定定理，缺什么就添什么条件。
5. （2018•达州•3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点 D 是 BC 边上一点且
CD=1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt△AOP．当 P
从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长为 ．
【分析】过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF 为矩形，由
△AOP 为等腰直角三角形得到 OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以 AE=PF，
OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到 CO 平分∠ACP，从而可判断当 P 从点 D 出发
运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线段，接着证明 CE= （AC+CP），然后分别计算
P 点在 D 点和 B 点时 OC 的长，从而计算它们的差即可得到 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，
点 O 的运动路径长．
【解答】解：过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，
∵△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形 OECF 为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO 平分∠ACP，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线段，9
∵AE=PF，
即 AC﹣CE=CF﹣CP，
而 CE=CF，
∴CE= （AC+CP），
∴OC= CE= （AC+CP），
当 AC=2，CP=CD=1 时，OC= ×（2+1）= ，
当 AC=2，CP=CB=5 时，OC= ×（2+5）= ，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长= ﹣ =2 ．
故答案为 2 ．
【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定
轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
三.解答题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·10 分）问题：如图①，在 Rt△ABC
中，AB=AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到
AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ；
探索：如图②，在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中，AB=AC，AD=AE，将△ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落
在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3，求 AD 的
长．10
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股
定理计算即可；
（3）作 AE⊥AD，使 AE=AD，连接 CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到 BD=CE=9，根据勾股定
理计算即可．
【解答】解：（1）BC=DC+EC，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD 和△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
故答案为：BC=DC+EC；
（2）BD2+CD2=2AD2，
理由如下：连接 CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=90°，
∴CE2+CD2=ED2，
在 Rt△ADE 中，AD2+AE2=ED2，又 AD=AE，
∴BD2+CD2=2AD2；
（3）作 AE⊥AD，使 AE=AD，连接 CE，DE，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°，11
∴DE= =6 ，
∵∠DAE=90°，
∴AD=AE= DE=6．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全
等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
2. （2018·湖南怀化·10 分）已知：如图，点 A．F，E．C 在同一直线上，AB∥DC，
AB=CD，∠B=∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，连接 EG，且 EG=5，求 AB 的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE 与△CDF 中 ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；12
（2）∵点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，
∴ED= CD，
∵EG=5，
∴CD=10，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=10．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．
3.（2018•江苏宿迁•8 分）如图，在□ABCD 中，点 E.F 分别在边 CB.AD 的延长线上，且 BE＝
DF，EF 分别与 AB.CD 交于点 G、H，求证：AG＝CH.
【答案】证明见解析.
【分析】根据平行四边形的性质得 AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得
∠E=∠F，再结合已知条件可得 AF=CE，根据 ASA 得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边
相等得证.
【详解】∵在四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，
又∵BE＝DF，∴AD+DF=CB+BE，即 AF=CE，
在△CEH 和△AFG 中， ，∴△CEH≌△AFG，∴CH=AG.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是
解题的关键.
4.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形 ABCD 为平行四边形”作为结论，完成下列各
题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是 SSA，不一定全等，那么就不能
得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行13
可得到两对内错角相等，那么 AD，BC 所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么
是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．
【解答】解：（1）①④为论断时：
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．
又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．∴AD=BC．∴四边形 ABCD 为平行四边形．
（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四
边形的判断．
5.（2018•江苏无锡•8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E.F 分别是边 BC.AD 的中点，求证：∠
ABF=∠CDE．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：在▱ABCD 中，AD=BC，∠A=∠C，
∵E.F 分别是边 BC.AD 的中点，∴AF=CE，
在△ABF 与△CDE 中，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠ABF=∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三
角形，本题属于中等题型
6.（2018•江苏淮安•8 分）已知：如图，▱ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，过点 O 的直线
分别与 AD.BC 相交于点 E.F．求证：AE=CF．14
【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用 ASA
求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三
角形的判定方法是解题关键．
7.（2018•江苏苏州•6 分）如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求
证：BC∥EF．
【分析】由全等三角形的性质 SAS 判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，
∵AF=DC，∴AC=DF．
∴在△ABC 与△DEF 中，
，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找
全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．15
6.（2018•江苏宿迁•12 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E.F 分别在边 AB.CD
上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D
重合），点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，设 BE=x，
（1）当 AM= 时，求 x 的值；
（2）随着点 M 在边 AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；
如不变，请求出该定值；
（3）设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.
【分析】（1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 Rt△AME 中，根据勾股
定理得（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .
（2）△PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B 作 BH⊥MN，根据折叠性
质知 BE=ME，由等边对等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角
形的判定 AAS 得 Rt△ABM≌Rt△HBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM，AB=HB=BC，又根据全
等三角形的判定 HL 得 Rt△BHP≌Rt△BCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长
和等量代换即可得出△PDM 周长为定值 2.
（3）过 F 作 FQ⊥AB，连接 BM，由折叠性质可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，由等角的余角相等
得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定 ASA 得 Rt△ABM≌Rt△QFE，据全等三角形的性
质得 AM=QE；设 AM 长为 a，在 Rt△AEM 中，根据勾股定理得（1-x）2+a2=x2,从而得 AM=QE=
,
BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S 与 x 的函数关系式；又由（1-x）
2+a2=x2,得 x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0
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