1
方案设计
一.选择题
1.
2.
二.填空题
1.
2.
三.解答题
1. （2018•福建 A 卷•10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙
和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100
米木栏．
（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值．
【分析】（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到 x（100﹣2x）=450，解
方程得 x1=5，x2=45，然后计算 100﹣2x 后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长；
（2）设 AD=xm，利用矩形面积得到 S= x（100﹣x），配方得到S=﹣ （x﹣50）2+1250，讨论：
当 a≥50 时，根据二次函数的性质得 S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，则当 0＜x≤a 时，根
据二次函数的性质得 S 的最大值为 50a﹣ a2．
【解答】解：（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m，
根据题意得 x（100﹣2x）=450，解得 x1=5，x2=45，
当 x=5 时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当 x=45 时，100﹣2x=10，
答：AD 的长为 10m；
（2）设 AD=xm，
∴S= x（100﹣x）=﹣ （x﹣50）2+1250，
当 a≥50 时，则 x=50 时，S 的最大值为 1250；
当 0＜a＜50 时，则当 0＜x≤a 时，S 随 x 的增大而增大，当 x=a 时，S 的最大值为 50a﹣ a2，2
综上所述，当 a≥50 时，S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，S 的最大值为 50a﹣ a2．
【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，
然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值
时，一定要注意自变量 x 的取值范围．
2.（2018•福建 B 卷•10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩
形菜园 ABCD，已知木栏总长为 100 米．
（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为
450 平方米．
如图 1，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）已知 0＜α＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使
得所围成的矩
形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【分析】（1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关
系．
【解答】解：（1）设 AD=x 米，则 AB=
依题意得，
解得 x1=10，x2=90
∵a=20，且 x≤a
∴x=90 舍去
∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．
（2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：3
S= ，0＜x＜a
∵0＜α＜50
∴x＜a＜50 时，S 随 x 的增大而增大
当 x=a 时，S 最大=50a﹣
②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得
S= ，a≤x＜50+
当 a＜25+ ＜50 时，即 0＜a＜ 时，
则 x=25+ 时，S 最大=（25+ ）2=
当 25+ ≤a，即 时，S 随 x 的增大而减小
∴x=a 时，S 最大=
综合①②，当 0＜a＜ 时，
﹣（ ）=
＞ ，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为
平方米
当 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴ 当 0 ＜ a ＜ 时 ， 围 成 长 和 宽 均 为 （ 25+ ） 米 的 矩 形 菜 园 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 为
平方米；
当 时，围成长为 a 米，宽为（50﹣ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为4
（ ）平方米．
【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类
讨论变量大小关系．
3.（2018·湖南怀化·10 分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购
进 A，B 两种树苗，共 21 棵，已知 A 种树苗每棵 90 元，B 种树苗每棵 70 元．设购买 A 种树苗 x
棵，购买两种树苗所需费用为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数表达式，其中 0≤x≤21；
（2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案
所需费用．
【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用=A 种树苗费用+B 种树苗费用，即可解答；
（2）根据购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，列出不等式，确定 x 的取值范围，再根据
（1）得出的 y 与 x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合
算的方案．
【解答】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470，
所以函数解析式为：y=20x+1470；
（2）∵购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，
∴21﹣x＜x，
解得：x＞10.5，
又∵y=20x+1470，且 x 取整数，
∴当 x=11 时，y 有最小值=1690，
∴使费用最省的方案是购买 B 种树苗 10 棵，A 种树苗 11 棵，所需费用为 1690 元．
【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关
键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
4.（2018 年湖南省娄底市）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买
A.B 两种型号的垃圾处理设备共 10 台．已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨；每台 B 型设备日
处理能力为 15 吨；购回的设备日处理能力不低于 140 吨．
（1）请你为该景区设计购买 A.B 两种设备的方案；
（2）已知每台 A 型设备价格为 3 万元，每台 B 型设备价格为 4.4 万元．厂家为了促销产品，规
定货款不低于 40 万元时，则按 9 折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为
什么？
【分析】（1）设购买 A 种设备 x 台，则购买 B 种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力
不低于 140 吨列出不等式 12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据 x 为正整数，得出 x=1，2，
3．进而求解即可；
（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．5
【解答】解：（1）设购买 A 种设备 x 台，则购买 B 种设备（10﹣x）台，
根据题意，得 12x+15（10﹣x）≥140，
解得 x≤3 ，
∵x 为正整数，
∴x=1，2，3．
∴该景区有三种设计方案：
方案一：购买 A 种设备 1 台，B 种设备 9 台；
方案二：购买 A 种设备 2 台，B 种设备 8 台；
方案三：购买 A 种设备 3 台，B 种设备 7 台；
（2）各方案购买费用分别为：
方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；
方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；
方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；
∵37.08＜38.04＜39.8，
∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系
是解决问题的关键．
5.（2018 湖南湘西州 12.00 分）某商店销售 A 型和 B 型两种电脑，其中 A 型电脑每台的利润为
400 元，B 型电脑每台的利润为 500 元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共 100 台，其
中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润
为 y 元．
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进 A 型电
脑 60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这 100 台电脑销售总
利润最大的进货方案．
【分析】（1）根据“总利润=A 型电脑每台利润×A 电脑数量+B 型电脑每台利润×B 电脑数量”可
得函数解析式；
（2）根据“B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍且电脑数量为整数”求得 x 的范围，再结
合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得 y=（400+a）x+500（100﹣x），即 y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①
当 0＜a＜100 时，y 随 x 的增大而减小，②a=100 时，y=50000，③当 100＜m＜200 时，a﹣100＞
0，y 随 x 的增大而增大，分别进行求解．6
【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥ ，
∵y=﹣100x+50000 中 k=﹣100＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵x 为正数，
∴x=34 时，y 取得最大值，最大值为 46600，
答：该商店购进 A 型 34 台、B 型电脑 66 台，才能使销售总利润最大，最大利润是 46600 元；
（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即 y=（a﹣100）x+50000，
33 ≤x≤60
①当 0＜a＜100 时，y 随 x 的增大而减小，
∴当 x=34 时，y 取最大值，
即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大．
②a=100 时，a﹣100=0，y=50000，
即商店购进 A 型电脑数量满足 33 ≤x≤60 的整数时，均获得最大利润；
③当 100＜a＜200 时，a﹣100＞0，y 随 x 的增大而增大，
∴当 x=60 时，y 取得最大值．
即商店购进 60 台 A 型电脑和 40 台 B 型电脑的销售利润最大．
【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数 x
值的增大而确定 y 值的增减情况．
6.（2018•山东济宁市•7 分）绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自
清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人
数/人
清理捕鱼网箱人
数/人
总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的
人均支出费用各是多少元；7
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理
养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于 清理捕鱼
网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【解答】解（1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用 为y 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000 元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000 元；
（2）设m 人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱， 根据题
意，得： ，
解得：18≤m＜20，
∵m 为整数，
∴m=18 或m=19， 则分配清理人
员方案有两种：
方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱； 方
案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱．
7.（2018·湖北省恩施·10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A.B 两种型号的空调，
已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的
费用多 6000 元．
（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购 A.B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一半，
两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
【解答】解：（1）设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元，8
，解得， ，
答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；
（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12 ，
∴a=10.11.12，共有三种采购方案，
方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台，
方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台，
方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台；
（3）设总费用为 w 元，
w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，
∴当 a=10 时，w 取得最小值，此时 w=210000，
即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000 元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解
答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
8.（2018•贵州铜仁•12 分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买 1 张办
公桌必须买 2 把椅子，椅子每把 100 元，若学校购进 20 张甲种办公桌和 15 张乙种办公桌共
花费 24000 元；购买 10 张甲种办公桌比购买 5 张乙种办公桌多花费 2000 元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共 40 张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3 倍，
请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，根据“甲种桌子总钱数+乙种
桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10 把甲种桌子钱数﹣5 把乙种桌子钱数+多出 5 张桌子
对应椅子的钱数=2000”列方程组求解可得；
（2）设甲种办公桌购买 a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为 y，根据“总
费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲种
办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3 倍”得出自变量 a 的取值范围，继而利用一次函数的
性质求解可得．
【 解答】解：（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，
根据题意，得： ，9
解得： ，
答：甲种办公桌每张 400 元，乙种办公桌每张 600 元；
（2）设甲种办公桌购买 a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为 y，
则 y=400a+600（40﹣a）+2×40×100
=﹣200a+32000，
∵a≤3（40﹣a），
∴a≤ 30，
∵﹣200＜0，
∴y 随 a 的增大而减小，
∴当 a=30 时，y 取得最小值，最小值为 26000 元．
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