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阅读理解、图表信息(包括新定义,新运算)
一.选择题
1.（2018•江苏无锡•3 分）某商场为了解产品 A 的销售情况，在上个月的销售记录中，随机
抽取了 5 天 A 产品的销售记录，其售价 x（元/件）与对应销量 y（件）的全部数据如下表：
售价 x（元/件） 90 95 100 105 110
销量 y（件） 110 100 80 60 50
则这 5 天中，A 产品平均每件的售价为（ ）
A．100 元 B．95 元 C．98 元 D．97.5 元
【分析】根据加权平均数列式计算可得．
【解答】解：由表可知，这 5 天中，A 产品平均每件的售价为
=98（元/件），
故选：C．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义及其计算公式．
二.填空题
1. （2018•金华、丽水•4 分）对于两个非零实数 x ， y ， 定义一种新的运算：
．若 ，则 的值是________．
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
则 =
故答案为：-1.
【分析】给的新定义运算中，有 a，b 两个字母，而题中只给了 一个条件，就
不能把 a，b 两个值都能求出，但能求出 a 与 b 的数量关系，将 a 与 b 的数量等式代入到
中即可得出。
2.（2018·湖北省恩施·3 分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子
上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，
满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1946
个．2
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为 2.0×
6.3×6×6.2×6×6×6.1×6×6×6×6，然后把它们相加即可．
【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946，
故答案为：1946．
【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图
中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查
了学生的思维能力．
三.解答题
1.（2018•江苏宿迁•8 分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记 m
分（60≤m≤100），组委会从 1000 篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，
并绘制了如下不完整的两幅统计图表.
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）征文比赛成绩频数分布表中 c 的值是________；
（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；
（3）若 80 分以上（含 80 分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.3
【答案】（1）0.2；（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图见解析；（3）全市获得一等奖
征文的篇数为 300 篇.
【分析】（1）由频率之和为 1，用 1 减去其余各组的频率即可求得 c 的值；
（2）由频数分布表可知 60≤m＜70 的频数为：38，频率为：0.38，根据总数=频
数÷频率得样本容量，再由频数=总数×频率求出 A.b 的值，根据 A.b 的值补全图
形即可；
（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，再用总篇数×一等
奖的频率=全市一等奖征文篇数.
【详解】（1）c=1-0.38-0.32-0.1=0.2，
故答案为：0.2；
（2）38÷0.38=100，a=100×0.32=32，b=100×0.2=20，
补全征文比赛成绩频数分布直方图如图所示：
（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，
∴全市获得一等奖征文的篇数为：1000×0.3=300（篇），
答：全市获得一等奖征文的篇数为 300 篇.
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟知频数、频率、总数之间的关系是解
本题的关键.
2.（2018•江苏徐州•7 分）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图表，请你根据
图表信息完成下列各题：
项目 月功能费 基本话费 长途话费 短信费
金额/元 54
（1）该月小王手机话费共有多少元？
（2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角为多少度？
（3）请将表格补充完整；
（4）请将条形统计图补充完整．
【分析】（1）由于月功能费为 5 元，占的比例为 4%，所以小王手机话费=5÷4%=125 元；
（2）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比×360 度知，表
示短信费的扇形的圆心角=（1﹣36%﹣40%﹣4%）×360°=72°；
（ 3 ） 基 本 话 费 =125×40%=50 元 ， 长 途 话 费 =125×36%=45 元 ， 短 信 费 =125×
（1﹣36%﹣40%﹣4%）=25 元．
【解答】解：（1）小王手机总话费=5÷4%=125 元．
（2）表示短信费的扇形的圆心角=（1﹣36%﹣40%﹣4%）×360°=72°．
（3）50、45.25
项目 月功能费 基本话费 长途话费 短信费
金额/元 5 50 45 25
（ 4 ） 基 本 话 费 =125×40%=50 元 ， 长 途 话 费 =125×36%=45 元 ， 短 信 费 =125×
（1﹣36%﹣40%﹣4%）=25 元．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统5
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
3.（2018•江苏徐州•8 分）为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自 2018 年
11 月 17 日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图象（其中 a，b，c 为常数）
收费标准行驶路程
调价前 调价后
不超过 3km 的部分 起步价 6 元 起步价 a 元
超过 3km 不超出 6km 的部分 每公里 b 元
超出 6km 的部分
每公里 2.1 元
每公里 c 元
设行驶路程 xkm 时，调价前的运价 y1（元），调价后的运价为 y2（元）如图，折线 ABCD 表
示 y2 与 x 之间的函数关系式，线段 EF 表示当 0≤x≤3 时，y1 与 x 的函数关系式，根据图表
信息，完成下列各题：
①填空：a= 7 ，b= 1.4 ，c= 2.1 ．
②写出当 x＞3 时，y1 与 x 的关系，并在上图中画出该函数的图象．
③函数 y1 与 y2 的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，
若不存在请说明理由．
【分析】①a 由图可直接得出；B.c 根据：运价÷路程=单价，代入数值，求出即可；
②当 x＞3 时，y1 与 x 的关系，有两部分组成，第一部分为 6，第二部分为（x﹣3）×2.1，
所以，两部分相加，就可得到函数式，并可画出图象；
③当 y1=y2 时，交点存在，求出 x 的值，再代入其中一个式子中，就能得到 y 值；y 值的意
义就是指运价；
【解答】解：①由图可知，a=7 元，b=（11.2﹣7）÷（6﹣3）=1.4 元，
c=（13.3﹣11.2）÷（7﹣6）=2.1 元；
故答案为 7，1.4，2.1；
②由图得，当 x＞3 时，y1 与 x 的关系式是：y1=6+（x﹣3）×2.1，整理得，y1=2.1x﹣0.3；
函数图象如图所示：6
③由图得，当 3＜x＜6 时，y2 与 x 的关系式是：
y2=7+（x﹣3）×1.4，整理得，y2=1.4x+2.8；
所以，当 y1=y2 时，交点存在，即，2.1x﹣0.3=1.4x+2.8，解得，x= ，y=9；
所以，函数 y1 与 y2 的图象存在交点（ ，9）；
其意义为当 x 时是方案调价前合算，当 x 时方案调价后合算．
【点评】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，能够根据题意中的等量关系建立函
数关系式；能够根据函数解析式求得对应的 x 的值；作图关键是确定交点；体现了数形结合
思想．
4.（2018•江苏无锡•6 分）某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交
的二手轿车的全部数据，以二手轿车交易前的使用时间为标准分为 A.B.C.D.E 五类，并根据
这些数据由甲，乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车 3000 辆．
（2）把这幅条形统计图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）在扇形统计图中，D 类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为 54 度．
【分析】（1）根据 B 类别车辆的数量及其所占百分比可得总数量；
（2）用总数量乘以 C 类别的百分比求得其数量，据此即可补全条形图；
（3）用 360°乘以 D 类车辆占总数量的比例即可得出答案．
【解答】解：（1）该汽车交易市场去年共交易二手轿车 1080÷36%=3000 辆，7
故答案为：3000；
（2）C 类别车辆人数为 3000×25%=750 辆，
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，D 类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为 360°× =54°，
故答案为：54．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题时注意：条形统计图能清楚地表示
出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
5.（2018•江苏淮安•8 分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了
部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步
行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计
图．
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了 50 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有 1500 名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．
【分析】（1）根据乘车的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各种交通方式的人数之和等于总人数求得步行人数，据此可得；
（3）用总人数乘以样本中步行人数所占比例可得．
【解答】解：（1）本次调查中，该学校调查的学生人数为 20÷40%=50 人，8
故答案为：50；
（2）步行的人数为 50﹣（20+10+5）=15 人，
补全图形如下：
（3）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为 1500× =450 人．
【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
6.（2018•江苏淮安•12 分）如果三角形的两个内角α 与 β 满足 2α+β=90°，那么我们称
这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= 15 °；
（2）如图①，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证
明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D），使得△ABE 也是“准
互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准
互余三角形”，求对角线 AC 的长．
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得 CA2=CE•CB，由此即可解决问题；
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得 CF2=FB•FA，9
设 FB=x，则有：x（x+7）=122，推出 x=9 或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出 AC 即可；
【解答】解：（1）∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=60°，
解得，∠B=15°，
故答案为：15°；
（2）如图①中，
在 Rt△ABC 中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD 是“准互余三角形”，
∵△ABE 也是“准互余三角形”，
∴只有 2∠A+∠BAE=90°，
∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，可得 CA2=CE•CB，
∴CE= ，
∴BE=5﹣ = ．
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．10
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A.B.F 共线，
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有 2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2=FB•FA，设 FB=x，
则有：x（x+7）=122，
∴x=9 或﹣16（舍弃），
∴AF=7+9=16，
在 Rt△ACF 中，AC= = =20．
【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知
识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学
会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．
7. （2018•嘉兴•12 分）我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角
形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
（1）概念理解:
如图 1,在 中, , . ,试判断 是否是“等高底”三角形，请
说明理由.
（2）问题探究:
如图 2, 是“等高底”三角形, 是“等底”，作 关于 所在直线的对称图形得
到 ,连结 交直线 于点 .若点 是 的重心,求 的值.
（3）应用拓展:
如图 3,已知 , 与 之间的距离为 2.“等高底” 的“等底” 在直线 上,点 在
直线 上,有一边的长是 的 倍.将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 , 所在
直线交 于点 .求 的值.11
【答案】（1）证明见解析；（2） （3） 的值为 , ,2
【解析】分析：（1）过点 A 作 AD⊥直线 CB 于点 D，可以得到 AD=BC=3，即可得到结论；
（2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD=BC， 再由 ΔA′BC
与 ΔABC 关于直线 BC 对称， 得到 ∠ADC=90°，由重心的性质，得到 BC=2BD．设
BD=x，则 AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得 AC= x，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论即可：①当 AB= BC 时，再分两种情况讨论；
②当 AC= BC 时，再分两种情况讨论即可．
详解：（1）是．理由如下：
如图 1，过点 A 作 AD⊥直线 CB 于点 D，
∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC=90°．
∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD= AC=3，
∴ AD=BC=3，
即 ΔABC 是“等高底”三角形．
（2）如图 2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD=BC，
∵ ΔA′BC 与 ΔABC 关于直线 BC 对称， ∴ ∠ADC=90°．
∵点 B 是 ΔAA′C 的重心， ∴ BC=2BD．
设 BD=x，则 AD=BC=2x，∴CD=3x ，
∴由勾股定理得 AC= x，
∴ ．
（3）①当 AB= BC 时，
Ⅰ．如图 3，作 AE⊥l1 于点 E， DF⊥AC 于点 F．
∵“等高底” ΔABC 的“等底”为 BC，l1//l2，
l1 与 l2 之间的距离为 2， AB= BC，12
∴BC=AE=2，AB=2 ，
∴BE=2，即 EC=4，∴AC= ．
∵ ΔABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到 ΔA' B' C，∴∠CDF=45°．
设 DF=CF=x ．
∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴ ，即 AF=2x．
∴AC=3x= ，可得 x= ，∴CD= x= ．
Ⅱ．如图 4，此时 ΔABC 是等腰直角三角形，
∵ ΔABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到 ΔA' B' C，
∴ ΔACD 是等腰直角三角形，
∴ CD= AC= ．
②当 AC= BC 时，
Ⅰ．如图 5，此时△ABC 是等腰直角三角形．
∵ ΔABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到 ΔA′ B′C，
∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．
Ⅱ．如图 6，作 AE⊥l1 于点 E，则 AE=BC，
∴AC= BC= AE，∴∠ACE=45°，
∴ΔABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到 ΔA′ B′C 时，
点 A′在直线 l1 上，
∴A′C∥l2，即直线 A′ C 与 l2 无交点．13
综上所述：CD 的值为 ， ，2．
点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以
及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
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