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开放性问题
一.选择题
1.（2018•贵州铜仁•4 分）定义新运算：a※b=a 2+b，例如 3※2=32+2=11，已知 4※x=20，
则 x= 4 ．
【分析】根据新运算的定义，可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值．
【解答】解：∵4※x=42+x=20，
∴x=4．
故答案为：4．
二.解答题
1.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形 ABCD 为平行四边形”作为结论，完成下列各
题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是 SSA，不一定全等，那么就不能
得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行
可得到两对内错角相等，那么 AD，BC 所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么
是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．
【解答】解：（1）①④为论断时：
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．
又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．∴AD=BC．∴四边形 ABCD 为平行四边形．
（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四
边形的判断．
2. （2018·湖北省恩施·12 分）如图，已知抛物线交 x 轴于 A.B 两点，交 y 轴于 C 点，A
点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点 D 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为坐标平面内一点，以 B.C.D.P 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1.M2.M3 使得△M1BC.△M2BC.△M3BC 的面积均为定值 S，求2
出定值 S 及 M1.M2.M3 这三个点的坐标．
【分析】（1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，再由 A 坐标，利用待定系数法确定出
抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边
形 BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出 P 坐标即可；
（3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时
交点坐标，确定出交点与直线 BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相
等的直线解析式，确定出所求 M 坐标，且求出定值 S 的值即可．
【解答】解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），
把 C（0，2）代入得：2=﹣3a，即 a=﹣ ，
则抛物线解析式为 y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2；
（2）抛物线 y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ，
∴D（1， ），
当四边形 CBPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（4， ）；
当四边形 CDBP 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（2，﹣ ）；
当四边形 BCPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（﹣2， ）；
（3）设直线 BC 解析式为 y=kx+b，
把 B（3，0），C（0，2）代入得： ，
解得： ，3
∴y=﹣ x+2，
设与直线 BC 平行的解析式为 y=﹣ x+b，
联立得： ，
消去 y 得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b= ，即 y=﹣ x+ ，
此时交点 M1 坐标为（ ， ）；
可得出两平行线间的距离为 ，
同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 的直线方程为 y=﹣ x+ ，
联立解得：M2（ ， ﹣ ），M3（ ，﹣ ﹣ ），
此时 S=1．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的
性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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