1
一元二次方程及其应用
一.选择题
1.（2018•江苏淮安•3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k+1=0 有两个相等的实数根，则 k 的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，解得 k=0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞
0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
2.（2018•江苏苏州•3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= 在第一象限内
的图象经过点 D，交 BC 于点 E．若 AB=4，CE=2BE，tan∠AOD= ，则 k 的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
【分析】由 tan∠AOD= = 可设 AD=3A.OA=4a，在表示出点 D.E 的坐标，由反比例函数经过点 D.E 列出关
于 a 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案．
【解答】解：∵tan∠AOD= = ，
∴设 AD=3A.OA=4a，
则 BC=AD=3a，点 D 坐标为（4a，3a），
∵CE=2BE，∴BE= BC=a，
∵AB=4，∴点 E（4+4a，a），
∵反比例函数 y= 经过点 D.E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a= 或 a=0（舍），则 k=12× =3，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D.E 的坐标及反比
例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k．
3.（2018•内蒙古包头市•3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0 有两个实数根，m 为正整数，且该2
方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出 m≤3，由 m 为正整数结合该方程的根都是整数，
即可求出 m 的值，将其相加即可得出结论．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0 有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m 为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2 或 3．
∴2+3=5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0 时，方程有实数根”是解题的
关键．
4.（2018•上海•4 分）下列对一元二次方程 x2+x﹣3=0 根的情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程 x2+x﹣3=0 有两个不相等
的实数根．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程 x2+x﹣3=0 有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5. （2018•乌鲁木齐•4 分）宾馆有 50 间房供游客居住，当毎间房毎天定价为 180 元时，宾馆会住满；当毎
间房毎天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出 20 元
的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10890 元？设房价定为 x 元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣ ）=10890 B．（x﹣20）（50﹣ ）=10890
C．x（50﹣ ）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣ ）﹣50×20=10890
【分析】设房价定为 x 元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【解答】解：设房价定为 x 元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣ ）=10890．
故选：B．3
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
6. （2018•嘉兴•3 分）欧几里得的《原本》记载.形如 的方程的图解法是：画 ，使 ,
, ,再在斜边 上截取 .则该方程的一个正根是（）
A. 的长. B. 的长 C. 的长 D. 的长
【答案】B
【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出 AB 的长，进而求得 AD 的长,即可发现
结论.
【解答】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD 的长就是方程的正根.
故选 B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
6. （2018•贵州安顺•3 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的
周长是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】试题分析：∵ ，
∴ ，
即 ， ，
①等腰三角形的三边是 2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是 2+5+5=12；4
即等腰三角形的周长是 12．故选 A．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．
7. （2018•广西桂林•3 分）已知关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实根，则 k 的值为（ ）
A. B. C. 2 或 3 D. 或
【答案】A
【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 k 的方程，解之即可得出结论．
详解：∵方程 有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k= ．
故选：A．
点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
8. （2018•广西南宁•3 分）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬
菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为 x，根据“从 80 吨增加到 100
吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 x，
根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为 80（1+x）吨
，2018 年蔬菜产量为 80（1+x）（1+x）吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，
即：80（1+x）（1+x）=100 或 80（1+x）2=100．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到 2017 年和
2018 年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
9. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，
计划安排 15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设共有 x 个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打
（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排 15 场比赛即可列出方程求
解．
【解答】解：设共有 x 个班级参赛，根据题意得：
=15，5
解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有 6 个班级参赛．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还
要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
10.（2018•福建 A 卷•4 分）已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根，下
列判断正确的是（ ）
A．1 一定不是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
B．0 一定不是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
C．1 和﹣1 都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
D．1 和﹣1 不都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出 b=a+1 或 b=﹣（a+1），当 b=a+1 时，﹣1 是方程 x2+bx+a=0 的
根；当 b=﹣（a+1）时，1 是方程 x2+bx+a=0 的根．再结合 a+1≠﹣（a+1），可得出 1 和﹣1 不都是关于 x 的
方程 x2+bx+a=0 的根．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴b=a+1 或 b=﹣（a+1）．
当 b=a+1 时，有 a﹣b+1=0，此时﹣1 是方程 x2+bx+a=0 的根；
当 b=﹣（a+1）时，有 a+b+1=0，此时 1 是方程 x2+bx+a=0 的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1 和﹣1 不都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0 时，方程有两个相等的实数根”是
解题的关键．
11.（2018•福建 B 卷•4 分）已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根，下
列判断正确的是（ ）
A．1 一定不是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
B．0 一定不是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
C．1 和﹣1 都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
D．1 和﹣1 不都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出 b=a+1 或 b=﹣（a+1），当 b=a+1 时，﹣1 是方程 x2+bx+a=0 的6
根；当 b=﹣（a+1）时，1 是方程 x2+bx+a=0 的根．再结合 a+1≠﹣（a+1），可得出 1 和﹣1 不都是关于 x 的
方程 x2+bx+a=0 的根．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴b=a+1 或 b=﹣（a+1）．
当 b=a+1 时，有 a﹣b+1=0，此时﹣1 是方程 x2+bx+a=0 的根；
当 b=﹣（a+1）时，有 a+b+1=0，此时 1 是方程 x2+bx+a=0 的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1 和﹣1 不都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0 时，方程有两个相等的实数根”是
解题的关键．
12.（2018•广东•3 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜ ．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相
等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
1.. （2018•广西北海•3分）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到
100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为
A. 80(1 + ): = 100 B. 100(1 − ): = 80
C. 80(1 + 2) = 100 D. 80(1 + :) = 1007
【答案】 A
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程8
【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，
则 2017 年蔬菜产量为80(1 + )吨，2018 年蔬菜产量为80(1 + ) (1 +
)吨. 预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，即80 (1 + )(1 + ) =
100，即80(1 + ): = 100.
故选 A.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理
清题目的意思， 找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量
关系式，列出方程.
14.（2018•广西贵港•3 分）已知 α，β 是一元二次方程 x 2+x﹣2=0 的两个实数根，则
α+β﹣αβ 的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】据根与系数的关系 α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出 α+β 和 αβ 的值，再把要求的
式子进行整理，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β 是方程 x2+x﹣2=0 的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．
15.（2018•贵州铜仁•4 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+3=0 的解为 （ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【解答】解：x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
16.（2018•贵州遵义•3 分）已知 x 1，x2 是关于 x 的方程 x2+bx﹣3=0 的两根，且满足
x1+x2﹣3x1x2=5，那么 b 的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用根与系数的关系得出 x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，进而求出答案．
【解答】解：∵x1，x2 是关于 x 的方程 x2+bx﹣3=0 的两根，9
∴x1+x2=﹣b，
x1x2=﹣3，
则 x1+x2﹣3x1x2=5，
﹣b﹣3×（﹣3）=5，
解得：b=4．
故选：A．
16.（2018 年湖南省娄底市）关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+k=0 的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞
0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有
如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0 时，方程无实数根．
17.（2018 湖南湘西州 4.00 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有一个解为 x=﹣1，
则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】设方程的另一个解为 x1，根据两根之和等于﹣ ，即可得出关于 x1 的一元一次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个解为 x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣ 、两根
之积等于 是解题的关键．
18.（2018•上海•4 分）下列对一元二次方程 x2+x﹣3=0 根的情况的判断，正确的是（ ）10
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程 x2+x﹣3=0
有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程 x2+x﹣3=0 有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题
的关键．
19.（2018•乌鲁木齐•4 分）宾馆有 50 间房供游客居住，当毎间房毎天定价为 180 元时，宾
馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆
需对居住的毎间房毎天支出 20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10890
元？设房价定为 x 元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣ ）=10890 B．（x﹣20）（50﹣ ）=10890
C．x（50﹣ ）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣ ）﹣50×20=10890
【分析】设房价定为 x 元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【解答】解：设房价定为 x 元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣ ）=10890．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含
的相等关系．
二.填空题
1.（2018·湖南郴州·3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx﹣6=0 有一个根为﹣3，则方
程的另一个根为 2 ．
【分析】根据根与系数的关系得出 a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．
【解答】解：设方程的另一个根为 a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是
解此题的关键．11
2. （2018·湖南怀化·4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m
的值是 1 ．
【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，可知其判别式为 0，
据此列出关于 m 的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴22﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相
等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．
3.（2018•江苏徐州•3 分）若 x1.x2 为方程 x2+x﹣1=0 的两个实数根，则 x1+x2= ﹣1 ．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得 x1+x2=﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，
x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ．
4.（2018•江苏淮安•3 分）一元二次方程 x2﹣x=0 的根是 x1=0，x2=1 ．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个
一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得 x=0 或 x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关
键．
5.（2018•江苏苏州•3 分）若关于 x 的一元二次方程 x 2+mx+2n=0 有一个根是 2，则 m+n=
﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入 x2+mx+2n=0 得到 4+2m+2n=0 得 n+m=﹣2，
然后利用整体代入的方法进行计算．12
【解答】解：∵2（n≠0）是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，
一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6.（2018•山东烟台市•3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m﹣1=0 的实数根 x1，x2，
满足 3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则 m 的取值范围是 3＜m≤5 ．
【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于 m 的不等式组，通过解该不等式
组，求得 m 的取值范围．
【解答】解：依题意得： ，
解得 3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于 m 的不等
式，注意：一元二次方程 ax2+bx+c=0（A.B.c 为常数，a≠0）①当 b2﹣4ac＞0 时，一元二
次方程有两个不相等的实数根，②当 b2﹣4ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，③
当 b2﹣4ac＜0 时，一元二次方程没有实数根．
7.（2018•山东聊城市•3 分）已知关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0 有两个相等的实根，
则 k 的值是 ．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于 k 的一元一次不等式及一元
一次方程，解之即可得出 k 的值．
【解答】解：∵关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0 有两个相等的实根，
∴ ，
解得：k= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0 时，方程有两个
相等的实数根”是解题的关键．13
8. （ 2018• 达 州 •3 分 ） 已 知 ： m2﹣2m﹣1=0 ， n2+2n﹣1=0 且 mn≠1 ， 则 的 值
为 ．
【分析】将 n2+2n﹣1=0 变形为 ﹣ ﹣1=0，据此可得 m， 是方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根，
由韦达定理可得 m+ =2，代入 =m+1+ 可得．
【解答】解：由 n2+2n﹣1=0 可知 n≠0．
∴1+ ﹣ =0．
∴ ﹣ ﹣1=0，
又 m2﹣2m﹣1=0，且 mn≠1，即 m≠ ．
∴m， 是方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根．
∴m+ =2．
∴ =m+1+ =2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出 m， 是方程
x2﹣2x﹣1=0 的两根及韦达定理．
9.（2018•资阳•3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx 2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0，则
m= ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m 的方程，通过解
关于 m 的方程求得 m 的值即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 mx2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0，
∴m2﹣2m=0 且 m≠0，
解得，m=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二
次项系数 a≠0 这一条件．
11.（2018•贵州黔西南州•3 分）三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程
x2﹣6x+8=0 的解，则此三角形周长是 13 ．14
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2 时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4 时，
看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当 x=2 时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以 x=2 舍去，
当 x=4 时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是 3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边
的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
12.(2018 湖南省邵阳市)（3 分）已知关于 x 的方程 x2+3x﹣m=0 的一个解为﹣3，则它的另
一个解是 0 ．
【分析】设方程的另一个解是 n，根据根与系数的关系可得出关于 n 的一元一次方程，解之
即可得出方程的另一个解．
【解答】解：设方程的另一个解是 n ，
根据题意得：﹣3+n=﹣3，
解得：n=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣ 、两根
之积等于 是解题的关键．
13.2018 湖南长沙 3.00 分）已知关于 x 方程 x2﹣3x+a=0 有一个根为 1，则方程的另一个根
为 2 ．
【分析】设方程的另一个根为 m，根据两根之和等于﹣ ，即可得出关于 m 的一元一次方程，
解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为 m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣ 是解题的关键
14. （2018 湖南张家界 3.00 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣kx+1=0 有两个相等的实数根，
则 k= ±2 ．15
【分析】根据题意可得△=0，进而可得 k2﹣4=0，再解即可．
【解答】解：由题意得：△=k2﹣4=0，
解得：k=±2，
故答案为：±2．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根
与△=b2﹣4ac 有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
15. （ 2018• 达 州 •3 分 ） 已 知 ： m2﹣2m﹣1=0 ， n2+2n﹣1=0 且 mn≠1 ， 则 的 值
为 ．
【分析】将 n2+2n﹣1=0 变形为 ﹣ ﹣1=0，据此可得 m， 是方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根，
由韦达定理可得 m+ =2，代入 =m+1+ 可得．
【解答】解：由 n2+2n﹣1=0 可知 n≠0．
∴1+ ﹣ =0．
∴ ﹣ ﹣1=0，
又 m2﹣2m﹣1=0，且 mn≠1，即 m≠ ．
∴m， 是方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根．
∴m+ =2．
∴ =m+1+ =2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出 m， 是方程
x2﹣2x﹣1=0 的两根及韦达定理．
16. （2018•资阳•3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx 2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0，则
m= ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m 的方程，通过解16
关于 m 的方程求得 m 的值即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 mx2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0，
∴m2﹣2m=0 且 m≠0，
解得，m=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二
次项系数 a≠0 这一条件．
三.解答题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+
（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求 m 的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到 m
的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到 x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21 得
到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于 m 的方程，然后利用（1）中 m 的范围确定 m
的值．
【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得 m≥﹣ ，
所以 m 的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得 x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得 m2+4m﹣12=0，解得 m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣ ，
∴m 的值为 2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两
根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了根的判别式．
2. （2018·湖北随州·7 分）己知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+3）x+k2=0 有两个不相等
的实数根 x1，x2．
（1）求 k 的取值范围；17
（2）若 + =﹣1，求 k 的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于 k 的一元一次方程，解
之即可得出 k 的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=﹣2k﹣3.x1x2=k2，结合 + =﹣1 即可得出关于 k
的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+3）x+k2=0 有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣ ．
（2）∵x1.x2 是方程 x2+（2k+3）x+k2=0 的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴ + = =﹣ =﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1 都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣ ，
∴k=3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 + =﹣1 找出关于 k
的分式方程．
3.（2018•江苏苏州•8 分）如图，已知抛物线 y=x2﹣4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的
左侧），C 为顶点，直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D．
（1）求线段 AD 的长；
（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C′．若新抛物线经过点 D，并
且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC′平行于直线 AD，求新抛物线对应的函数表
达式．18
【分析】（1）解方程求出点 A 的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点 C′的坐标，
根据题意求出直线 CC′的解析式，代入计算即可．
【解答】解：（1）由 x2﹣4=0 得，x1=﹣2，x2=2，
∵点 A 位于点 B 的左侧，∴A（﹣2，0），
∵直线 y=x+m 经过点 A，∴﹣2+m=0，解得，m=2，
∴点 D 的坐标为（0，2），
∴AD= =2 ；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，
y=x2+bx+2=（x+ ）2+2﹣ ，则点 C′的坐标为（﹣ ，2﹣ ），
∵CC′平行于直线 AD，且经过 C（0，﹣4），
∴直线 CC′的解析式为：y=x﹣4，
∴2﹣ =﹣ ﹣4，
解得，b1=﹣4，b2=6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2 或 y=x2+6x+2．
【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性
质、抛物线与 x 轴的交点的求法是解题的关键．
4.（2018•山东东营市•8 分）关于 x 的方程 2x2﹣5xsinA+2=0 有两个相等的实数根，其中∠
A 是锐角三角形 ABC 的一个内角．
（1）求 sinA 的值；
（2）若关于 y 的方程 y2﹣10y+k2﹣4k+29=0 的两个根恰好是△ABC 的两边长，求△ABC 的周
长．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得 sinA= ；
（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以 k=2，把 k=2
代入方程后解方程得到 y1=y2=5，则△ABC 是等腰三角形，且腰长为 5．19
分两种情况：当∠A 是顶角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，利用三角形函数求出 AD=3，
BD=4，再利用勾股定理求出 BC 即得到△ABC 的周长；
当∠A 是底角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=5，利用三角函数求出
AD 得到 AC 的长，从而得到△ABC 的周长．
【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，
∴sin2A= ，
∴sinA= 或 ，
∵∠A 为锐角，
∴sinA= ；
（2）由题意知，方程 y2﹣10y+k2﹣4k+29=0 有两个实数根，
则△≥0，
∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，
∴﹣（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2≤0，
又∵（k﹣2）2≥0，
∴k=2，
把 k=2 代入方程，得 y2﹣10y+25=0，
解得 y1=y2=5，
∴△ABC 是等腰三角形，且腰长为 5．
分两种情况：
当∠A 是顶角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=AC=5
∵sinA= ，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC= ．
∴△ABC 的周长为 ；
当∠A 是底角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=5，
∵sinA= ，
∴A D=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC 的周长为 16，
综合以上讨论可知：△ABC 的周长为 或 16．20
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有
如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0 时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．
5. （2018•遂宁•8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2x+a=0 的两实数根 x1，x2 满足
x1x2+x1+x2＞0，求 a 的取值范围．
【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于 a 的不等式，可求得 a 的取值范围，
再由根与系数的关系可用 a 表示出 x1x2 和 x1+x2 的值，代入已知条件可得到关于 a 的不等式，
则可求得 a 的取值范围．
【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得 x1x2=a，x1+x2=2，
∵x1x2+x1+x2＞0，
∴a+2＞0，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤1．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及
一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
6. （2018•杭州•10 分）设一次函数 （ 是常数， ）的图象过 A（1，
3），B（-1，-1）
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求 a 的值；
（3）已知点 C（x1 ， y1），D（x2 ， y2）在该一次函数图象上，设 m=（x1-x2）（y1-y2），
判断反比例函数 的图象所在的象限，说明理由。
【答案】（1）根据题意，得 ，解得 k=2，b=121
所以 y=2x+1
（2）因为点（2a+2，a2）在函数 y=2x+1 的图像上，所以 a2=4a+5
解得 a=5 或 a=-1
（3）由题意，得 y 1-y2=（2x 1+1）-（2x 2+1）=2（x 1-x2）所以 m=（x 1-x2）（y1-y2）=2
（x1-x2）2≥0，
所以 m+1＞0
所以反比例函数 的图像位于第一、第三象限
【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标，利用待定系数法，就可求出一次函数的解析式。
（2）将已知点的坐标代入所求函数解析式，建立关于 a 的方程，解方程求解即可。
（3）先求出 y1-y2=2（x1-x2），根据 m=（x1-x2）（y1-y2），得出 m=2（x1-x2）2≥0，从而可判
断 m+1 的取值范围，即可求解。
7. （2018•杭州•10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画
弧，交线段 AB 于点 D，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD。
（1）若∠A=28°，求∠ACD 的度数；
（2）设 BC=a，AC=b；①线段 AD 的长度是方程 的一个根吗？说明理由。
②若线段 AD=EC，求 的值．
【答案】（1）因为∠A=28°，所以∠B=62°又因为 BC=BD，所以∠BCD= ×（180°-62°）
=59°
∴∠ACD=90°-59°=31°
（2）因为 BC=a，AC=b，所以 AB= 所以 AD=AB-BD=
① 因 为 =
=0
所以线段 AD 的长是方程 x2+2ax-b2=0 的一个根。
②因为 AD=EC=AE=
所以 是方程 x2+2ax-b2=0 的根，22
所以 ，即 4ab=3b
因为 b≠0，所以 =
【考点】一元二次方程的根，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的认识
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠B 的度数，再根据已知可得出△BCD 是
等腰三角形，可求出∠BCD 的度数，从而可求得∠ACD 的度数。
（2）根据已知①BC=a，AC=b，利用勾股定理可求出 AB 的值，①再求出 AD 的长，再根据 AD
是原方程的一个根，将 AD 的长代入方程，可得出方程左右两边相等，即可得出结论；②根
据已知条件可得出 AD=EC=AE= ，将 代入方程化简可得出 4ab=3b，就可求出 a 与 b 之比。
8.（2018•贵州安顺•12 分）某地 年为做好“精准扶贫”，投入资金 万元用于异地安
置，并规划投入资金逐年增加， 年在 年的基础上增加投入资金 万元.
（1）从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 万元用于优先搬迁租房
奖励，规定前 户（含第 户）每户每天奖励元， 户以后每户每天奖励元，按租房
天计算，求 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
【答案】（1）从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 ；（2）
年该地至少有 户享受到优先搬迁租房奖励.
【解析】分析：（1）设年平均增长率为 x，根据：2015 年投入资金给×（1+增长率）2=2017
年投入资金，列出方程求解可得；
（2）设今年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前 1000 户获得的奖励总数+1000
户以后获得的奖励总和≥500 万，列不等式求解可得．
详解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为，根据题意得
，
解得： 或 （舍），
答：从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 ；
（2）设 年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，
∵ ，∴ ，
，
解得： ，
答： 年该地至少有 户享受到优先搬迁租房奖励.
点睛：本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据
此列出方程或不等式是解题的关键．23
9. （2018•广西玉林•6 分）已知关于 x 的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0 有两个不相等的
实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）给 k 取一个负整数值，解这个方程．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的 k 的范围内取﹣2，方程变形为 x 2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即
可．
【解答】解：（1 ）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得 k＞﹣3；
（2）取 k=﹣2，则方程变形为 x2﹣2x=0，解得 x1=0，x2=2．
10. （2018•广西玉林•9 分）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山
地自行车，今年一月份销售额为 30000 元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价 100
元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是 27000 元．
（1）求二月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了 10%销售，网店仍可获利
35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
【分析】（1）设二月份每辆车售价为 x 元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=
总价÷单价，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每辆山地自行车的进价为 y 元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于 y 的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为 x 元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，
根据题意得： = ，
解得：x=900，
经检验，x=900 是原分式方程的解．
答：二月份每辆车售价是 900 元．
（2）设每辆山地自行车的进价为 y 元，
根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，
解得：y=600．
答：每辆山地自行车的进价是 600 元．
11. （2018·黑龙江齐齐哈尔·5 分）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【分析】移项后提取公因式 x﹣3 后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），24
移项得：2（x﹣3） ﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0 或 2﹣3x=0，
解得：x1=3 或 x2= ．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，
避免两边同除以 x﹣3，这样会漏根．
12.（2018•福建 B 卷•10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一
个矩形菜园 ABCD，已知木栏总长为 100 米．
（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面
积为 450 平方米．
如图 1，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）已知 0＜α＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，
使得所围成的矩
形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【分析】（1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数
量关系．
【解答】解：（1）设 AD=x 米，则 AB=
依题意得，
解得 x1=10，x2=90
∵a=20，且 x≤a
∴x=90 舍去
∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．
（2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：25
S= ，0＜x＜a
∵0＜α＜50
∴x＜a＜50 时，S 随 x 的增大而增大
当 x=a 时，S 最大=50a﹣
②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得
S= ，a≤x＜50+
当 a＜25+ ＜50 时，即 0＜a＜ 时，
则 x=25+ 时，S 最大=（25+ ）2=
当 25+ ≤a，即 时，S 随 x 的增大而减小
∴x=a 时，S 最大=
综合①②，当 0＜a＜ 时，
﹣（ ）=
＞ ，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为
平方米
当 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当 0＜a＜ 时，围成长和宽均为（25+ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
平方米；
当 时，围成长为 a 米，宽为（50﹣ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为26
（ ）平方米．
【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意
分类讨论变量大小关系．
微信/支付宝扫码支付