1
实数(无理数,平方根,立方根)
一.选择题
1. （2018·湖南郴州·3 分）下列实数：3，0， ， ，0.35，其中最小的实数是（ ）
A．3 B．0 C． D．0.35
【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣ ＜0＜0.35＜ ＜3，
所以最小的实数是﹣ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正
实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.（2018•江苏徐州•2 分）4 的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a
的一个平方根．
【解答】解：∵（±2 ）2=4，∴4 的平方根是±2．
故选：A．
【点评】本题主要考查平方根的定义，解题时利用平方根的定义即可解决问题．
4．（2018•内蒙古包头市•3 分）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣2﹣3=﹣5，
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2018•内蒙古包头市•3 分）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0 且 x﹣1≠0，2
解得 x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6.2018•山东济宁市•3 分） 的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解答】
解： =-1． 故选：B．
7.（2018•山东聊城市•3 分）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项
【解答】解： ， ， 是有理数，
是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环
小数为无理数．如 π， ，0.8080080008…（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式．
8．（2018•福建 A 卷•4 分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π 中，最小的数是（ ）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π 中，
|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关
键．
9.（2018•福建 A 卷•4 分）已知 m= + ，则以下对 m 的估算正确的（ ）
3 1−
3 1−3
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【分析】直接化简二次根式，得出 的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵m= + =2+ ，
1＜ ＜2，
∴3＜m＜4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．
10.（2018•福建 B 卷•4 分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π 中，最小的数是（ ）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π 中，
|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关
键．
11.（2018•福建 B 卷•4 分）已知 m= + ，则以下对 m 的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【分析】直接化简二次根式，得出 的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵m= + =2+ ，
1＜ ＜2，
∴3＜m＜4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．
12.（2018•广东•3 分）四个实数 0、 、﹣3.14.2 中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．﹣3.14 D．2
【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得4
﹣3.14＜0＜ ＜2，
所以最小的数是﹣3.14．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正
实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
13.（2018•贵州安顺•3 分） 的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先求得 的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵ =2，
而 2 的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根是 ，
故选 B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则
容易出现选 A 的错误．
14.（2018•广西玉林•3 分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．1 B． C．﹣3 D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：1，﹣3， 是有理数，
是无理数，
故选：B．
15.（2018•贵州黔西南州•4 分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．
【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜ ，
所以最大的数是 ．
故选：D．5
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正
实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
16.（2018•贵州黔西南州•4 分）下列等式正确的是（ ）
A． =2 B． =3 C． =4 D． =5
【分析】根据算术平方根的定义逐一计算即可得．
【解答】解：A. = =2，此选项正确；
B. = =3 ，此选项错误；
C. =42=16，此选项错误；
D. =25 ，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．
17.（2018•贵州铜仁•4 分）9 的平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．3 和﹣3 D．81
【分析】依据平方根的定义求解即可．
【解答】解：9 的平方根是±3，
故选：C．
18. （2018 湖南长沙 3.00 分）估计 +1 的值是（ ）
A．在 2 和 3 之间 B．在 3 和 4 之间 C．在 4 和 5 之间 D．在 5 和 6 之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的
范围．
【解答】解：∵32=9，42=16，
∴ ，
∴ +1 在 4 到 5 之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，
“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
二.填空题
1.（2018·湖北随州·3 分）计算： ﹣|2﹣2 |+2tan45°= 4 ．6
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得
出答案．
【解答】解：原式=2 ﹣（2 ﹣2）+2×1
=2 ﹣2 +2+2
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
2.（2018·湖北襄阳·3 分）计算：|1﹣ |= ﹣1 ．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：|﹣ |= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．
3.（2018·湖南郴州·3 分）计算： = 3 ．
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
【解答】解：原式=3．
故答案为：3
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
4.（2018•山东烟台市•3 分）（π﹣3.14）0+tan60°= 1+ ．
【分析】直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+ ．
故答案为：1+ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
5.（2018•广东•3 分）一个正数的平方根分别是 x+1 和 x﹣5，则 x= 2 ．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于 x 的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知 x+1+x﹣5=0，
解得：x=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关
键．7
6.（2018•广东•3 分）已知 +|b﹣1|=0，则 a+1= 2 ．
【分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出 a，b 的值进而得出答案．
【解答】解：∵ +|b﹣1|=0，
∴b﹣1=0，a﹣b=0，
解得：b=1，a=1，
故 a+1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出 a，b 的值是解题关
键．
7.（2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 =
81， 35 = 243，…，根据其
中规律可得 30 + 31 + 32 +· · · + 32018 的结果的个位数字是 。
【答案】3
【考点】循环规律
【解析】∵ 30 = 1 ， 31 = 3 ， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81∴ 个 位 数 4 个 数 一
循 环 ， ∴
(2018+1)÷ 4 = 504 余 3 ，∴ 1+ 3 + 9 = 13，∴ 30 + 31 + 32 +· · ·8
+ 32018的个位数字是.解答题
8.（2018•海南•4 分）比较实数的大小：3 ＞ （填“＞”、“＜”或“=”）．
【分析】根据 3= ＞ 计算．
【解答】解：∵3= ， ＞ ，
∴3＞ ．
故答案是：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查了学生的比较能力．
9.（2018•贵州遵义•4 分）计算 ﹣1 的结果是 2 ．
【分析】首先计算 9 的算术平方根，再算减法即可．
【解答】解：原式=3﹣1=2，
故答案为：2．
10.（2018•上海•4 分）﹣8 的立方根是 ．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8 的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数 x 的立方等于 a，即 x 的三次方等于 a
（x3=a），那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号 a”其中，a
叫做被开方数，3 叫做根指数．
11.（2018•上海•4 分）从 ，π， 这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率
为 ．
【分析】由题意可得共有 3 种等可能的结果，其中无理数有 π、 共 2 种情况，则可利用
概率公式求解．
【解答】解：∵在 ，π， 这三个数中，无理数有 π， 这 2 个，
∴选出的这个数是无理数的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
12. （2018•遂宁•7 分）计算：（ ）﹣1+（ ﹣1）0+2sin45°+| ﹣2|．
【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性
质分别化简得出答案．9
【解答】解：原式=3+1+2× +2﹣
=4+ +2﹣
=6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
13. （2018•乌鲁木齐•8 分）计算：（ ）﹣1﹣ +| ﹣2|+2sin60°．
【分析】接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、立方根的性质
分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2+2+2﹣ +2×
=6﹣ +
=6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
三.解答题
1. （2018·湖南郴州·6 分）计算|1﹣ |﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即
可．
【解答】解：|1﹣ |﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018
= ﹣1﹣2× +0.5﹣1
=﹣1.5
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数
运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律
在实数范围内仍然适用．
2. （2018·湖南怀化·8 分）计算：2sin30°﹣（π﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得
出答案．
【解答】解：原式=2× ﹣1+ ﹣1+2
=1+ ．10
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
3.（2018•江苏宿迁•8 分）计算：
【答案】5
【详解】原式=4-1+（2- ）+2× ，
=4-1+2- + ，
=5.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算顺序、特殊角的三角函数值
是解题的关键.
4.（2018•江苏徐州•5 分）计算：（﹣1）2008+π0﹣（ ）﹣1+ ．
【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式=1+1﹣3+2=1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
5.（2018•江苏无锡•8 分）计算：
（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（ ）0
（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）
【分析】（1）本题涉及零指数幂、乘方、绝对值 3 个考点．在计算时，需要针对每个考点分
别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（ ）0
=4×3﹣1
=12﹣1
=11；
（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）
=x2+2x+1﹣x2+x
=3x+1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类
题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值、完全平方公式、去括号法则、合并同类项11
等考点的运算．
6.（2018•江苏淮安•10 分）（1）计算：2sin45°+（π﹣1）0﹣ +|﹣2 |；
（2）解不等式组：
【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘
法和加减运算可得；
（2）先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：（1）原式=2× +1﹣3 +2
= +1﹣
=1；
（2）解不等式 3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式 2x﹣1≥ ，得：x≥1，
则不等式组的解集为 1≤x＜3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，解题的关键是掌握解不等式组应
遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了及实数的混合运
算顺序和运算法则．
7.（2018•山东东营市•7 分）（1）计算：|2﹣ |+（ +1） 0﹣3tan30°+（﹣1）2018﹣
（ ）﹣1；
（2）解不等式组： 并判断﹣1， 这两个数是否为该不等式组的解．
【分析】（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，再判断即可．
【解答】解：（1）原式=
= ；
8.（2018•嘉兴•4 分）计算：2（ －1）＋|-3|-（ -1）0；
【答案】原式=4 -2+3-1=4
【考点】实数的运算，
【解析】按照实数的运算法则计算即可；12
9.（2018•金华、丽水•6 分）计算： ＋ －4sin45°＋ ．
【解析】【分析】根据实数的计算法则及三角函数的特殊值计算即可。
10.（2018•贵州安顺•8 分） 计算： .
【答案】4.
【解析】分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三
项利用特殊角三角函数值进行计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整指数
幂法则计算即可得到结果．
详解：原式 .
点睛：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.（2018•广西玉林•6 分）计算：|2﹣ |+（π﹣1）0+ ﹣（ ）﹣1
【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性 质以及二次根式的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式=2﹣ +1+ ﹣2
=1．
20．（2018•广西玉林•6 分）先化简再求值：（a﹣ ）÷ ，其中 a=1+ ，b=1﹣
．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当 a=1+ ，b=1﹣ 时，
原式= •
= •
=
=
=
13
12.（2018•广西桂林•6 分）计算：
【答案】1
【解析】分析：根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和 cos45°= 得到原式=
，然后进行乘法运算后合并即可．
详解：原式= ，
=
=1．
点睛：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的
加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
13.（2018•广西南宁•6 分）计算：|﹣4|+3tan60°﹣ ﹣（ ）﹣1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质和负指数幂的性质分别化简得
出答案．
【解答】解：原式=4+3 ﹣2 ﹣2
= +2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14.（2018·黑龙江大庆·4 分）求值：（﹣1）2018+|1﹣ |﹣
【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+ ﹣1﹣2
= ﹣2．
15.（2018·黑龙江齐齐哈尔·5 分）计算：（ ）﹣2+（ ﹣ ）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值
的性质分别化简得出答案；
【解答】解：（1）原式=4+1﹣2× ﹣（π﹣3）
=5﹣1﹣π+3
=7﹣π；
【点评】此题主要考查了实数运算14
16. （2018•广东•6 分）计算：|﹣2|﹣20180+（ ）﹣1
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质进而化简得出答
案．
【解答】解：原式=2﹣1+2
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17.（2018•广西北海•6分） 计算：
【答案】
【考点】实数的运算；负指数幂；特殊角的三角函数值；根号的化简
【
解
析
】
解
：
原
式
=
=
【点评】本题先根据实数运算的步骤和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可
18.（2018•广西贵港•10 分）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；
（2）解分式方程： +1= ．
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分
式方程的解．15
【解答】解：（1）原式=5﹣3﹣1﹣ + =1；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：4+（x+2）（x﹣2）=x+2，
整理，得：x2﹣x﹣2=0，
解得：x1=﹣1，x2=2，
检验：当 x=﹣1 时，（x+2）（x﹣2）=﹣3≠0，
当 x=2 时，（x+2）（x﹣2）=0，
所以分式方程的解为 x=﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把
分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19.（2018•海南•10 分）计算：（1）32﹣ ﹣|﹣2|×2﹣1
【分析】（1）直接利用二次根式性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；
【解答】解：（1）原式=9﹣3 ﹣2× =5；
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．(2018 湖南省邵阳市)（8 分）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0﹣| ﹣2|
【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式=1+1﹣2+ = ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.（2018 湖南长沙 6.00 分）计算：（﹣1）2018﹣ +（π﹣3）0+4cos45°
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值 4 个考点．在计算
时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=1﹣2 +1+4× =1﹣2 +1+2 =2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类
题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
22.（2018 湖南张家界 5.00 分）（ ﹣1）0+（﹣1）﹣2﹣4sin60°+ ．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式
的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+1﹣4× +216
=2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24.（2018 湖南湘西州 6.00 分）计算： +（π﹣2018）0﹣2tan45°
【分析】原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出
值．
【解答】解：原式=2+1﹣2=1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
微信/支付宝扫码支付