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综合性问题
一.选择题
1. （2018·湖南怀化·4 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．菱形的对角线相等
D．相等的两个角是对顶角
【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可．
【解答】解：两直线平行，同位角相等，A 是真命题；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，B 是假命题；
菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C 是假命题；
相等的两个角不一定是对顶角，D 是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关
键是要熟悉课本中的性质定理．
2.（2018•江苏苏州•3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= 在第一象限内
的图象经过点 D，交 BC 于点 E．若 AB=4，CE=2BE，tan∠AOD= ，则 k 的值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
【分析】由 tan∠AOD= = 可设 AD=3A.OA=4a，在表示出点 D.E 的坐标，由反比例函数经过点 D.E 列出关
于 a 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案．
【解答】解：∵tan∠AOD= = ，
∴设 AD=3A.OA=4a，
则 BC=AD=3a，点 D 坐标为（4a，3a），
∵CE=2BE，∴BE= BC=a，
∵AB=4，∴点 E（4+4a，a），2
∵反比例函数 y= 经过点 D.E，∴k=12a2=（4+4a）a，解得：a= 或 a=0（舍），则 k=12× =3，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D.E 的坐标及反比
例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k．
3.（2018•内蒙古包头市•3 分）已知下列命题：
①若 a3＞b3，则 a2＞b2；
②若点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在二次函数 y=x2﹣2x﹣1 的图象上，且满足 x1＜x2＜1，则 y1＞y2＞﹣2；
③在同一平面内，a，b，c 是直线，且 a∥b，b⊥c，则 a∥c；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】依据 a，b 的符号以及绝对值，即可得到 a2＞b2 不一定成立；依据二次函数 y=x2﹣2x﹣1 图象的顶
点坐标以及对称轴的位置，即可得 y1＞y2＞﹣2；依据 a∥b，b⊥c，即可得到 a∥c；依据周长相等的所有等
腰直角三角形的边长对应相等，即可得到它们全等．
【解答】解：①若 a3＞b3，则 a2＞b2 不一定成立，故错误；
②若点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在二次函数 y=x2﹣2x﹣1 的图象上，且满足 x1＜x2＜1，则 y1＞y2＞﹣2，
故正确；
③在同一平面内，a，b，c 是直线，且 a∥b，b⊥c，则 a⊥c，故错误；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、
论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.（2018•山东东营市•3 分）如图，点 E 在△DBC 的边 DB 上，点 A 在△DBC 内部，∠DAE=∠BAC=90°，
AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；
【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，3
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即 CE⊥BD，故③正确，
∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确
寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5. （2018•遂宁•4 分）已知如图，在正方形 ABCD 中，AD=4，E，F 分别是 CD，BC 上的一点，且∠EAF=45°，
EC=1，将△ADE 绕点 A 沿顺时针方向旋转 90°后与△ABG 重合，连接 EF，过点 B 作 BM∥AG，交 AF 于点 M，
则以下结论：①DE+BF=EF，②BF= ，③AF= ，④S△MBF= 中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出 BF 的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF 的面积即可．
【解答】解：∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG，
∴EF=FG，
∵DE=BG，
∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，
∵BC=CD=AD=4，EC=1，
∴DE=3，设 BF=x，则 EF=x+3，CF=4﹣x，
在 Rt△ECF 中，（x+3）2=（4﹣x）2+12，
解得 x= ，
∴BF= ，AF= = ，故②正确，③错误，
∵BM∥AG，4
∴△FBM∽△FGA，
∴ =（ ）2，
∴S△FBM= ，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6. （2018•乌鲁木齐•4 分）如图①，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BE﹣ED﹣DC 运动到
点 C 时停止；点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，速度均为每秒 1 个单位长度．如果点 P、Q 同时开始运动，
设运动时间为 t，△BPQ 的面积为 y，已知 y 与 t 的函数图象如图②所示．以下结论：①BC=10；②cos∠
ABE= ；③当 0≤t≤10 时，y= t2；④当 t=12 时，△BPQ 是等腰三角形；⑤当 14≤t≤20 时，y=110﹣5t 中
正确的有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据题意，确定 10≤t≤14，PQ 的运动状态，得到 BE.BC.ED 问题可解．
【解答】解：由图象可知，当 10≤t≤14 时，y 值不变，则此时，Q 点到 C，P 从 E 到 D．
∴BE=BC=10，ED=4 故①正确．
∴AE=6
Rt△ABE 中，AB=
∴cos∠ABE= ；故②错误
当 0≤t≤10 时，△BPQ 的面积为
∴③正确；
t=12 时，P 在点 E 右侧 2 单位，此时 BP＞BE=BC
PC=
∴△BPQ 不是等腰三角形．④错误；5
当 14≤t≤20 时，点 P 由 D 向 C 运动，Q 在 C 点，
△BPQ 的面积为 则⑤正确
故选：B．
【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置变
化之间的关联．
7. （2018•广西玉林•3 分）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【分析】根据一次函数的定义，可得答案．
【解答】解：设等腰三角形的底角为 y，顶角为 x，由题意，得
y=﹣ x+90°，
故选：B．
8. （2018•广西玉林•3 分）圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的
圆心角是（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【分析】由圆锥的主视图为等边三角形知圆锥的底面圆直径为 4.侧面展开图扇形的半径为 4，据此利用弧长
公式求解可得．
【解答】解：∵圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，
∴圆锥的母线长为 4.底面圆的直径为 4，
则圆锥的侧面展开图扇形的半径为 4，
设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 n，
根据题意，得： =4π，
解得：n=180°，
故选：D．
9.（2018•广西贵港•3 分）下列命题中真命题是（ ）
A． =（ ）2 一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．
【解答】解：A. =（ ）2 当 a＜0 不成立，假命题；
B.位似图形在位似比为 1 时全等，假命题；6
C.正多边形都是轴对称图形，真命题；
D.圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图
的概念是解题的关键．
10.（2018•广西贵港•3 分）如图，抛物线 y= （x+2）（x﹣8）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，顶
点为 M，以 AB 为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线 x=3；②⊙D 的面积为 16π；③抛物线上
存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；④直线 CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与 x 轴的交点 A.B 坐标，由抛物线的对称性即可判定；
②求得⊙D 的直径 AB 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，
③过点 C 作 CE∥AB，交抛物线于 E，如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判
定；
④求得直线 CM、直线 CD 的解析式通过它们的斜率进行判定．
【解答】解：∵在 y= （x+2）（x﹣8）中，当 y=0 时，x=﹣2 或 x=8，
∴点 A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为 x= =3，故①正确；
∵⊙D 的直径为 8﹣（﹣2）=10，即半径为 5，
∴⊙D 的面积为 25π，故②错误；
在 y= （x+2）（x﹣8）= x2﹣ x﹣4 中，当 x=0 时 y=﹣4，
∴点 C（0，﹣4），
当 y=﹣4 时， x2﹣ x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，7
所以点 E（6，﹣4），
则 CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形 ACED 不是平行四边形，故③错误；
∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣3）2﹣ ，
∴点 M（3，﹣ ），
设直线 CM 解析式为 y=kx+b，
将点 C（0，﹣4）、M（3，﹣ ）代入，得： ，
解得： ，
所以直线 CM 解析式为 y=﹣ x﹣4；
设直线 CD 解析式为 y=mx+n，
将点 C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得： ，
解得： ，
所以直线 CD 解析式为 y= x﹣4，
由﹣ × =﹣1 知 CM⊥CD 于点 C，
∴直线 CM 与⊙D 相切，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边
形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．
11.（2018•贵州遵义•3 分）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接 AC.BD，以 BD
为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE=3，则 AD 的长为（ ）8
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】先求出 AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设 DF=x，AD= x，利用勾股定理求出 BD，再判断出△
DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．
【解答】解：如图，在 Rt△ABC 中，AB=5，BC=10，
∴AC=5
过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
∴∠AFD=∠CBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACB，
∴△ADF∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
设 DF=x，则 AD= x，
在 Rt△ABD 中，BD= = ，
∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，
∴△DEF∽△DBA，
∴ ，
∴ ，
∴x=2，
∴AD= x=2 ，
故选：D．
二、填空题
1. （2018·湖北随州·3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且 BC＞AB，BD=8．给出以下判断：
①AC 垂直平分 BD；
②四边形 ABCD 的面积 S=AC•BD；
③顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；9
④当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为 ；
⑤将△ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，当 BF⊥CD 时，点 F 到直线 AB 的
距离为 ．
其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确判断的序号）
【分析】依据 AB=AD=5，BC=CD，可得 AC 是线段 BD 的垂直平分线，故①正确；依据四边形 ABCD 的面积 S=
，故②错误；依据 AC=BD，可得顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；
当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则 r2=（r﹣3）2+42，得 r= ，故④正确；连接
AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，由折叠可得，四边形 ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据 S△BDE=
×BD×OE= ×BE×DF，可得 DF= ，进而得出 GF= ，再根据 S△ABF=S 梯形 ABFD﹣S△ADF，即可得到 h= ，
故⑤错误．
【解答】解：∵在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD，
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线，故①正确；
四边形 ABCD 的面积 S= ，故②错误；
当 AC=BD 时，顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；
当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则
r2=（r﹣3）2+42，
得 r= ，故④正确；
将△ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，如图所示，
连接 AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，
由折叠可得，四边形 ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，
∴AO=EO=3，
∵S△BDE= ×BD×OE= ×BE×DF，
∴DF= = ，10
∵BF⊥CD，BF∥AD，
∴AD⊥CD，GF= = ，
∵S△ABF=S 梯形 ABFD﹣S△ADF，
∴ ×5h= （5+5+ ）× ﹣ ×5× ，
解得 h= ，故⑤错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的
关键是利用图形面积的和差关系进行计算．
2. （2018•江苏宿迁•3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x＞0）与正比例函数 y=kx、
（k＞1）的图象分别交于点 A.B，若∠AOB＝45°，则△AOB 的面积是________.
【答案】2
【分析】作 BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB（如图），设 A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数 k 的几何
意义得 x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与 y=kx，y= 联立，解得 x1= ，x2= ，从而得 x1x2=2，所以 y1=x2，
y2=x1， 根据 SAS 得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得 AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得
∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据 AAS 得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得
S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO= x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.
【详解】如图：作 BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB，11
设 A（x1，y1），B（x2 ， y2），
∵A.B 在反比例函数上，∴x1y1=x2y2=2，
∵ ，解得：x1= ，
又∵ ，解得：x2= ，∴x1x2= × =2，∴y1=x2， y2=x1，即 OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO= x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定
与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
3.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，将含有 30°角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系，顶点 A，B 分别落
在 x、y 轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点 A 的坐标为（1，0），将三角板 ABC 沿 x 轴向右作无滑动的滚动（先
绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，再绕点 C 按顺时针方向旋转 90°，…）当点 B 第一次落在 x 轴上时，则点 B
运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】 + π
【分析】在 Rt△AOB 中，由 A 点坐标得 OA=1，根据锐角三角形函数可得 AB=2，OB= ，在旋转过程中，三角
板的角度和边的长度不变，所以点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=12
，计算即可得出答案.
【详解】在 Rt△AOB 中，∵A（1，0），∴OA=1，
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°= ，
∴AB=2，OB= ，
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点 B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S= = π，
故答案为： π.
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题
的关键.
4.（2018•江苏无锡•2 分）如图，已知∠XOY=60°，点 A 在边 OX 上，OA=2．过点 A 作 AC⊥OY 于点 C，以 AC
为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P 作 PD∥OY 交
OX 于点 D，作 PE∥OX 交 OY 于点 E．设 OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范围是 2≤a+2b≤5 ．
【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边形，得 EP=OD=a，在 Rt△HEP
中，∠EPH=30°，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最小值的位置，可得结论．
【解答】解：过 P 作 PH⊥OY 交于点 H，
∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形 EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，
Rt△HEP 中，∠EPH=30°，∴EH= EP= a，∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2；13
当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5，∴2≤a+2b≤5．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，
掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围．
5.（2018•江苏苏州•3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC 绕点 A 按逆时针方
向旋转 90°得到△AB'C′，连接 B'C，则 sin∠ACB′= ．
【分析】根据勾股定理求出 AC，过 C 作 CM⊥AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N，求出 B′M、CM，根据勾股定
理求出 B′C，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= =5，
过 C 作 CM⊥AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N，
∵根据旋转得出 AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，
∴CM=AB=2 ，AM=BC= ，∴B′M=2 ﹣ = ，
在 Rt△B′MC 中，由勾股定理得：B′C= = =5，
∴S△AB′C= = ，∴5×AN=2 ×2 ，解得：AN=4，
∴sin∠ACB′= = ，14
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
6.（2018•江苏苏州•3 分）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP，PB 为边在 AB 的同侧作
菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点．当点 P
在线段 AB 上移动时，点 M，N 之间的距离最短为 2 （结果留根号）．
【分析】连接 PM、PN．首先证明∠MPN=90°设 PA=2a，则 PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a），构建二次函数，
利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：连接 PM、PN．
∵四边形 APCD，四边形 PBFE 是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点，
∴∠CPM= ∠APC=60°，∠EPN= ∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，
设 PA=2a，则 PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a），
∴MN= = = ，
∴a=3 时，MN 有最小值，最小值为 2 ，
故答案为 2 ．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构建
二次函数解决最值问题．
7.（2018•内蒙古包头市•3 分）如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 上的一个动点（不与点
A，B 重合），连接 CD，将 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 CE，连接 DE，DE 与 AC 相交于点 F，连接 AE．下列
结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；15
③DE2=2CF•CA；
④若 AB=3 ，AD=2BD，则 AF= ．
其中正确的结论是 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】先判断出∠BCD=∠ACE，即可判断出①正确；
先求出∠BDC=110°，进而得出∠AEC=110°，即可判断出②正确；
先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出 CE2=CF•AC，最后用勾股定理即可得出③正确；
先求出 BC=AC=3，再求出 BD= ，进而求出 CE=CD= ，求出 CF= ，即可判断出④错误．
【解答】解：∵∠ACB=90°，
由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD 和△ACE 中， ，
∴△BCD≌△ACE，故①正确；
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠B=45°
∵∠BCD=25°，
∴∠BDC=180°﹣45°﹣25°=110°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC=∠BDC=110°，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°，
则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，
∵∠ECF=∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，16
∴ ，
∴CE2=CF•AC，
在等腰直角三角形 CDE 中，DE2=2CE2=2CF•AC，故③正确；
如图，过点 D 作 DG⊥BC 于 G，
∵AB=3 ，
∴AC=BC=3，
∵AD=2BD，
∴BD= AB= ，
∴DG=BG=1，
∴CG=BC﹣BG=3﹣1=2，
在 Rt△CDG 中，根据勾股定理得，CD= = ，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE= ，
∵CE2=CF•AC，
∴CF= = ，
∴AF=AC﹣CF=3﹣ = ，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE 是解本题的关键．
题
8. （2018•遂宁•4 分）如图，已知抛物线 y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数 y= 的图象相交于点 B，且 B
点的横坐标为 3，抛物线与 y 轴交于点 C（0，6），A 是抛物线 y=ax 2﹣4x+c 的顶点，P 点是 x 轴上一动点，
当 PA+PB 最小时，P 点的坐标为 ．17
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点 B 的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点 A
的坐标，进而求得 A′的坐标，从而可以求得直线 A′B 的函数解析式，进而求得与 x 轴的交点，从而可以解
答本题．
【解答】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A′，连接 A′B，则 A′B 与 x 轴的交点即为所求，
∵抛物线 y=ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数 y= 的图象相交于点 B，且 B 点的横坐标为 3，抛物线与 y 轴交
于点 C（0，6），
∴点 B（3，3），
∴ ，
解得， ，
∴y=x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，
∴点 A 的坐标为（2，2），
∴点 A′的坐标为（2，﹣2），
设过点 A′（2，﹣2）和点 B（3，3）的直线解析式为 y=mx+n，
，得 ，
∴直线 A′B 的函数解析式为 y=5x﹣12，
令 y=0，则 0=5x﹣12 得 x= ，
故答案为：（ ，0）．18
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短
路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9. （2018•广西桂林•3 分） 如图，矩形 OABC 的边 AB 与 x 轴交于点 D，与反比例函数 (k>0)在第一象限
的图像交于点 E，∠AOD=30°，点 E 的纵坐标为 1，ΔODE 的面积是 ，则 k 的值是________
【答案】
【解析】分析：过 E 作 EF⊥x 轴，垂足为 F，则 EF=1，易求∠DEF=30°，从而 DE= ，根据 ΔODE 的面积是
求出 OD= ，从而 OF=3 ，所以 k=3 .
详解：如图，过点 E 作 EF⊥x 轴，垂足为点 F，
∵点 E 的纵坐标为 1，
∴EF=1，
∵ΔODE 的面积是 ，19
∴OD= ，
∵四边形 OABC 是矩形，且∠AOD=30°,
∴∠DEF=30°,
∴DF=
∴OF=3 ，所以点 E 的坐标为（3 ，1），
把点 E 的坐标代入反比例函数的解析式，可得 k=3 .
故答案为 3 .
点睛：本题是正方形和反比例函数的综合试题，解题过程中涉及解直角三角形，确定反比例函数的解析式等，
确定点 E 的坐标是解题关键.
10.（2018•贵州黔西南州•3 分）如图，已知在△ABC 中，BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE 交于点 F，且∠
BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC 的面积为 60 ．
【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出 AF=BC=10，设 DF=x．由△ADC∽△BDF，推出 = ，构建方程求出 x
即可解决问题；
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设 DF=x．
∵△ADC∽△BDF，
∴ = ，
∴ = ，
整理得 x2+10x﹣24=0，
解得 x=2 或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，20
∴S△ABC= •BC•AD= ×10×12=60．
故答案为 60．
【点评】 本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三
角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11.（2018•海南•4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（20，0），点 B 的坐标是（16，0），点 C.D
在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形，则点 C 的坐标为 （2，6） ．
【分析】过点 M 作 MF⊥CD 于点 F，则 CF= CD=8，过点 C 作 CE⊥OA 于点 E，由勾股定理可求得 MF 的长，从
而得出 OE 的长，然后写出点 C 的坐标．
【解答】解：∵四边形 OCDB 是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD=OB=16，
过点 M 作 MF⊥CD 于点 F，则 CF= CD=8，
过点 C 作 CE⊥OA 于点 E，
∵A（20，0），
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=10﹣8=2．
连接 MC，则 MC= OA=10，
∴在 Rt△CMF 中，由勾股定理得 MF= =6
∴点 C 的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解题
关键．21
三.解答题
1. （2018·湖南郴州·8 分）已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是⊙O 的弦，∠
AEC=30°．
（1）求证：直线 AD 是⊙O 的切线；
（2）若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．
【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接 OA，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点 A 在⊙O 上，
∴直线 AD 是⊙O 的切线；
（2）连接 OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE 于 M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在 Rt△AOM 中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2 ，22
∴AE=2AM=4 ．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，
圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．
2. （12.00 分）在矩形 ABCD 中，AD＞AB，点 P 是 CD 边上的任意一点（不含 C，D 两端点），过点 P 作 PF∥
BC，交对角线 BD 于点 F．
（1）如图 1，将△PDF 沿对角线 BD 翻折得到△QDF，QF 交 AD 于点 E．
求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）如图 2，将△PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接 P'C，F'B．设旋转角为 α（0°＜α＜
180°）．
①若 0°＜α＜∠BDC，即 DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图 3，若点 P 是 CD 的中点，△DF 'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 tan∠DBF'的值，如果不
能，请说明理由．
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF 是等腰三角形；
（2）①由于 PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，
∵PF∥BC，
∴∠DFP=∠ADF，
∴∠DFQ=∠ADF，
∴△DEF 是等腰三角形，
（2）①若 0°＜α＜∠BDC，即 DF'在∠BDC 的内部时，23
∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，
∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转 的性质可知：
△DP′F′≌△DPF，
∵PF∥BC，
∴△DPF∽△DCB，
∴△DP′F′∽△DCB
∴ ，
∴△DP'C∽△DF'B
②当∠F′DB=90°时，如图所示，
∵DF′=DF= BD，
∴ = ，
∴tan∠DBF′= = ，
当∠DBF′=90°，
此时 DF′是斜边，
即 DF′＞DB，不符合题意，
当∠DF′B=90°时，如图所示，
∵DF′=DF= BD，
∴∠DBF′=30°，
∴tan∠DBF′=24
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以
及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．
3. （2018·湖南怀化·12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC．点 E 为 CD 边上一点，AE 与 BE 分别
为∠DAB 和∠CBA 的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 AD=BC ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O，并以 AB 为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，若 AE=4，sin∠AGF= ，求⊙O 的半
径．
【分析】（1）添加条件 AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到 AD 与 BC 平行，可得同旁内角互补，再由 AE 与 BE 为角平分线，可得出 AE
与 BE 垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到 AF 与 FB 垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及
等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据 sin∠AGF 的值，确定出 sin∠AEB 的值，求出 AB 的长，即可确定出圆的半
径．
【解答】解：（1）当 AD=BC 时，四边形 ABCD 是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形 ABCD 为平行四边形；
故答案为：AD=BC；25
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE 与 BE 分别为∠DAB 与∠CBA 的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB 为圆 O 的直径，点 F 在圆 O 上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE 平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF= = ，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆 O 的半径为 2.5．
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及
锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
4.（2018•江苏苏州•10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，CE
垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC．
（1）求证：CD=CE；
（2）若 AE=GE，求证：△CEO 是等腰直角三角形．26
【分析】（1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据 AAS 证明△CDA≌△CEA
（AAS），可得结论；
（2）介绍两种证法：
证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角
三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则 3x+3x+2x=180，
可得结论．
【解答】证明：（1）连接 AC，
∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，
∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，
∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，
在△CDA 和△CEA 中，
∵ ，
∴△CDA≌△CEA（AAS），
∴CD=CE；
（2）证法 一：连接 BC，
∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，
∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，
∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，
∴∠AOC=2∠F=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，
∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，
∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形．27
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以
及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的
关系，注意掌握数形结合思想的应用．
5.（2018•江苏无锡•8 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB= ，求 AD 的
长．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AE 于 F，
则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．解 Rt△AEB，得出 BE=AB•cos∠ABE= ，AE= = ，那么
AF=AE﹣EF= ．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出 sin∠ADF=cos∠ABC= ．解
Rt△ADF，即可求出 AD= =6．
【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．
在 Rt△AEB 中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC= ，
∴BE=AB•cos∠ABE= ，∴AE= = ，∴AF=AE﹣EF= ﹣10= ．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos∠ABC= ，∴sin∠ADF=cos∠ABC= ．
在 Rt△ADF 中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF= ，∴AD= = =6．28
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出 AF= 以及
sin∠ADF= 是解题的关键．
6.（2018•江苏宿迁•12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a）（x-3）（0
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