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正多边形与圆
一.选择题
1.（2018•资阳•3 分）如图，ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积
是（ ）
A． B．（ ）a2 C． 2 D．（ ）a2
【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积
=（圆的面积﹣正六边形的面积）× ，即可得出结果．
【解答】解：∵正六边形的边长为 a，
∴⊙O 的半径为 a，
∴⊙O 的面积为 π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为 a 的正三角形，
∴每个三角形面积为 ×a×a×sin60°= a2，
∴正六边形面积为 a2，
∴阴影面积为（πa2﹣ a2）× =（ ﹣ ）a2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边
形的面积）× 是解答此题的关键．
2.（2018•湖州•3 分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规
作图考他的大臣：
①将半径为 r 的⊙O 六等分，依次得到 A，B，C，D，E，F 六个分点；
②分别以点 A，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点；
③连结 OG．
问：OG 的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）2
A. r B. （1+ ）r C. （1+ ）r D. r
【答案】D
【解析】分析：如图连接 CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
详解：如图连接 CD，AC，DG，AG．
∵AD 是⊙O 直径，
∴∠ACD=90°，
在 Rt△ACD 中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC= r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG= r，
故选：D．
点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
3. （2018·黑龙江大庆·3 分）一个正 n 边形的每一个外角都是 36°，则 n=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由多边形的外角和为 360°结合每个外角的度数，即可求出 n 值，此题得解．
【解答】解：∵一个正 n 边形的每一个外角都是 36°，
∴n=360°÷36°=10．3
故选：D．
二.填空题
1.（2018•山东烟台市•3 分）如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，点 M 为 AF 中点，以点
O 为圆心，以 OM 的长为半径画弧得到扇形 MON，点 N 在 BC 上；以点 E 为圆心，以 DE 的长为
半径画弧得到扇形 DEF，把扇形 MON 的两条半径 OM，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面
半径记为 r1；将扇形 DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为 r2，则 r1：r2= ：
2 ．
【分析】根据题意正六边形中心角为 120°且其内角为 120°．求出两个扇形圆心角，表示
出扇形半径即可．
【解答】解：连 OA
由已知，M 为 AF 中点，则 OM⊥AF
∵六边形 ABCDEF 为正六边形
∴∠AOM=30°
设 AM=a
∴AB=AO=2a，OM=
∵正六边形中心角为 60°
∴∠MON=120°
∴扇形 MON 的弧长为： a
则 r1= a
同理：扇形 DEF 的弧长为：
则 r2=4
r1：r2=
故答案为： ：2
【点评】本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的
半径．
2. （2018•广西玉林•3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长是 6+4 ，点 O1，O2 分别是△
ABF，△CDE 的内心，则 O1O2= 9+4 ．
【分析】设△AFB 的内切圆的半径为 r，过 A 作 AM⊥BF 于 M，连接 O1F、O1A.O1B，解直角三
角形求出 AM、FM、BM，根据三角形的面积求出 r，即可求出答案．
【解答】解：过 A 作 AM⊥BF 于 M，连接 O1F、O1A.O1B，
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠A= =120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF= （180°﹣120°）=30°，
∴△AFB 边 BF 上的高 AM= AF= （6+4 ）=3+2 ，FM=BM= AM=3 +6，
∴BF=3 +6+3 +6=12+6 ，
设△AFB 的内切圆的半径为 r，
∵S△AFB=S +S +S ，
∴ ×（3+2 ）×（3 +6）= ×r+ ×r+ ×（12+6 ）×
r，
解得：r= ，
即 O1M=r= ，
∴O1O2=2× +6+4 =9+4 ，5
故答案为：9+4 ．
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