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直角三角形与勾股定理
一.选择题
1.（2018•江苏淮安•3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且 AO⊥BO，
则 AB= =5，故这个菱形的周长 L=4AB=20．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性
质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键，难度一般．
2.（2018•山东东营市•3 分）如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱
表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求
解．
【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A.C 的最短距离为线段 AC 的长．
在 Rt△ADC 中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以 AC= ，2
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
3.(2018•湖州•3 分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC＞90°，点 D 为 BC 的中点，点 E 在 AC 上，将△CDE 沿 DE
折叠，使得点 C 恰好落在 BA 的延长线上的点 F 处，连结 AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. AE=EF B. AB=2DE
C. △ADF 和△ADE 的面积相等 D. △ADE 和△FDE 的面积相等
【答案】C
【解析】分析：先判断出△BFC 是直角三角形，再利用三角形的外角判断出 A 正确，进而判断出 AE=CE，得
出 CE 是△ABC 的中位线判断出 B 正确，利用等式的性质判断出 D 正确．
详解：如图，连接 CF，
∵点 D 是 BC 中点，
∴BD=CD，
由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，
∴BD=CD=DF，
∴△BFC 是直角三角形，
∴∠BFC=90°，
∴∠B=∠BFD，
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，
∴AE=EF，故 A 正确，
由折叠知，EF=CE，
∴AE=CE，
∵BD=CD，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴AB=2DE，故 B 正确，
∵BD=DF，3
B. C. D.
∵AE=CE，
∴S△ADE=S△CDE，
由折叠知，△CDE≌△△FDE，
∴S△CDE=S△FDE，
∴S△ADE=S△FDE，故 D 正确，
∴C 选项不正确，
故选：C．
点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题
的关键．
4. （2018•广西北海•3分）如图，矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝3，点 P 在 BC 边上，将△CDP 沿 DP 折叠，
点 C
落在点 E 处，PE.DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP＝OF，则 cos∠ADF 的值为
11 13 15 17
13 15 17 19
【答案】C
【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值
【解析】
由题意得：Rt△DCP≌Rt△DEP，所以 DC＝DE＝4，CP＝EP
在 Rt△OEF 和 Rt△OBP 中，∠EOF＝∠BOP，∠B＝∠E，OP＝OF
Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS)，所以 OE＝OB，EF＝BP
A.4
设 EF 为 x，则 BP＝x，DF＝DE－EF＝4－x，
又因为 BF＝OF＋OB＝OP＋OE＝PE＝PC，PC＝BC－BP＝3－x5
所以，AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x
在 Rt△DAF 中，AF2＋AD2＝DF2，也就是(1＋x)2＋32＝(4－x)2
3 3 3 17
解之得，x＝5，所以 EF＝5，DF＝4－5＝ 5
AD 15
最终,在 Rt△DAF 中，cos∠ADF＝DF＝17
【点评】本题由题意可知，Rt△DCP≌Rt△DEP 并推理出 Rt△OEF≌Rt△OBP，
寻找出合适的线段设未知数，运用勾股定理列方程求解，并代入求解出所求
cos 值即可得。
5．（2018 年湖南省娄底市）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，
小正方形的面积为 49，则 sinα﹣cosα=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出 AC，然后根据正
弦和余弦的定义即可求 sinα 和 cosα 的值，进而可求出 sinα﹣cosα 的值．
【解答】解：∵小正方形面积为 49，大正方形面积为 169，
∴小正方形的边长是 7，大正方形的边长是 13，
在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2，
即 AC2+（7+AC）2=132，
整理得，AC2+7AC﹣60=0，
解得 AC=5，AC=﹣12（舍去），
∴BC= =12，
∴sinα= = ，cosα= = ，
∴sinα﹣cosα= ﹣ =﹣ ，
故选：D．6
【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角
三角形的较短的直角边是解题的关键．
6.（2018 湖南长沙 3.00 分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样
一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几
何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙
田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5 平方千米 B．15 平方千米 C．75 平方千米 D．750 平方千米
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
二.填空题
1. （2018·湖北襄阳·3 分）已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD= ，AD=1，AB=2AC，
则 BC 的长为 2 或 2 ．
【分析】分两种情况：
①当△ABC 是锐角三角形，如图 1，
②当△ABC 是钝角三角形，如图 2，
分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△ABC 是锐角三角形，如图 1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CD= ，AD=1，
∴AC=2，
∵AB=2AC，
∴AB=4，
∴BD=4﹣1=3，7
∴BC= = =2 ；
②当△ABC 是钝角三角形，如图 2，
同理得：AC=2，AB=4，
∴BC= = =2 ；
综上所述，BC 的长为 2 或 2 ．
故答案为：2 或 2 ．
【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线
段的长，要熟练掌握．
2.（2018•江苏徐州•3 分）边长为 a 的正三角形的面积等于 ．
【分析】根据正三角形的性质求解．
【解答】解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
∵AD⊥BC，∴BD=CD= a，∴AD= = a，面积则是： a• a= a2．
【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法，比较简单．
3.（2018•江苏徐州•3 分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC 折叠，
使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则△ABE 的周长等于 7 cm．8
【分析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据翻折的性质，可得 AE 与 CE 的关系，根据三角
形的周长公式，可得答案．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，
由勾股定理，得 BC= =4．
由翻折的性质，得 CE=AE．
△ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了翻折的性质，利用了勾股定理，利用翻折的性质得出 CE 与 AE 的关系是
阶梯关键，又利用了等量代换．
4.（2018•江苏无锡•2 分）已知△ABC 中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC 的面积等
于 15 或 10 ．
【分析】作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，分 AB.AC 位于 AD 异侧和同侧两种情况，
先在 Rt△ABD 中求得 AD.BD 的值，再在 Rt△ACD 中利用勾股定理求得 CD 的长，继而就两种
情况分别求出 BC 的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，
①如图 1，当 AB.AC 位于 AD 异侧时，
在 Rt△ABD 中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在 Rt△ACD 中，∵AC=2 ，
∴CD= = = ，
则 BC=BD+CD=6 ，
∴S△ABC= •BC•AD= ×6 ×5=15 ；9
②如图 2，当 AB.AC 在 AD 的同侧时，
由①知，BD=5 ，CD= ，
则 BC=BD﹣CD=4 ，
∴S△ABC= •BC•AD= ×4 ×5=10 ．
综上，△ABC 的面积是 15 或 10 ，
故答案为 15 或 10 ．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思
想的运算及勾股定理．
5.（2018•江苏无锡•2 分）如图，已知∠XOY=60°，点 A 在边 OX 上，OA=2．过点 A 作 AC⊥OY
于点 C，以 AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）
内的一点，过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D，作 PE∥OX 交 OY 于点 E．设 OD=a，OE=b，则 a+2b
的取值范围是 2≤a+2b≤5 ．
【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边形，得
EP=OD=a，在 Rt△HEP 中，∠EPH=30°，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最小
值的位置，可得结论．
【解答】解：过 P 作 PH⊥OY 交于点 H，
∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形 EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，
Rt△HEP 中，∠EPH=30°，∴EH= EP= a，∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2；
当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5，∴2≤a+2b≤5．10
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和
性质，有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围．
6.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点 A.B 为
圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点
D，则 CD 的长是 ．
【分析】连接 AD 由 PQ 垂直平分线段 AB，推出 DA=DB，设 DA=DB=x，在 Rt△ACD 中，
∠C=90°，根据 AD2=AC2+CD2 构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接 AD．
∵PQ 垂直平分线段 AB，
∴DA=DB，设 DA=DB=x，
在 Rt△ACD 中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得 x= ，11
∴CD=BC﹣DB=5﹣ = ，
故答案为 ．
【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7.（2018•江苏苏州•3 分）如图，8×8 的正方形网格纸上有扇形 OAB 和扇形 OCD，点 O，A，
B，C，D 均在格点上．若用扇形 OAB 围成一个圆锥的侧面，记这 个圆锥的底面半径为 r1；若
用扇形 OCD 围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为 r2，则 的值为 ．
【 分 析 】 由 2πr1= 、 2πr2= 知 r1= 、
r2= ，据此可得 = ，利用勾股定理计算可得．
【解答】解：∵2πr1= 、2πr2= ，
∴r1= 、r2= ，∴ = = = = ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式
及勾股定理．
8.（2018•江苏苏州•3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC 绕
点 A 按逆时针方向旋转 90°得到△AB'C′，连接 B'C，则 sin∠ACB′= ．12
【分析】根据勾股定理求出 AC，过 C 作 CM⊥AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N，求出 B′M、
CM，根据勾股定理求出 B′C，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= =5，
过 C 作 CM⊥AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N，
∵根据旋转得出 AB′=AB=2 ，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，
∴CM=AB=2 ，AM=BC= ，∴B′M=2 ﹣ = ，
在 Rt△B′MC 中，由勾股定理得：B′C= = =5，
∴S△AB′C= = ，∴5×AN=2 ×2 ，解得：AN=4，
∴sin∠ACB′= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解
此题的关键．
9.（2018•江苏苏州•3 分）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP，PB 为
边在 AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M，N 分
别是对角线 AC，BE 的中点．当点 P 在线段 AB 上移动时，点 M，N 之间的距离最短为 2
（结果留根号）．13
【 分 析 】 连 接 PM 、 PN ． 首 先 证 明 ∠MPN=90° 设 PA=2a ， 则 PB=8﹣2a ， PM=a ， PN=
（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：连接 PM、PN．
∵四边形 APCD，四边形 PBFE 是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点，
∴∠CPM= ∠APC=60°，∠EPN= ∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，
设 PA=2a，则 PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a），
∴MN= = = ，
∴a=3 时，MN 有最小值，最小值为 2 ，
故答案为 2 ．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题 的关键是学会添加
常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
10. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，
点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG
翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边
上，若 AB=AD+2，EH=1，则 AD=________。
【答案】 或 3
【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折
叠问题）
【解析】【解答】∵当点 H 在线段 AE 上时把△ADE 翻折，点 A 落
在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上
∴四边形 ADFE 是正方形
∴AD=AE
∵AH=AE-EH=AD-114
∵把△CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上
∴DC=DH=AB=AD+2
在 Rt△ADH 中，AD2+AH2=DH2
∴AD2+（AD-1）2=（AD+2）2
解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）
∴AD=3+2
当点 H 在线段 BE 上时
则 AH=AE-EH=AD+1
在 Rt△ADH 中，AD2+AH2=DH2
∴AD2+（AD+1）2=（AD+2）2
解之：AD=3，AD=-1（舍去）
故答案为： 或 3
【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据①的折叠，可得出四
边形 ADFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从又∵∠ABC=∠ACB
∴△BDE∽△CAD
（2）∵AB=13，BC=10BD=CD= BC=5，AD2+BD2=AB2
AD=12
∵△BDE∽△CAD
∴ ，即
∴DE= 而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1），再根据②的折叠可得出 DH=AD+2，然后根据勾股
定理求出 AD 的长。
11 （2018•湖州•4 分）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为
格点．以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个
直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦
图．例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为 ，此时正方形 EFGH 的而
积为 5．问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH 的面积的所有可能
值是 13 或 49 （不包括 5）．15
【分析】当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH 的
面积为 13．当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为
49．
【解答】解：当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH
的面积为 13．
当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 49．
故答案为 13 或 49．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是
学会利
12.（2018•福建 A 卷•4 分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D 是 AB 的中点，则 CD= 3 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，
∴CD= AB= ×6=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关
键．
13.（2018•福建 A 卷•4 分）把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式放置，
其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在
同一直线上．若 AB= ，则 CD= ﹣1 ．16
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出 DF，即可
得出结论．
【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F，
在 Rt△ABC 中，∠B=45°，
∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1，
∵两个同样大小的含 45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在 Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF= =
∴CD=BF+DF﹣BC=1+ ﹣2= ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关
键．
14.（2018•福建 B 卷•4 分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D 是 AB 的中点，则 CD= 3 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，
∴CD= AB= ×6=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关
键．17
15.（2018•福建 B 卷•4 分）把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式放置，
其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在
同一直线上．若 AB= ，则 CD= ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出 DF，即可
得出结论．
【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F，
在 Rt△ABC 中，∠B=45°，
∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1，
∵两个同样大小的含 45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在 Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF= =
∴CD=BF+DF﹣BC=1+ ﹣2= ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关
键．
三.解答题
1.（2018•江苏苏州•8 分）如图，已知抛物线 y=x2﹣4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的
左侧），C 为顶点，直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D．
（1）求线段 AD 的长；
（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C′．若新抛物线经过点 D，并
且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC′平行于直线 AD，求新抛物线对应的函数表
达式．18
【分析】（1）解方程求出点 A 的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点 C′的坐标，
根据题意求出直线 CC′的解析式，代入计算即可．
【解答】解：（1）由 x2﹣4=0 得，x1=﹣2，x2=2，
∵点 A 位于点 B 的左侧，∴A（﹣2，0），
∵直线 y=x+m 经过点 A，∴﹣2+m=0，解得，m=2，
∴点 D 的坐标为（0，2），
∴AD= =2 ；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，
y=x2+bx+2=（x+ ）2+2﹣ ，则点 C′的坐标为（﹣ ，2﹣ ），
∵CC′平行于直线 AD，且经过 C（0，﹣4），
∴直线 CC′的解析式为：y=x﹣4，
∴2﹣ =﹣ ﹣4，
解得，b1=﹣4，b2=6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2 或 y=x2+6x+2．
【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性
质、抛物线与 x 轴的交点的求法是解题的关键．
2.（2018•江苏淮安•12 分）如果三角形的两个内角α 与 β 满足 2α+β=90°，那么我们称
这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= 15 °；
（2）如图①，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证
明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D），使得△ABE 也是“准
互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准
互余三角形”，求对角线 AC 的长．19
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得 CA2=CE•CB，由此即可解决问题；
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得 CF2=FB•FA，
设 FB=x，则有：x（x+7）=122，推出 x=9 或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出 AC 即可；
【解答】解：（1）∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=60°，
解得，∠B=15°，
故答案为：15°；
（2）如图①中，
在 Rt△ABC 中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD 是“准互余三角形”，
∵△ABE 也是“准互余三角形”，
∴只有 2∠A+∠BAE=90°，
∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，可得 CA2=CE•CB，
∴CE= ，
∴BE=5﹣ = ．20
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A.B.F 共线，
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有 2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2=FB•FA，设 FB=x，
则有：x（x+7）=122，
∴x=9 或﹣16（舍弃），
∴AF=7+9=16，
在 Rt△ACF 中，AC= = =20．
【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知
识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学
会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．
3.（2018•江苏无锡•8 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，
cosB= ，求 AD 的长．21
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作 AE⊥BC 于
E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．解 Rt△AEB，得出 BE=AB•cos∠ABE= ，AE=
= ，那么 AF=AE﹣EF= ．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函
数相等得出 sin∠ADF=cos∠ABC= ．解 Rt△ADF，即可求出 AD= =6．
【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．
在 Rt△AEB 中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC= ，
∴BE=AB•cos∠ABE= ，∴AE= = ，∴AF=AE﹣EF= ﹣10= ．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos∠ABC= ，∴sin∠ADF=cos∠ABC= ．
在 Rt△ADF 中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF= ，∴AD= = =6．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，
求出 AF= 以及 sin∠ADF= 是解题的关键．
4.（2018•江苏宿迁•12 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E.F 分别在边 AB.CD
上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D
重合），点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，设 BE=x，22
（1）当 AM= 时，求 x 的值；
（2）随着点 M 在边 AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；
如不变，请求出该定值；
（3）设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.
【分析】（1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 Rt△AME 中，根据勾股
定理得（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .
（2）△PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、BP，过点 B 作 BH⊥MN，根据折叠性
质知 BE=ME，由等边对等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角
形的判定 AAS 得 Rt△ABM≌Rt△HBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM，AB=HB=BC，又根据全
等三角形的判定 HL 得 Rt△BHP≌Rt△BCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长
和等量代换即可得出△PDM 周长为定值 2.
（3）过 F 作 FQ⊥AB，连接 BM，由折叠性质可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，由等角的余角相等
得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定 ASA 得 Rt△ABM≌Rt△QFE，据全等三角形的性
质得 AM=QE；设 AM 长为 a，在 Rt△AEM 中，根据勾股定理得（1-x）2+a2=x2,从而得 AM=QE=
,
BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S 与 x 的函数关系式；又由（1-x）
2+a2=x2,得 x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0
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