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尺规作图
一.选择题
1.（2018·湖北襄阳·3 分）如图，在△ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 长为
半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN 分别交 BC，AC 于点 D，E．若 AE=3cm，△ABD 的
周长为 13cm，则△ABC 的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE 垂直平分线段 AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC 的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
2. （2018·湖南郴州·3 分）如图，∠AOB=60°，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交
OA，OB 于 C，D 两点；分别以 C，D 为圆心，以大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；
以 O 为端点作射线 OP，在射线 OP 上截取线段 OM=6，则 M 点到 OB 的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
【分析】直接利用角平分线的作法得出 OP 是∠AOB 的角平分线，再利用直角三角形的性质
得出答案．2
【解答】解：过点 M 作 ME⊥OB 于点 E，
由题意可得：OP 是∠AOB 的角平分线，
则∠POB= ×60°=30°，
∴ME= OM=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图以及含 30 度角的直角三角形，正确得出 OP 是∠AOB 的角
平分线是解题关键．
A. r B. （1+ ）r C. （1+ ）r D. r
【答案】D
【解析】分析：如图连接 CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
详解：如图连接 CD，AC，DG，AG．
3. （2018•湖州•3 分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传
说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为 r 的⊙O 六等分，依次得到 A，B，C，D，E，F 六个分点；
②分别以点 A，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点；
③连结 OG．
问：OG 的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）3
∵AD 是⊙O 直径，
∴∠ACD=90°，
在 Rt△ACD 中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC= r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG= r，
故选：D．
点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
4. （2018•嘉兴•3 分）用尺规在一个平行四边形内作菱形 ,下列作法中错误的是（ ）
A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【答案】C
【解析】分析：由作图，可以证明 A.B.D 中四边形 ABCD 是菱形，C 中 ABCD 是平行四边形，
即可得到结论．
详解：A．∵AC 是线段 BD 的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形 ABCD 是菱形．故 A
正确；
B．由作图可知：AD=AB=BC．4
∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AD=AB，∴四边形 ABCD 是菱形．故 B 正确；
C．由作图可知 AB.CD 是角平分线，可以得到 ABCD 是平行四边形，不能得到 ABCD 是
菱形．故 C 错误；
D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，
∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．
∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AB=BC，∴四边形 ABCD 是菱形．故 D 正确．
故选 C．
点睛：本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如
何作图的．
5. （2018•贵州安顺•3 分） 已知 ，用尺规作图的方法在 上确定一点，使
，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析：要使 PA+PC=BC，必有 PA=PB，所以选项中只有作 AB 的中垂线才能满足这个5
条件，故 D 正确．
详解：D 选项中作的是 AB 的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故选 D．
点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB．
二.填空题
1.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点 A.B 为
圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点
D，则 CD 的长是 ．
【分析】连接 AD 由 PQ 垂直平分线段 AB，推出 DA=DB，设 DA=DB=x，在 Rt△ACD 中，
∠C=90°，根据 AD2=AC2+CD2 构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接 AD．
∵PQ 垂直平分线段 AB，
∴DA=DB，设 DA=DB=x，
在 Rt△ACD 中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得 x= ，6
∴CD=BC﹣DB=5﹣ = ，
故答案为 ．
【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
2.（2018•山东东营市•3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，以顶点 C 为圆心，适当长为
半径画弧，分别交 AC，BC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，
两弧交于点 P，作射线 CP 交 AB 于点 D．若 BD=3，AC=10，则△ACD 的面积是 15 ．
【分析】作 DQ⊥AC，由角平分线的性质知 DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：如图，过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q，
由作图知 CP 是∠ACB 的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD= •AC•DQ= ×10×3=15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线
的性质．
3.（2018•湖州•4 分）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为
格点．以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个
直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦
图．例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为 ，此时正方形 EFGH 的而
积为 5．问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH 的面积的所有可能
值是 13 或 49 （不包括 5）．7
【分析】当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH 的
面积为 13．当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为
49．
【解答】解：当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH
的面积为 13．
当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 49．
故答案为 13 或 49．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是
学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三.解答题
1.（2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·5 分）图①、图②都是由边长为 1 的
小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点 O，M，N，A，B 均在格点上，请仅用无
刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图①中，画出∠MON 的平分线 OP；
（2）在图②中，画一个 Rt△ABC，使点 C 在格点上．
【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）如图所示，射线 OP 即为所求．
（2）如图所示，点 C 即为所求；8
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
2.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 AC，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A
和点 C，且使∠ABC=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕
迹．）
（2）问：（1）中这样的直线 AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画
出所有这样的直线 AC，并写出与之对应的函数表达式．
【分析】（1）①作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，②作矩形 OA′BC′，直线 A′C′，
满足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）解：如图△ABC 即为所求；
（2）解：这样的直线不唯一．
①作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，此时直线的解析式为 y=﹣ x+ ．9
②作矩形 OA′BC′，直线 A′C′，满足条件，此时直线 A′C′的解析式为 y=﹣ x+4．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
3.（2018•广东•6 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；（不要求写作法，
保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 BF，求∠DBF 的度数．
【分析】（1）分别以 A.B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF 计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线 EF 即为所求；
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF 垂直平分线线段 AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．10
4.（2018•广西贵港•5 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α
和线段 a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．
【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
△ABC 为所求作
【点评】本题考查尺规作图，解题的关键是熟练运用尺规作图的基本方法，本题属于中等题
型．
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