1
二次函数
一.选择题
1.（2018·湖北随州·3 分）如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A.B 两点，与 y 轴交于
点 C 对称轴为直线 x=1．直线 y=﹣x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C.D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，
则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则 2a+b+c=c＞0，于是可对①
进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当 x=﹣1 时，y＜
0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到 x=1 时，二次函数有最大值，则 ax2+bx+c≤a+b+c，于是
可对③进行判断；由于直线 y=﹣x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C.D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，
利用函数图象得 x=3 时，一次函数值比二次函数值大，即 9a+3b+c＜﹣3+c，然后把 b=﹣2a 代入解 a 的不等
式，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当 x=﹣1 时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；2
∵x=1 时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线 y=﹣x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C.D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，
∴x=3 时，一次函数值比二次函数值大，
即 9a+3b+c＜﹣3+c，
而 b=﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得 a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量
的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
2. （2018·湖北襄阳·3 分）已知二次函数 y=x2﹣x+ m﹣1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【分析】根据已知抛物线与 x 轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵二次函数 y=x2﹣x+ m﹣1 的图象与 x 轴有交点，
∴△=（﹣1）2﹣4×1×（ m﹣1）≥0，
解得：m≤5，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，能根据题意得出关于 m 的不等式是解此题的关键．
3.（2018•山东东营市•3 分）如图所示，已知△ABC 中，BC=12，BC 边上的高 h=6，D 为 BC 上一点，EF∥BC，
交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x．则△DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可过点 A 向 BC 作 AH⊥BC 于点 H，所以根据相似三角形的性质可求出 EF，进而求出函数关系式，由3
此即可求出答案．
【解答】解：过点 A 向 BC 作 AH⊥BC 于点 H，所以根据相似比可知： = ，
即 EF=2（6﹣x）
所以 y= ×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上
的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
4.（2018•山东烟台市•3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），B（3，0）．下列
结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3 时，y＜0；④当 a=1 时，将抛物线先向上平移 2 个单位，
再向右平移 1 个单位，得到抛物线 y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．
【解答】解：①图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），B（3，0），
∴二次函数的图象的对称轴为 x= =1
∴ =1
∴2a+b=0，故①错误；
②令 x=﹣1，
∴y=a﹣b+c=0，
∴a+c=b，
∴（a+c）2=b2，故②错误；4
③由图可知：当﹣1＜x＜3 时，y＜0，故③正确；
④当 a=1 时，
∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4
将抛物线先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，
得到抛物线 y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中
等题型．
5.（2018•上海•4 分）下列对二次函数 y=x2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 y 轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A.由 a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项 A 不正确；
B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确；
C.代入 x=0 求出 y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C 正确；
D.由 a=1＞0 及抛物线对称轴为直线 x= ，利用二次函数的性质，可得出当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而增大，
选项 D 不正确．
综上即可得出结论．
【解答】解：A.∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项 A 不正确；
B.∵﹣ = ，
∴抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确；
C.当 x=0 时，y=x2﹣x=0，
∴抛物线经过原点，选项 C 正确；
D.∵a＞0，抛物线的对称轴为直线 x= ，
∴当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是
解题的关键．
6.（2018•达州•3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），与 y 轴的交点 B 在（0，
2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=2．5
下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点 M（ ，y1），点 N（ ，y2）是函数图象上的两点，则 y1＜y2；④﹣
＜a＜﹣ ．
其中正确结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴 x= ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与 y 轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
对称轴为 x=2，
∴抛物线与 x 轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3 时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 ＜2 ，
且（ ，y2）关于直线 x=2 的对称点的坐标为（ ，y2），
∵ ，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵ =2，
∴b=﹣4a，
∵x=﹣1，y=0，
∴a﹣b+c=0，
∴c=﹣5a，6
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣5a＜3，
∴﹣ ＜a＜﹣ ，故④正确
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
7.（2018•遂宁•4 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用抛物线开口方向得到 a＞0，利用抛物线的对称轴在直线 x=1 的右侧得到 b＜0，b＜﹣2a，即 b+2a＜
0，利用抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方得到 c＜0，也可判断 abc＞0，利用抛物线与 x 轴有 2 个交点可判断
b2﹣4ac＞0，利用 x=1 可判断 a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线 x=1 的右侧，
∴x=﹣ ＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即 b+2a＜0，
∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．7
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 a＞0 时，
抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a
与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物
线与 y 轴交于（0，c）．抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定：△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；
△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
8. （2018•资阳•3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有
A.B.c 三个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数
是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．
【解答】解：① =﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；
②ac+b+1=0，设 C（0，c），则 OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得 ac2+bc+c=0，又 c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc＞0，从图象中易知 a＞0，b＜0，c＜0，故正确；
④a﹣b+c＞0，当 x=﹣1 时 y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质．
9. （2018•杭州•3 分）四位同学在研究函数 （b，c 是常数）时，甲发现当 时，函数
有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 时，
．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值 8
【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）设抛物线的解析式为：
y=a（x-1）2+3
∴a+3=4
解之：a=1
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3=x2-2x+4
当 x=-1 时，y=7，
∴乙说法错误
故答案为：B
【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4），因此设
函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。
10．（2018•临安•3 分）抛物线 y=3（x﹣1）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【分析】已知抛物线顶点式 y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线 y=3（x﹣1）2+1 是顶点式，
∴顶点坐标是（1，1）．故选 A．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
11. （2018•湖州•3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物
线 y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（ ）
A. a≤﹣1 或 ≤a＜ B. ≤a＜
C. a≤ 或 a＞ D. a≤﹣1 或 a≥
【答案】A
【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
详解：∵抛物线的解析式为 y=ax2-x+2．
观察图象可知当 a＜0 时，x=-1 时，y≤2 时，满足条件，即 a+3≤2，即 a≤-1；
当 a＞0 时，x=2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，满足条件，9
∴a≥ ，
∵直线 MN 的解析式为 y=- x+ ，
由 ，消去 y 得到，3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜ ，
∴ ≤a＜ 满足条件，
综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤-1 或 ≤a＜ ，
故选：A．
点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12. （2018•贵州安顺•3 分） 已知二次函数 的图象如图，分析下列四个结论：① ；
② ；③ ；④ .其中正确的结论有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】B
【解析】试题解析：①由开口向下，可得
又由抛物线与 y 轴交于正半轴，可得
再根据对称轴在 y 轴左侧，得到与同号，则可得
故①错误；
②由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 故②正确；
③当 时， 即 ……（1）
当 时， ,即 ……（2）
（1）+（2）×2 得，
即
又因为10
所以
故③错误；
④因为 时， 时，
所以
即
所以
故④正确，
综上可知，正确的结论有 2 个.
故选 B．
13. （2018•广西玉林•3 分）如图，一段抛物线 y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为 C1，与 x 轴交于 A0，A1 两点，顶
点为 D1；将 C1 绕点 A1 旋转 180°得到 C2，顶点为 D2；C1 与 C2 组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与
新图象交于点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段 D1D2 交于点 P3（x3，y3），设 x1，x2，x3 均为正数，t=x1+x2+x3，
则 t 的取值范围是（ ）
A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
【分析】首先证明 x1+x2=8，由 2≤x3≤4，推出 10≤x1+x2+x3≤12 即可解决问题；
【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为 y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵设 x1，x2，x3 均为正数，
∴点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12 即 10≤t≤12，
故选：D．
14. （2018•广西南宁•3 分）将抛物线 y= x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y= （x﹣8）2+5 B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3
【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【解答】解：y= x2﹣6x+21
= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
= （x﹣6）2+3，11
故 y= （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．
15. （2018·黑龙江大庆·3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0）、点 B（3，0）、点 C
（4，y1），若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则 0≤y2≤5a；
③若 y2＞y1，则 x2＞4；
④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为﹣1 和
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用交点式写出抛物线解析式为 y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得 y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行
判断；计算 x=4 时，y=a•5•1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可
对③进行判断；由于 b=﹣2a，c=﹣3a，则方程 cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判
断．
【解答】解：抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），
即 y=ax2﹣2ax﹣3a，
∵y=a（x﹣1）2﹣4a，
∴当 x=1 时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当 x=4 时，y=a•5•1=5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点 C（1，5a）关于直线 x=1 的对称点为（﹣2，﹣5a），
∴当 y2＞y1，则 x2＞4 或 x＜﹣2，所以③错误；
∵b=﹣2a，c=﹣3a，
∴方程 cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，12
整理得 3x2+2x﹣1=0，解得 x1=﹣1，x2= ，所以④正确．
故选：B．
16. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）将抛物线 y=﹣5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，
所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【解答】解：将抛物线 y=﹣5x2+1 向左平移 1 个单位长度，得到 y=﹣5（x+1）2+1，再向下平移 2 个单位长
度，
所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
17. （2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）抛物线 C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1 与平行于 x 轴的直线交于 A.B 两点，且
A 点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线 x=2；②抛物线与 y 轴交点坐标为（0，
﹣1）；③m＞ ；④若抛物线 C2：y2=ax2（a≠0）与线段 AB 恰有一个公共点，则 a 的取值范围是 ≤a＜2；⑤
不等式 mx2﹣4mx+2n＞0 的解作为函数 C1 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数
有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】①利用抛物线对称轴方程可判定；②与 y 轴相交设 x=0，问题可解；③当抛物线过 A（﹣1，2）时，
带入可以的到 2n=3﹣5m，函数关系式中只含有参数 m，由抛物线与 x 轴有两个公共点，则由一元二次方程根
的判别式可求；④求出线段 AB 端点坐标，画图象研究临界点问题可解；⑤把不等式问题转化为函数图象问
题，答案易得．
【解答】解：抛物线对称轴为直线 x=﹣ 故①正确；
当 x=0 时，y=2n﹣1 故②错误；
把 A 点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式
得：2=m+4m+2n﹣113
整理得：2n=3﹣5m
带入 y1=mx2﹣4mx+2n﹣1
整理的：y1=mx2﹣4mx+2﹣5m
由已知，抛物线与 x 轴有两个交点
则：b2﹣4ac=（﹣4m）2﹣4m（2﹣5m）＞0
整理得：36m2﹣8m＞0
m（9m﹣2）＞0
∵m＞0
9m﹣2＞0
即 m＞ 故③错误；
由抛物线的对称性，点 B 坐标为（5，2）
当 y2=ax2 的图象分别过点 A.B 时，其与线段分别有且只有一个公共点
此时，a 的值分别为 a=2.a=
a 的取值范围是 ≤a＜2；故④正确；
不等式 mx2﹣4mx+2n＞0 的解可以看做是，抛物线 y1=mx2﹣4mx+2n﹣1 位于直线 y=﹣1 上方的部分，其此时 x
的取值范围包含在
使 y1=mx2﹣4mx+2n﹣1 函数值范围之内故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与 x 轴交点
个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式．
18. （2018·湖北省恩施·3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断
中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则 y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（ ）14
2x
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴 x=﹣1，经过（1，0），
∴﹣ =﹣1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=﹣3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
∵抛物线与 x 轴有交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确，
∵抛物线与 x 轴交于（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c=0，故③正确，
∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，
﹣1.5＞﹣2，
则 y1＜y2；故④错误，
∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
18. （2018•广西北海•3分）将抛物线 y＝1 2－6x＋21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为
A. y＝1 －8)2＋5 B. y＝1 －4)2＋5
2(x 2(x
C. y＝1 －8)2＋3 D. y＝1 －4)2＋3
2(x15
2x
2(x
2(x
【答案】D 2(x
【考点】配方法；函数图像的平移规律；点的平移规律；
【解析】方法 1：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移。抛物线 y＝1 2－6x＋21 可配方
1
2(x
－6)2＋3，顶点坐标为(6,3)．因为图形向左平移 2 个单位，所以顶点向左平移 2 个
单位，即新的顶点坐标变为(4,3)，而开口大小不变，于是新抛物线解析式为 y＝1 －4)2＋3．
方法2：直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移2个单位，即原来解析
式中所有的“x”均要变为“x＋2”，于是新抛物线解析式为 y＝1 ＋2)2－6(x＋2)＋21，整理
成 y＝16
得 y＝1 2－4x＋11，配方后得 y＝1 －4)2＋3．
2x 2(x
【点评】本题可运用点的平移规律，也可运用函数图像平移规律，但要注意的是二者的区别： 其中点的平移规律
是上加下减，左减右加；而函数图像的平移规律是上加下减，左加右减。
19.（2018•广西贵港•3 分）如图，抛物线 y= （x+2）（x﹣8）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，顶
点为 M，以 AB 为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线 x=3；②⊙D 的面积为 16π；③抛物线上
存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；④直线 CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与 x 轴的交点 A.B 坐标，由抛物线的对称性即可判定；
②求得⊙D 的直径 AB 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，
③过点 C 作 CE∥AB，交抛物线于 E，如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判
定；
④求得直线 CM、直线 CD 的解析式通过它们的斜率进行判定．
【解答】解：∵在 y= （x+2）（x﹣8）中，当 y=0 时，x=﹣2 或 x=8，
∴点 A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为 x= =3，故①正确；
∵⊙D 的直径为 8﹣（﹣2）=10，即半径为 5，
∴⊙D 的面积为 25π，故②错误；
在 y= （x+2）（x﹣8）= x2﹣ x﹣4 中，当 x=0 时 y=﹣4，
∴点 C（0，﹣4），
当 y=﹣4 时， x2﹣ x﹣4=﹣4，17
解得：x1=0、x2=6，
所以点 E（6，﹣4），
则 CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形 ACED 不是平行四边形，故③错误；
∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣3）2﹣ ，
∴点 M（3，﹣ ），
设直线 CM 解析式为 y=kx+b，
将点 C（0，﹣4）、M（3，﹣ ）代入，得： ，
解得： ，
所以直线 CM 解析式为 y=﹣ x﹣4；
设直线 CD 解析式为 y=mx+n，
将点 C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得： ，
解得： ，
所以直线 CD 解析式为 y= x﹣4，
由﹣ × =﹣1 知 CM⊥CD 于点 C，
∴直线 CM 与⊙D 相切，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边
形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．
20.（2018•贵州贵阳•3分）已知二次函数 y x 2 x 6 及一次函数 y x m 将该二次函数在
x 轴上方
的图像沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数（如图所 示，当直线 y x
m 与新图18
像有 4 个交点时， m 的取值范 围是（ D ）
（A） 25 m 3
4
（B） 25 m 2
4
（C） 2 m 3
（D） 6 m 2
【解】图解19
故选 D
21. （2018 湖南长沙 3.00 分）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax 2+ax﹣2a 总不经过点 P（x 0﹣3，
x02﹣16），则符合条件的点 P（ ）
A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．有且只有 3 个 D．有无穷多个
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点
P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点 P 的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点 P（x0﹣3，x02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0=﹣4 或 x0=1，
∴点 P 的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．
22.（2018•上海•4 分）下列对二次函数 y=x2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 y 轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A.由 a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项 A 不正确；
B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确；20
C.代入 x=0 求出 y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C 正确；
D.由 a=1＞0 及抛物线对称轴为直线 x= ，利用二次函数的性质，可得出当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而增大，
选项 D 不正确．
综上即可得出结论．
【解答】解：A.∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项 A 不正确；
B.∵﹣ = ，
∴抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确；
C.当 x=0 时，y=x2﹣x=0，
∴抛物线经过原点，选项 C 正确；
D.∵a＞0，抛物线的对称轴为直线 x= ，
∴当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是
解题的关键．
23. （2018•达州•3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），与 y 轴的交点 B 在
（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=2．
下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点 M（ ，y1），点 N（ ，y2）是函数图象上的两点，则 y1＜y2；④
﹣ ＜a＜﹣ ．
其中正确结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：①由开口可知：a＜0，21
∴对称轴 x= ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与 y 轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
对称轴为 x=2，
∴抛物线与 x 轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3 时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 ＜2 ，
且（ ，y2）关于直线 x=2 的对称点的坐标为（ ，y2），
∵ ，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵ =2，
∴b=﹣4a，
∵x=﹣1，y=0，
∴a﹣b+c=0，
∴c=﹣5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣5a＜3，
∴﹣ ＜a＜﹣ ，故④正确
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题
型．
24. （2018•遂宁•4 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）22
A． B．
C． D．
【分析】利用抛物线开口方向得到 a＞0，利用抛物线的对称轴在直线 x=1 的右侧得到 b＜0，b＜﹣2a，即 b+2a
＜0，利用抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方得到 c＜0，也可判断 abc＞0，利用抛物线与 x 轴有 2 个交点可判断
b2﹣4ac＞0，利用 x=1 可判断 a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线 x=1 的右侧，
∴x=﹣ ＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即 b+2a＜0，
∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 a＞0 时，
抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a
与 b 同号时，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物
线与 y 轴交于（0，c）．抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定：△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；
△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
25.（2018•资阳•3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有23
A.B.c 三个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数
是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．
【解答】解：① =﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；
②ac+b+1=0，设 C（0，c），则 OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得 ac2+bc+c=0，又 c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc＞0，从图象中易知 a＞0，b＜0，c＜0，故正确；
④a﹣b+c＞0，当 x=﹣1 时 y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0，故正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质．
二.填空题
1. （2018•乌鲁木齐•4 分）把拋物线 y=2x 2﹣4x+3 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式
为 ．
【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．
【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加
下减”．
2.（2018•江苏淮安•3 分）将二次函数 y=x2﹣1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数表
达式是 y=x2+2 ．
【分析】先确定二次函数 y=x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所
得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：二次函数 y=x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移 3 个单位长度所得对应点24
的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为 y=x2+2．
故答案为：y=x2+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的
抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析
式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3.（2018•江苏苏州•3 分）如图，已知 AB=8，P 为线段 AB 上的一个动点，分别以 AP，PB 为边在 AB 的同侧作
菱形 APCD 和菱形 PBFE，点 P，C，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点．当点 P
在线段 AB 上移动时，点 M，N 之间的距离最短为 2 （结果留根号）．
【分析】连接 PM、PN．首先证明∠MPN=90°设 PA=2a，则 PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a），构建二次函数，
利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：连接 PM、PN．
∵四边形 APCD，四边形 PBFE 是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N 分别是对角线 AC，BE 的中点，
∴∠CPM= ∠APC=60°，∠EPN= ∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，
设 PA=2a，则 PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a），
∴MN= = = ，
∴a=3 时，MN 有最小值，最小值为 2 ，
故答案为 2 ．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构建
二次函数解决最值问题．
4. （2018•乌鲁木齐•4 分）把拋物线 y=2x 2﹣4x+3 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式
为 ．
【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．25
【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加
下减”．
5. （2018•湖州•4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx（a＞0）的顶点为 C，与 x 轴
的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y=ax2（a＞0）交于点 B．若四边形 ABOC 是正方形，则 b 的值是
﹣2 ．
【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点 B 的坐标为（﹣ ，﹣ ），再利用二次函数图象上点的
坐标特征即可得出关于 b 的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵四边形 ABOC 是正方形，
∴点 B 的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
∵抛物线 y=ax2 过点 B，
∴﹣ =a（﹣ ）2，
解得：b1=0（舍去），b2=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性
质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于 b 的方程是解题的关键．
6. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）抛物线 y=2（x+2）2+4 的顶点坐标为 （﹣2，4） ．
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【解答】解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
7.（2018•福建 A 卷•4 分）如图，直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则△ABC26
面积的最小值为 6 ．
【分析】根据双曲线 y= 过 A，B 两点，可设 A（a， ），B（b， ），则 C（a， ）．将 y=x+m 代入 y= ，
整理得 x2+mx﹣3=0，由于直线 y=x+m 与双曲线 y= 相交于 A，B 两点，所以 A.b 是方程 x2+mx﹣3=0 的两个根，
根据根与系数的关系得出 a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公
式得出 S△ABC= AC•BC= m2+6，利用二次函数的性质即可求出当 m=0 时，△ABC 的面积有最小值 6．
【解答】解：设 A（a， ），B（b， ），则 C（a， ）．
将 y=x+m 代入 y= ，得 x+m= ，
整理，得 x2+mx﹣3=0，
则 a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC= AC•BC
= （ ﹣ ）（a﹣b）
= • •（a﹣b）
= （a﹣b）2
= （m2+12）
= m2+6，
∴当 m=0 时，△ABC 的面积有最小值 6．
故答案为 6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上
点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质．
8．（2018•贵州黔西南州•3 分）已知：二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如27
表格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 （3，0） ．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴 x= =1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
9.（2018•贵州遵义•4 分）如图抛物线 y=x2+2x﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对
称轴上任意一点，若点 D.E.F 分别是 BC.BP、PC 的中点，连接 DE，DF，则 DE+DF 的最小值为 ．
【分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出 P 点位置，再求出 AO，CO 的长，进而利用勾股定理得出答
案．
【解答】解：连接 AC，交对称轴于点 P，
则此时 PC+PB 最小，
∵点 D.E.F 分别是 BC.BP、PC 的中点，
∴DE= PC，DF= PB，
∵抛物线 y=x2+2x﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，
∴0=x2+2x﹣3
解得：x1=﹣3，x2=1，
x=0 时，y=3，
故 CO=3，
则 AO=3，可得：AC=PB+PC=3 ，28
故 DE+DF 的最小值为： ．
故答案为： ．
10. （2018•乌鲁木齐•4 分）把拋物线 y=2x2﹣4x+3 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．
【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，
∴向左平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加
下减”．
三.解答题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·10 分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假
设生产出的产品能全部售出．如图，线段 EF、折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元）、生产
成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）根据线段 EF 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；29
（2）显然，当 0≤x≤50 时，y2=70；当 130≤x≤180 时，y2=54；当 50＜x＜130 时，设 y2 与 x 之间的函数
关系式为 y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据 x 的取值范围列出有关 x 的二次函数，求得最值比较可得．
【解答】解：（1）设 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1=kx+b，
∵经过点（0，168）与（180，60），
∴ ，解得： ，
∴产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y1=﹣ x+168（0≤x≤180）；
（2）由题意，可得当 0≤x≤50 时，y2=70；
当 130≤x≤180 时，y2=54；
当 50＜x＜130 时，设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y2=mx+n，
∵直线 y2=mx+n 经过点（50，70）与（130，54），
∴ ，解得 ，
∴当 50＜x＜130 时，y2=﹣ x+80．
综上所述，生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y2= ；
（3）设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元，
①当 0≤x≤50 时，W=x（﹣ x+168﹣70）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当 x=50 时，W 的值最大，最大值为 3400；
②当 50＜x＜130 时，W=x[（﹣ x+168）﹣（﹣ x+80）]=﹣ （x﹣110）2+4840，
∴当 x=110 时，W 的值最大，最大值为 4840；
③当 130≤x≤180 时，W=x（﹣ x+168﹣54）=﹣ （x﹣95）2+5415，
∴当 x=130 时，W 的值最大，最大值为 4680．
因此当该产品产量为 110kg 时，获得的利润最大，最大值为 4840 元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出
二次函数模型．30
2. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·12 分）抛物线 y=﹣ x2+ x﹣1 与 x 轴交于点 A，B
（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，其顶点为 D．将抛物线位于直线 l：y=t（t＜ ）上方的部分沿直
线 l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
（1）点 A，B，D 的坐标分别为 （ ，0） ， （3，0） ， （ ， ） ；
（2）如图①，抛物线翻折后，点 D 落在点 E 处．当点 E 在△ABC 内（含边界）时，求 t 的取值范围；
（3）如图②，当 t=0 时，若 Q 是“M”形新图象上一动点，是否存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P？若
存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A.B 的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点
D 的坐标；
（2）由点 D 的坐标结合对称找出点 E 的坐标，根据点 B.C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，
再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于 t 的一元一次不等式组，解之即可得出 t 的取值范围；
（3）假设存在，设点 P 的坐标为（ m，0），则点 Q 的横坐标为 m，分 m＜ 或 m＞3 及 ≤m≤3 两种情况，
利用勾股定理找出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值，进而可找出点 P 的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）当 y=0 时，有﹣ x2+ x﹣1=0，
解得：x1= ，x2=3，
∴点 A 的坐标为（ ，0），点 B 的坐标为（3，0）．
∵y=﹣ x2+ x﹣1=﹣ （x2﹣ x）﹣1=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴点 D 的坐标为（ ， ）．
故答案为：（ ，0）；（3，0）；（ ， ）．
（2）∵点 E.点 D 关于直线 y=t 对称，31
∴点 E 的坐标为（ ，2t﹣ ）．
当 x=0 时，y=﹣ x2+ x﹣1=﹣1，
∴点 C 的坐标为（0，﹣1）．
设线段 BC 所在直线的解析式为 y=kx+b，
将 B（3，0）、C（0，﹣1）代入 y=kx+b，
，解得： ，
∴线段 BC 所在直线的解析式为 y= x﹣1．
∵点 E 在△ABC 内（含边界），
∴ ，
解得： ≤t≤ ．
（3）当 x＜ 或 x＞3 时，y=﹣ x2+ x﹣1；
当 ≤x≤3 时，y= x2﹣ x+1．
假设存在，设点 P 的坐标为（ m，0），则点 Q 的横坐标为 m．
①当 m＜ 或 m＞3 时，点 Q 的坐标为（m，﹣ x2+ x﹣1）（如图 1），
∵以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即 m2+（﹣ m2+ m）2= m2+1+ m2+（﹣ m2+ m﹣1）2，
整理，得：m1= ，m2= ，
∴点 P 的坐标为（ ，0）或（ ，0）；
②当 ≤m≤3 时，点 Q 的坐标为（m， x2﹣ x+1）（如图 2），
∵以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即 m2+（ m2﹣ m+2）2= m2+1+ m2+（ m2﹣ m+1）2，32
整理，得：11m2﹣28m+12=0，
解得：m3= ，m4=2，
∴点 P 的坐标为（ ，0）或（1，0）．
综上所述：存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，点 P 的坐标为（ ，0）、（ ，0）、（1，0）或
（ ，0）．
【点评】本题考查了一次（二次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及
解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点 A.B 的坐标；（2）利用一
次函数图象上点的坐标特征结合点 E 在△ABC 内，找出关于 t 的一元一次不等式组；（3）分 m＜ 或 m＞3
及 ≤m≤3 两种情况，找出关于 m 的一元二次方程．
3. （2018·湖北随州·11 分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要
求在 15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件 20 元，设第 x 天（1≤x≤15，且 x 为整数）每件产品的
成本是 p 元，p 与 x 之间符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x） 1 3 6 10
每件成本 p（元） 7.5 8.5 10 12
任 务 完 成 后 ， 统 计 发 现 工 人 李 师 傅 第 x 天 生 产 的 产 品 件 数 y （ 件 ） 与 x （ 天 ） 满 足 如 下 关 系 ： y=33
设李师傅第 x 天创造的产品利润为 W 元．
（1）直接写出 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围：
（2）求李师傅第几天 创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为 299 元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工
人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20 元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值
范围：
（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果和不等 式的性质可以解答本题．
【解答】解：（1）设 p 与 x 之间的函数关系式为 p=kx+b，
，解得， ，
即 p 与 x 的函数关系式为 p=0.5x+7（1≤x≤15，x 为整数），
当 1≤x＜10 时，
W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260，
当 10≤x≤15 时，
W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520，
即 W= ；
（2）当 1≤x＜10 时，
W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，
∴当 x=8 时，W 取得最大值，此时 W=324，
当 10≤x≤15 时，
W=﹣20x+520，
∴当 x=10 时，W 取得最大值，此时 W=320，
∵324＞320，
∴李师傅第 8 天创造的利润最大，最大利润是 324 元；
（3）当 1≤x＜10 时，
令﹣x2+16x+260=299，得 x1=3，x2=13，
当 W＞299 时，3＜x＜13，
∵1≤x＜10，
∴3＜x＜10，
当 10≤x≤15 时，34
令 W=﹣20x+520＞299，得 x＜11.05，
∴10≤x≤11，
由上可得，李师傅获得奖金的月份是 4 月到 11 月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），
即李师傅共可获得 160 元奖金．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解不等式，解答本题的关键是明确题意，找出所
求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
4.（2018·湖北随州·12 分）如图 1，抛物线 C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与 x 轴交于 A.B 两点，与 y 轴交于
点 C．已知点 A 的坐标为（﹣1，0），点 O 为坐标原点，OC=3OA，抛物线 C1 的顶点为 G．
（1）求出抛物线 C1 的解析式，并写出点 G 的坐标；
（2）如图 2，将抛物线 C1 向下平移 k（k＞0）个单位，得到抛物线 C2，设 C2 与 x 轴的交点为 A′、B′，顶
点为 G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求 k 的值：
（3）在（2）的条件下，如图 3，设点 M 为 x 轴正半轴上一动点，过点 M 作 x 轴的垂线分别交抛物线 C1.C2
于 P、Q 两点，试探究在直线 y=﹣1 上是否存在点 N，使得以 P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ 全等，若存在，
直接写出点 M，N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点 A 的坐标及 OC=3OA 得点 C 坐 标，将 A.C 坐标代入解析式求解可得；
（2）设抛物线 C 2 的解析式为 y=﹣x2+2x+3﹣k，即 y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作 G′D⊥x 轴于点 D，设
BD′=m，由等边三角形性质知点 B′的坐标为（m+1，0），点 G′的坐标为（1， m），代入所设解析式求解
可得；
（3）设 M（x，0），则 P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据 PQ=OA=1 且∠AOQ、∠PQN 均为钝角知△
AOQ≌△PQN，延长 PQ 交直线 y=﹣1 于点 H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于 x 的方程，解之求得
x 的值从而进一步求解．
【解答】解：（1）∵点 A 的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点 C 的坐标为（0，3），
将 A.C 坐标代入 y=ax2﹣2ax+c，得：35
，
解得： ，
∴抛物线 C1 的解析式为 y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点 G 的坐标 为（1，4）．
（2）设抛物线 C2 的解析式为 y=﹣x2+2x+3﹣k，即 y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点 G′作 G′D⊥x 轴于点 D，设 BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D= B′D= m，
则点 B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1， m），
将点 B′、G′的坐标代入 y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得： （舍）， ，
∴k=1；
（3）设 M（x，0），则 P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN 均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图 2，延长 PQ 交直线 y=﹣1 于点 H，36
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即 x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x= （负值舍去），
当 x= 时，HN=QM=﹣x2+2x+2= ，点 M（ ，0），
∴点 N 坐标为（ + ，﹣1），即（ ，﹣1）；
或（ ﹣ ，﹣1），即（1，﹣1）；
如图 3，
同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即 x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，37
解得：x=﹣1（舍）或 x=4，
当 x=4 时，点 M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点 N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点 M1（ ，0）、N1（ ，﹣1）；M2（ ，0）、N2（1，﹣1）；
M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性
质、全等三角形的判定与性质等知识点．
5. （2018·湖北襄阳·10 分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把
一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的 30 天中，第一天卖出 20 千克，为了扩
大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出 4 千克．第 x 天的售价为 y 元/千克，y 关于 x 的函数解
析式为 且第 12 天的售价为 32 元/千克，第 26 天的售价为 25 元/千
克．已知种植销售蓝莓的成木是 18 元/千克，每天的利润是 W 元（利润=销售收入﹣成本）．
（1）m= ﹣ ，n= 25 ；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的 30 天中，当大利润不低于 870 元的共有多少天？
【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；
（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；
（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于 870 的天数，注意天数为正整数．
【解答】解：（1）当第 12 天的售价为 32 元/件，代入 y=mx﹣76m 得
32=12m﹣76m
解得 m=﹣
当第 26 天的售价为 25 元/千克时，代入 y=n
则 n=25
故答案为：m=﹣ ，n=25
（2）由（1）第 x 天的销售量为 20+4（x﹣1）=4x+16
当 1≤x＜20 时
W=（4x+16）（﹣ x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968
∴当 x=18 时，W 最大=96838
当 20≤x≤30 时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112
∵28＞0
∴W 随 x 的增大而增大
∴当 x=30 时，W 最大=952
∵968＞952
∴当 x=18 时，W 最大=968
（3）当 1≤x＜20 时，令﹣2x2+72x+320=870
解得 x1=25，x2=11
∵抛物线 W=﹣2x2+72x+320 的开口向下
∴11≤x≤25 时，W≥870
∴11≤x＜20
∵x 为正整数
∴有 9 天利润不低于 870 元
当 20≤x≤30 时，令 28x+112≥870
解得 x≥27
∴27 ≤x≤30
∵x 为正整数
∴有 3 天利润不低于 870 元
∴综上所述，当天利润不低于 870 元的天数共有 12 天．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思想．
6. （2018·湖北襄阳·13 分）直线 y=﹣ x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，顶点为 D 的抛物线 y=﹣
x2+2mx﹣3m 经过点 A，交 x 轴于另一点 C，连接 BD，AD，CD，如图所示．
（1）直接写出抛物线的解析式和点 A，C，D 的坐标；
（2）动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长的速度由点 B 向点 D 运动，同时动点 Q 在 CA 上以每秒 3 个单位长的
速度由点 C 向点 A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t
秒．PQ 交线段 AD 于点 E．
①当∠DPE=∠CAD 时，求 t 的值；
②过点 E 作 EM⊥BD，垂足为点 M，过点 P 作 PN⊥BD 交线段 AB 或 AD 于点 N，当 PN=EM 时，求 t 的值．39
【分析】（1）先由直线解析式求得点 A.B 坐标，将点 A 坐标代入抛物线解析式求得 m 的值，从而得出答案；
（2）①由（1）知 BD=AC.BD∥OC，根据 AB=AD= 证四边形 ABPQ 是平行四边形得 AQ=BP，即 2t=4﹣3t，解
之即可；②分点 N 在 AB 上和点 N 在 AD 上两种情况分别求解．
【解答】解：（1）在 y=﹣ x+3 中，令 x=0 得 y=3，令 y=0 得 x=2，
∴点 A（2，0）、点 B（0，3），
将点 A（2，0）代入抛物线解析式，得：﹣ ×4+4m﹣3m=0，
解得：m=3，
所以抛物线解析式为 y=﹣ x2+6x﹣9，
∵y=﹣ x2+6x﹣9=﹣ （x﹣4）2+3，
∴点 D（4，3），对称轴为 x=4，
∴点 C 坐标为（6，0）；
（2）如图 1，
由（1）知 BD=AC=4，
根据 0≤3t≤4，得：0≤t≤ ，
①∵B（0，3）、D（4，3），
∴BD∥OC，
∴∠CAD=∠ADB，
∵∠DPE=∠CAD，
∴∠DPE=∠ADB，
∵AB= = 、AD= = ，40
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠DPE=∠ABD，
∴PQ∥AB，
∴四边形 ABPQ 是平行四边形，
∴AQ=BP，即 2t=4﹣3t，
解得：t= ，
即当∠DPE=∠CAD 时，t= 秒；
②（Ⅰ）当点 N 在 AB 上时，0≤2t≤2，即 0≤t≤1，
连接 NE，延长 PN 交 x 轴于点 F，延长 ME 交 x 轴于点 H，
∵PN⊥BD.EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，
∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ，
∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t，
∵点 N 在直线 y=﹣ x+3 上，
∴点 N 的坐标为（2t，﹣3t+3），
∴PN=PF﹣NF=3﹣（﹣3t+3）=3t，
∵NE∥FQ，
∴△PNE∽△PFQ，
∴ = ，
∴FH=NE= •FQ= ×（6﹣5t）=6t﹣5t2，
∵A（2，0）、D（4，3），
∴直线 AD 解析式为 y= x﹣3，
∵点 E 在直线 y= x﹣3 上，
∴点 E 的坐标为（4﹣2t，﹣3t+3），41
∵OH=OF+FH，
∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2，
解得：t=1+ ＞1（舍）或 t=1﹣ ；
（Ⅱ）当点 N 在 AD 上时，2＜2t≤4，即 1＜t≤ ，
∵PN=EM，
∴点 E.N 重合，此时 PQ⊥BD，
∴BP=OQ，
∴2t=6﹣3t，
解得：t= ，
综上所述，当 PN=EM 时，t=（1﹣ ）秒或 t= 秒．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、平行四边
形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
7. （2018·湖南郴州·10 分）如图 1，已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，
与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D．在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边
形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图 2，连接 BC，PB，PC，设△PBC 的面积为 S．
①求 S 关于 t 的函数表达式；
②求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标．
【分析】（1）由点 A.B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，由点 A.B 的坐标可得出对称轴 l 为直线 x=1，分 t=2 和 t≠2 两种42
情况考虑：当 t=2 时，由抛物线的对称性可得出此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形，再根据点 C
的坐标利用平行四边形的性质可求出点 P、M 的坐标；当 t≠2 时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分
结合 CE≠PE 可得出此时不存在符合题意的点 M；
（3）①过点 P 作 PF∥y 轴，交 BC 于点 F，由点 B.C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，根据点
P 的坐标可得出点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出 S 的最大值，利用勾股定理可求出线段 BC 的长度，利用面积法可求出 P 点到直
线 BC 的距离的最大值，再找出此时点 P 的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）将 A（﹣1，0）、B（3，0）代入 y=﹣x2+bx+c，
，解得： ，
∴抛物线的表达式为 y=﹣x2+2x+3．
（2）在图 1 中，连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，
∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线 x=1．
当 t=2 时，点 C.P 关于直线 l 对称，此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形．
∵抛物线的表达式为 y=﹣x2+2x+3，
∴点 C 的坐标为（0，3），点 P 的坐标为（2，3），
∴点 M 的坐标为（1，6）；
当 t≠2 时，不存在，理由如下：
若四边形 CDPM 是平行四边形，则 CE=PE，
∵点 C 的横坐标为 0，点 E 的横坐标为 0，
∴点 P 的横坐标 t=1×2﹣0=2．
又∵t≠2，
∴不存在．
（3）①在图 2 中，过点 P 作 PF∥y 轴，交 BC 于点 F．
设直线 BC 的解析式为 y=mx+n（m≠0），
将 B（3，0）、C（0，3）代入 y=mx+n，
，解得： ，
∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+3．
∵点 P 的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点 F 的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S= PF•OB=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ．43
②∵﹣ ＜0，
∴当 t= 时，S 取最大值，最大值为 ．
∵点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（0，3），
∴线段 BC= =3 ，
∴P 点到直线 BC 的距离的最大值为 = ，此时点 P 的坐标为（ ， ）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一
次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系
数法求出抛物线表达式；（2）分 t=2 和 t≠2 两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出 S 关于 t
的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值．
8. （2018·湖南怀化·14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）B
（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；
（2）请在 y 轴上找一点 M，使△BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；44
（3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若
存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设交点式 y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出 a 即可得到抛物线解析式；再确定 C
（0，3），然后利用待定系数法求直线 AC 的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定 D 的坐标为（1，4），作 B 点关于 y 轴的对称点 B′，连接 DB′交 y 轴于 M，
如图 1，则 B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时 MB+MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，
然后求出直线 DB′的解析式即可得到点 M 的坐标；
（3）过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线 PC 的
解析式为 y=﹣ x+b，把 C 点坐标代入求出 b 得到直线 PC 的解析式为 y=﹣ x+3，再解方程组
得此时 P 点坐标；当过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P 时，利用同样的方法可求出此时 P 点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），
即 y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得 a=﹣1，
∴抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3；
当 x=0 时，y=﹣x2+2x+3=3，则 C（0，3），
设直线 AC 的解析式为 y=px+q，
把 A（﹣1，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，
∴直线 AC 的解析式为 y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点 D 的坐标为（1，4），
作 B 点关于 y 轴的对称点 B′，连接 DB′交 y 轴于 M，如图 1，则 B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时 MB+MD 的值最小，
而 BD 的值不变，
∴此时△BDM 的周长最小，45
易得直线 DB′的解析式为 y=x+3，
当 x=0 时，y=x+3=3，
∴点 M 的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，
∵直线 AC 的解析式为 y=3x+3，
∴直线 PC 的解析式可设为 y=﹣ x+b，
把 C（0，3）代入得 b=3，
∴直线 PC 的解析式为 y=﹣ x+3，
解方程组 ，解得 或 ，则此时 P 点坐标为（ ， ）；
过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，直线 PC 的解析式可设为 y=﹣ x+b，
把 A（﹣1，0）代入得 +b=0，解得 b=﹣ ，
∴直线 PC 的解析式为 y=﹣ x﹣ ，
解方程组 ，解得 或 ，则此时 P 点坐标为（ ，﹣ ），
综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ），
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用
待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理
解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7.（2018•江苏苏州•8 分）如图，已知抛物线 y=x2﹣4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧），C 为顶点，46
直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D．
（1）求线段 AD 的长；
（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C′．若新抛物线经过点 D，并且新抛物线的顶
点和原抛物线的顶点的连线 CC′平行于直线 AD，求新抛物线对应的函数表达式．
【分析】（1）解方程求出点 A 的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点 C′的坐标，根据题意求出
直线 CC′的解析式，代入计算即可．
【解答】解：（1）由 x2﹣4=0 得，x1=﹣2，x2=2，
∵点 A 位于点 B 的左侧，∴A（﹣2，0），
∵直线 y=x+m 经过点 A，∴﹣2+m=0，解得，m=2，
∴点 D 的坐标为（0，2），
∴AD= =2 ；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，
y=x2+bx+2=（x+ ）2+2﹣ ，则点 C′的坐标为（﹣ ，2﹣ ），
∵CC′平行于直线 AD，且经过 C（0，﹣4），
∴直线 CC′的解析式为：y=x﹣4，
∴2﹣ =﹣ ﹣4，
解得，b1=﹣4，b2=6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2 或 y=x2+6x+2．
【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与 x
轴的交点的求法是解题的关键．
8.（2018•江苏淮安•10 分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元．经市场调研，当该纪念品
每件的销售价为 50 元时，每天可销售 200 件；当每件的销售价每增加 1 元，每天的销售数量将减少 10
件．
（1）当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为 180 件；47
（2）当每件的销售价 x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y 最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加 1 元，每天的销售数量将减少 10 件”，即可解答；
（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
=﹣10x2+1100x﹣28000
=﹣10（x﹣55）2+2250
∴每件销售价为 55 元时，获得最大利润；最大利润为 2250 元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点
掌握．
9.（2018•江苏宿迁•12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a）（x-3）（0
微信/支付宝扫码支付